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2017年河北省邯郸市高考数学一模试卷(理科) Word版含解析


2017 年河北省邯郸市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x2﹣2x﹣3<0},B={x|x≥2},则 A∩B=( A. (2,3] B.[2,3] C. (2,3) D.[2,3) 2.已知 a,b∈R,i 为虚数单位,当 a+bi=i(1﹣i)时,则 A.i B.﹣i C.1+i D.1﹣i ) =( ) )

3.已知向量 , 满足| |=2,| |=3, ( ﹣ )? =7,则 与 的夹角为( A. B. C. + D.

4.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的左焦点为 F(﹣c,0) ,上顶点为 B, )

若直线 y= x 与 FB 平行,则椭圆 C 的离心率为( A. B. C. D.

5.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 依次成等差数列,BC 边上的中线 AD= AB=2,则 S△ABC=( A.3 B.2 C.3 ) D.6



6.从 5 种主料职工选 2 种,8 种辅料中选 3 种烹制菜肴,烹制方式有 5 种,那 么最多可以烹制出不同的菜肴种数为( A.18 B.200 C.2800 D.33600 ) )

7 . 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 , 则 输 出 的 结 果 是 (

A.8

B.13 C.21 D.34

8.如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,M 是 AB 的中点,则过 C,M,D 三点 的抛物线与 CD 围成阴影部分的面积是( )

A.

B.

C.

D. , 若{bn}为等比数列, 则 b1+b2+b3+b4+b5=

9. bn=a 设{an}是公差为 2 的等差数列, ( )

A.142 B.124 C.128 D.144 10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.

π B.

π C.

π D.

π

11.已知棱长为

的正四面体 ABCD(四个面都是正三角形) ,在侧棱 AB 上任取

一点 P(与 A,B 都不重合) ,若点 P 到平面 BCD 及平面 ACD 的距离分别为 a,b, 则 + 的最小值为( A. B.4 C. ) D.5

12.设 f(x)=ex,f(x)=g(x)﹣h(x) ,且 g(x)为偶函数,h(x)为奇函数, 若存在实数 m,当 x∈[﹣1,1]时,不等式 mg(x)+h(x)≥0 成立,则 m 的 最小值为( A. B. ) C. D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分). 13.已知函数 f(x)= ,则 f[f(﹣3)]= .

14.已知函数 f(x)=ax+b,0<f(1)<2,﹣1<f(﹣1)<1,则 2a﹣b 的取值 范围是 .

15.已知三个命题 p,q,m 中只有一个是真命题,课堂上老师给出了三个判断: A:p 是真命题;B:p∨q 是假命题;C:m 是真命题. 老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的,那么三个命题 p,q,m 中的真命 题是 . ﹣y2=1 右支上任意一点,若|PA|的

16.已知点 A(a,0) ,点 P 是双曲线 C: 最小值为 3,则 a= .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答写出文字说明、证明过程或演算 过程. 17.已知 a,b 分别是△ABC 内角 A,B 的对边,且 bsin2A= (x)=sinAcos2x﹣sin2 sin 2x,x∈[0, (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)求函数 f(x)的值域. 18.如图,在五棱锥 P﹣ABCDE 中,△ABE 是等边三角形,四边形 BCDE 是直角 梯形且∠DEB=∠CBE=90°,G 是 CD 的中点,点 P 在底面的射影落在线段 AG 上. (Ⅰ)求证:平面 PBE⊥平面 APG; (Ⅱ)已知 AB=2,BC= ,侧棱 PA 与底面 ABCDE 所成角为 45°,S△PBE= ,点 ]. acosAsinB,函数 f

M 在侧棱 PC 上,CM=2MP,求二面角 M﹣AB﹣D 的余弦值.

19.某校后勤处为跟踪调查该校餐厅的当月的服务质量,兑现奖惩,从就餐的学 生中随机抽出 100 位学生对餐厅服务质量打分(5 分制) ,得到如图柱状图. (Ⅰ) 从样本中任意选取 2 名学生, 求恰好有 1 名学生的打分不低于 4 分的概率; (Ⅱ) 若以这 100 人打分的频率作为概率, 在该校随机选取 2 名学生进行打分 (学 生打分之间相互独立)记 X 表示两人打分之和,求 X 的分布列和 E(X) . (Ⅲ)根据(Ⅱ)的计算结果,后勤处对餐厅服务质量情况定为三个等级,并制 定了对餐厅相应的奖惩方案,如表所示,设当月奖金为 Y(单位:元) ,求 E(Y) . 服务质量评分 X 等级 奖惩标准(元) X≤5 不好 ﹣1000 6≤X≤8 较好 2000 X≥9 优良 3000

20.已知 F 为抛物线 E:x2=2py(p>0)的焦点,直线 l:y=kx+ 交抛物线 E 于 A, B 两点. (Ⅰ)当 k=1,|AB|=8 时,求抛物线 E 的方程; (Ⅱ)过点 A,B 作抛物线 E 的切线 l1,l2,且 l1,l2 交点为 P,若直线 PF 与直线 l 斜率之和为﹣ ,求直线 l 的斜率. 21.已知函数 f(x)=x2﹣alnx(a>0)的最小值是 1. (Ⅰ)求 a; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f2(x)ex﹣6mf(x)+9me﹣x=0 在区间[1,+∞)有唯一的 实根,求 m 的取值范围.

从 22、23 题中任选一题作答.[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲]

22.在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系,曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ρ=2sinθ,ρcos(θ﹣ (Ⅰ)求 C1 和 C2 交点的极坐标; (Ⅱ)直线 l 的参数方程为: (t 为参数) ,直线 l 与 x 轴的交点为 )= .

P,且与 C1 交于 A,B 两点,求|PA|+|PB|.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|ax﹣2|. (Ⅰ)当 a=2 时,解不等式 f(x)>x+1; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f(x)+f(﹣x)< 有实数解,求 m 的取值范围.

2017 年河北省邯郸市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x2﹣2x﹣3<0},B={x|x≥2},则 A∩B=( A. (2,3] B.[2,3] C. (2,3) D.[2,3) )

【考点】交集及其运算. 【分析】先分别求出集合 A 和 B,由此利用交集定义能求出 A∩B. 【解答】解:∵集合 A={x|x ﹣2x﹣3<0}={x|﹣1<x<3}, B={x|x≥2}, ∴A∩B={x|2≤x<3}=[2,3) . 故选:D.
2

2.已知 a,b∈R,i 为虚数单位,当 a+bi=i(1﹣i)时,则 A.i B.﹣i C.1+i D.1﹣i

=(



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】由 a+bi=i(1﹣i)=1+i,求出 a,b 的值,然后代入 除运算化简得答案. 【解答】解:由 a+bi=i(1﹣i)=1+i, 得 a=1,b=1. 则 = . ,再由复数代数形式的乘

故选:A.

3.已知向量 , 满足| |=2,| |=3, ( ﹣ )? =7,则 与 的夹角为( A. B. C. D.



【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】运用向量的数量积的性质:向量的平方即为模的平方,可得 ? =﹣3,再由向量的 夹角公式,计算即可得到所求角. 【解答】解:向量 , 满足| |=2,| |=3, ( ﹣ )? =7,
2 可得 ﹣ ? =4﹣ ? =7,可得 ? =﹣3,

cos< ,>= 由 0≤< , >≤π, 可得< , >= 故选:C. .

=

=﹣ ,

4.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F(﹣c,0) ,上顶点为 B,若直线 y= )

x 与 FB 平行,则椭圆 C 的离心率为( A. B. C. D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求出直线 FB 的斜率,利用直线 y= x 与 FB 平行,建立方程,求出 b=c,即可求出 椭圆 C 的离心率. 【解答】解:由题意, ∴a= c,∴e= = , ,∴b=c,

故选 B.

5.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 依次成等差数列,BC 边上的中线 AD=
ABC=(

,AB=2,则 S△

) B.2 C. 3 D.6

A.3

【考点】正弦定理. 【分析】由于△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且内角和等于 180°,故 B=60°,ABD 中,由余弦定理可得 BD 的长,进而利用三角形面积公式即可计算得解. 【解答】解:∵由于△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且内角和等于 180°,

∴B=60°,
2 2 2 2 ∵△ABD 中,由余弦定理可得:AD =AB +BD ﹣2AB?BD?cosB,即:7=4+BD ﹣2BD,

∴BD=3 或﹣1(舍去) ,可得:BC=6, ∴S△ABC= 故选:C. = =3 .

6.从 5 种主料职工选 2 种,8 种辅料中选 3 种烹制菜肴,烹制方式有 5 种,那么最多可以 烹制出不同的菜肴种数为( A.18 )

B.200 C.2800 D.33600

【考点】排列、组合的实际应用. 【分析】根据题意,分 3 步进行分析:①、从 5 种主料之中选 2 种,②、从 8 种辅料中选 3 种烹制菜肴,③、从 5 种烹制方式选一种,分别计算每一步的情况数目,由分步计数原理计 算可得答案. 【解答】解:根据题意,分 3 步进行分析:
2 ①、从 5 种主料之中选 2 种,有 C5 =10 种选法; 3 ②、从 8 种辅料中选 3 种烹制菜肴,有 C8 =56 种选法; 1 ③、从 5 种烹制方式选一种,有 C5 =5 种选法;

则最多可以烹制出不同的菜肴种数为 10×56×5=2880; 故选:C.

7 . 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 , 则 输 出 的 结 果 是 (



A.8

B.13

C.21

D.34

【考点】程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作

用是利用循环计算变量 a,b,c 的值,并输出满足退出循环条件时的 b 的值,模拟程序的运 行,对程序运行过程中各变量的值进行分析,即可得解. 【解答】解:模拟执行程序,可得 a=1,b=1,i=1 执行循环体,c=2,a=1,b=2,i=2 不满足条件 i>5,执行循环体,c=3,a=2,b=3,i=3 不满足条件 i>5,执行循环体,c=5,a=3,b=5,i=4 不满足条件 i>5,执行循环体,c=8,a=5,b=8,i=5 不满足条件 i>5,执行循环体,c=13,a=8,b=13,i=6 满足条件 i>5,退出循环,输出 b 的值为 13. 故选:B.

8.如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,M 是 AB 的中点,则过 C,M,D 三点的抛物线与 CD 围成阴影部分的面积是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】定积分在求面积中的应用. 【分析】由题意,建立如图所示的坐标系,求出抛物线的方程,利用定积分求面积即可. 【解答】解:由题意,建立如图所示的坐标系,则 D(2,1) ,
2 设抛物线方程为 y =2px,代入 D,可得 p= ,∴y=



∴S= 故选 D.

=

= ,

9.设{an}是公差为 2 的等差数列,bn=a A.142 B.124 C.128 D.144 【考点】等比数列的通项公式.

,若{bn}为等比数列,则 b1+b2+b3+b4+b5=(



【分析】由已知得 an=a1+(n﹣1)×2=a1+2n﹣2,且(a4) =a2?a8,从而 a1=2,
n n+1 ×2 ﹣2=2 ,由此能求出 b1+b2+b3+b4+b5 的值.

2

=2+2

【解答】解:∵{an}是公差为 2 的等差数列,bn=a ∴an=a1+(n﹣1)×2=a1+2n﹣2, ∵{bn}为等比数列, ∴
2 .∴(a4) =a2?a8,



∴=(a1+4﹣2) (a1+16﹣2) , 解得 a1=2, ∴ =2+2×2n﹣2=2n+1

b1+b2+b3+b4+b5=22+23+24+25+26=124. 故选:B.

10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.

π B.

π C.

π

D.

π

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图可得,直观图为圆锥的 与圆柱的 组合体,由图中数据可得该几何体的 体积. 【解答】解:由三视图可得,直观图为圆锥的 与圆柱的 组合体, 由图中数据可得几何体的体积为 故选 A. = ,

11.已知棱长为

的正四面体 ABCD(四个面都是正三角形) ,在侧棱 AB 上任取一点 P(与 )

A, B 都不重合) b, , 若点 P 到平面 BCD 及平面 ACD 的距离分别为 a, 则 + 的最小值为 ( A. B.4 C. D.5

【考点】基本不等式. 【分析】由题意可得: + = ,其中 S△BCD=S△ACD,h 为正四

面体 ABCD 的高,可得 h=2,a+b=2.再利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:由题意可得: 正四面体 ABCD 的高. h= ∴a+b=2. ∴ + = 等号. = ≥ = ,当且仅当 a=2= 时取 =2, + = ,其中 S△BCD=S△ACD,h 为

故选:C.

12.设 f(x)=ex,f(x)=g(x)﹣h(x) ,且 g(x)为偶函数,h(x)为奇函数,若存在实 数 m,当 x∈[﹣1,1]时,不等式 mg(x)+h(x)≥0 成立,则 m 的最小值为( A. B. C. D. )

【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】由 F(x)=g(x)+h(x)及 g(x) ,h(x)的奇偶性可求得 g(x) ,h(x) ,进而可 把 mg(x)+h(x)≥0 表示出来,分离出参数后,求函数的最值问题即可解决. 【解答】解:由 f(x)=g(x)﹣h(x) ,即 e =g(x)﹣h(x)①,得 e﹣ =g(﹣x)﹣h(﹣ x) ,
﹣x 又 g(x) ,h(x)分别为偶函数、奇函数,所以 e =g(x)+h(x)②,

x

x

x x x x 联立①②解得,g(x)= (e +e﹣ ) ,h(x)= (e ﹣e﹣ ) .

mg(x)+h(x)≥0,即 m? (ex+e﹣x)+ (ex﹣e﹣x)≥0,也即 m≥

,即 m≥1



∵存在实数 m,当 x∈[﹣1,1]时,不等式 mg(x)+h(x)≥0 成立,1﹣





∴m≥



∴m 的最小值为 故选 A.



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分).

13.已知函数 f(x)=

,则 f[f(﹣3)]= ﹣



【考点】函数的值.

【分析】由已知得 f(﹣3)=

= ,从而 f[f(﹣3)]=f( ) ,由此能求出结果.

【解答】解:∵函数 f(x)=



∴f(﹣3)=

= ,

f[f(﹣3)]=f( )=

=

=

=﹣ .

故答案为:



14.已知函数 f(x)=ax+b,0<f(1)<2,﹣1<f(﹣1)<1,则 2a﹣b 的取值范围是 . 【考点】不等式的基本性质. 【分析】由题意可得 0<a+b<2,﹣1<﹣a+b<1,作出可行域如图,设 z=2a﹣b,利用 z 的 几何意义,利用数形结合即可求出该线性规划问题中所有的最优解. 【解答】解:∵f(x)=ax+b,0<f(1)<2,﹣1<f(﹣1)<1, ∴0<a+b<2,﹣1<﹣a+b<1, 作出可行域如图 设 z=2a﹣b,得 b=2a﹣z,则平移直线 b=2a﹣z, 则由图象可知当直线经过点 B 时,直线 b=2a﹣z 得截距最小, 由 可得 a= ,b=

此时 z 最大为 z=2× ﹣ = , 当直线经过点 A 时,直线 b=2a﹣z 得截距最大, 由 可得 a=﹣ ,b= ,

此时 z 最小为 z=2×(﹣ )﹣ =﹣ , ∴2a﹣b 的取值范围是 故答案为: , ,

15.已知三个命题 p,q,m 中只有一个是真命题,课堂上老师给出了三个判断: A:p 是真命题;B:p∨q 是假命题;C:m 是真命题. 老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的,那么三个命题 p,q,m 中的真命题是 m . 【考点】复合命题的真假. 【分析】 根据已知中老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的, 逐一分析论证, 可得答案. 【解答】解:由已知中三个命题 p,q,m 中只有一个是真命题, ①若 A 是错误的,则: p 是假命题;q 是假命题;m 是真命题.满足条件; ②若 A 是错误的,则: p 是真命题;q 的真假不能确定;m 是真命题.不满足条件; ③若 C 是错误的,则: p 是真命题;p∨q 不可能是假命题;不满足条件; 故真命题是 m, 故答案为:m

16.已知点 A(a,0) ,点 P 是双曲线 C: 则 a= ﹣1 或 2 .

2 ﹣y =1 右支上任意一点,若|PA|的最小值为 3,

【考点】双曲线的简单性质.
2 2 2 【分析】设 P(x,y) (x≥2) ,则|PA| =(x﹣a) +y =

+

﹣1,分类讨论,

利用|PA|的最小值为 3,求出 a 的值.
2 2 2 【解答】解:设 P(x,y) (x≥2) ,则|PA| =(x﹣a) +y =

+

﹣1,

a>0 时,x= a,|PA|的最小值为 a<0 时,2﹣a=3,∴a=﹣1. 故答案为﹣1 或 2 .

﹣1=3,∴



三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.
2 17. b 分别是△ABC 内角 A, B 的对边, 已知 a, 且 bsin A= 2 ﹣sin sin 2x,x∈[0,

acosAsinB, =sinAcos2x 函数 f (x)

].

(Ⅰ)求 A; (Ⅱ)求函数 f(x)的值域. 【考点】余弦定理. 【分析】 (Ⅰ)由已知结合正弦定理,求出 tanA 的值,从而求出 A 的值; (II)由 A 化简函数 f(x)为正弦型函数,求出 x∈[0,
2 【解答】解: (Ⅰ)△ABC 中,bsin A= 2 由正弦定理得,sinBsin A=

]时 f(x)的值域.

acosAsinB,

sinAcosAsinB,

∴tanA=

=

,…

又 A∈(0,π) , ∴ ;… ,

(II)由 A=

2 2 ∴函数 f(x)=sinAcos x﹣sin sin 2x

= =

cos2x﹣ sinxcosx ? ﹣ ? sin2x cos2x)+ )+ , ,

=﹣ ( sin2x﹣ =﹣ sin(2x﹣

∵x∈[0, ∴﹣ ∴

],∴﹣

≤2x﹣ )≤1, )+



,…

≤sin(2x﹣

≤﹣ sin(2x﹣

≤ .…



所以 f(x)的值域为

18. 如图, 在五棱锥 P﹣ABCDE 中, △ABE 是等边三角形, 四边形 BCDE 是直角梯形且∠DEB= ∠CBE=90°,G 是 CD 的中点,点 P 在底面的射影落在线段 AG 上. (Ⅰ)求证:平面 PBE⊥平面 APG; (Ⅱ)已知 AB=2,BC= ,侧棱 PA 与底面 ABCDE 所成角为 45°,S△PBE= ,点 M 在侧棱

PC 上,CM=2MP,求二面角 M﹣AB﹣D 的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (Ⅰ)取 BE 中点 F,连接 AF,GF,由题意得 A,F,G 三点共线,过点 P 作 PO⊥AG 于 O,则 PO⊥底面 ABCDE,推导出 BE⊥PO,BE⊥AG,由此能证明平面 PBE⊥平面 APG. (II)连接 PF,推导出 O 点与 F 点重合,以 O 为原点,分别以 的方向为 x 轴,

y 轴,z 轴正方向,建立空间直角坐标系.利用向量法能求出二面角 M﹣AB﹣D 的余弦值. 【解答】证明: (Ⅰ)取 BE 中点 F,连接 AF,GF,由题意得 A,F,G 三点共线, 过点 P 作 PO⊥AG 于 O,则 PO⊥底面 ABCDE ∵BE? 平面 ABCDE,∴BE⊥PO, ∵△ABE 是等边三角形, ∴BE⊥AG… ∵AG∩PO=O,∴BE⊥平面 PAG, ∵BE? 平面 PBE, ∴平面 PBE⊥平面 APG.…

解: (II)连接 PF, ∵ 又∵∠PAF=45°,∴PF⊥AF,∴PF⊥AF, ∴PF⊥底面 ABCDE.… ∴O 点与 F 点重合. 如图,以 O 为原点,分别以 坐标系. 底面 ABCDE 的一个法向量 ∵ , 设平面 ABM 的法向量 ∵ ∴ ,∴ , , , … , ∴ 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴正方向,建立空间直角



,取





∴ ∵二面角的法向量

,… 分别指向二面角的内外, 即为二面角的平面角,

∴cos<



=

= .

∴二面角 M﹣AB﹣D 的余弦值为 .…

19.某校后勤处为跟踪调查该校餐厅的当月的服务质量,兑现奖惩,从就餐的学生中随机抽 出 100 位学生对餐厅服务质量打分(5 分制) ,得到如图柱状图. (Ⅰ)从样本中任意选取 2 名学生,求恰好有 1 名学生的打分不低于 4 分的概率; (Ⅱ)若以这 100 人打分的频率作为概率,在该校随机选取 2 名学生进行打分(学生打分之 间相互独立)记 X 表示两人打分之和,求 X 的分布列和 E(X) . (Ⅲ)根据(Ⅱ)的计算结果,后勤处对餐厅服务质量情况定为三个等级,并制定了对餐厅 相应的奖惩方案,如表所示,设当月奖金为 Y(单位:元) ,求 E(Y) . 服务质量评分 X 等级 奖惩标准(元) X≤5 不好 ﹣1000 6≤X≤8 较好 2000 X≥9 优良 3000

【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (Ⅰ)计算“从样本中任意选取 2 名学生,恰好有一名学生的打分不低于 4 分”的概 率值; (Ⅱ)由 X 的可能取值,计算对应的概率值,写出 X 的分布列,计算数学期望; (Ⅲ)根据表格写出 Y 的分布列,计算对应的数学期望值. 【解答】解: (Ⅰ)设“从样本中任意选取 2 名学生,求恰好有一名学生的打分不低于 4 分” 为事件 A, 则 P(A)= = ≈0.51;…

(Ⅱ)X 的可能取值为 4,5,6,7,8,9,10; 则 P(X=4)=0.2×0.2=0.04, P(X=5)=2×0.2×0.3=0.12, P(X=6)=2×0.2×0.3+0.3×0.3=0.21, P(X=7)=2×0.3×0.3+2×0.2×0.2=0.26, P(X=8)=2×0.2×0.3+0.3×0.3=0.21, P(X=9)=2×0.2×0.3=0.12, P(X=10)=0.2×0.2=0.04; X 的分布列如下: X P 4 0.04 5 0.12 6 0.21 7 0.26 8 0.21 9 0.12 10 0.04

X 的数学期望为 E =4×0.04+5×0.12+6×0.21+7×0.26+8×0.21+9×0.12+10×0.04=7; ….. (X) (Ⅲ)Y 的分布列为 Y P ﹣1000 0.16 2000 0.68 3000 0.16

Y 的数学期望为 E(Y)=﹣1000×0.16+2000×0.68+3000×0.16=1680.…

20.已知 F 为抛物线 E:x2=2py(p>0)的焦点,直线 l:y=kx+ 交抛物线 E 于 A,B 两点. (Ⅰ)当 k=1,|AB|=8 时,求抛物线 E 的方程; (Ⅱ)过点 A,B 作抛物线 E 的切线 l1,l2,且 l1,l2 交点为 P,若直线 PF 与直线 l 斜率之和

为﹣ ,求直线 l 的斜率. 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)根据弦长公式即可求出 p 的值,问题得以解决, (Ⅱ)联立方程组,根据韦达定理,即可求出过点 A,B 作抛物线 E 的切线 l1,l2 方程,再 求出交点坐标,根据斜率的关系即可求出 k 的值.

【解答】解: (Ⅰ)联立

,消去 x 得



题设得 ∴p=2,
2 ∴抛物线 E 的方程为 x =4y.



(II)设

联立

2 2 ,消去 y 得 x ﹣2pkx﹣p =0,

∴ 由 得 ,



∴直线 l1,l2 的方程分别为



联立

得点 P 的坐标为



∴ ∴

, 或 , .

∴直线 l 的斜率为 k=﹣2 或

21.已知函数 f(x)=x2﹣alnx(a>0)的最小值是 1. (Ⅰ)求 a;

2 x ﹣x (Ⅱ)若关于 x 的方程 f (x)e ﹣6mf(x)+9me =0 在区间[1,+∞)有唯一的实根,求 m

的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,求出 f(x) 的最小值,问题转化为 ﹣ ln ﹣1=0,记 g(a)= ﹣ ln ﹣1, (a>0) ,根据函数的单 调性求出 a 的值即可;
2 2x x x 2 x (Ⅱ)由条件可得 f (x)e ﹣6mf(x)e +9m=0,令 g(x)=f(x)e =(x ﹣2lnx)e ,原问

题等价于方程 t ﹣6mt+9m=0 在区间[e,+∞)内有唯一解,通过讨论△的符号,求出 m 的 范围即可. 【解答】解: (Ⅰ)f′(x)=2x﹣ = , (x>0) ,

2

所以,当 0<x< 故 f(x)min=f(

时,f′(x)<0,当 x> )= ﹣ ln ,

时,f′(x)>0,

由题意可得: ﹣ ln =1,即 ﹣ ln ﹣1=0, 记 g(a)= ﹣ ln ﹣1, (a>0) , 则函数 g(a)的零点即为方程 ﹣ ln =1 的根; 由于 g′(a)=﹣ ln ,故 a=2 时,g′(2)=0, 且 0<a<2 时,g′(a)>0,a>2 时,g′(a)<0, 所以 a=2 是函数 g(a)的唯一极大值点, 所以 g(a)≤g(2) ,又 g(2)=0, 所以 a=2.
2 2x x (II)由条件可得 f (x)e ﹣6mf(x)e +9m=0,

令 g(x)=f(x)e =(x ﹣2lnx)e ,
2 x 则 g′(x)=(x +2x﹣ ﹣2lnx)e ,

x

2

x

令 r(x)=x +2x﹣ ﹣2lnx(x≥1) ,

2





r(x)在区间[1,+∞)内单调递增, ∴g(x)≥g(1)=e; 所以原问题等价于方程 t ﹣6mt+9m=0 在区间[e,+∞)内有唯一解, 当△=0 时可得 m=0 或 m=1,经检验 m=1 满足条件, 当△>0 时可得 m<0 或 m>1, 所以 e ﹣6me+9m≤0,解之得:m≥ 综上,m 的取值范围是{m|m=1 或 m≥
2 2

, }.

从 22、23 题中任选一题作答.[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 22.在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ρ=2sinθ,ρcos(θ﹣ (Ⅰ)求 C1 和 C2 交点的极坐标; )= .

(Ⅱ)直线 l 的参数方程为:

(t 为参数) ,直线 l 与 x 轴的交点为 P,且与

C1 交于 A,B 两点,求|PA|+|PB|. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (Ⅰ)求出 C1 和 C2 的直角坐标方程,得出交点坐标,再求 C1 和 C2 交点的极坐标; (Ⅱ)利用参数的几何意义,即可求|PA|+|PB|. 【解答】解: (Ⅰ)由 C1,C2 极坐标方程分别为 ρ=2sinθ,
2 2 化为平面直角坐标系方程分为 x +(y﹣1) =1,x+y﹣2=0.

’ … …

得交点坐标为(0,2) , (1,1) . 即 C1 和 C2 交点的极坐标分别为 .…

(II)把直线 l 的参数方程:

2 2 (t 为参数) ,代入 x +(y﹣1) =1,

得 即 t ﹣4t+3=0,t1+t2=4,…
2

,…

所以|PA|+|PB|=4.…

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|ax﹣2|. (Ⅰ)当 a=2 时,解不等式 f(x)>x+1; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f(x)+f(﹣x)< 有实数解,求 m 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式. 【分析】 (Ⅰ)把 a=2 代入不等式化简后,对 x 分类讨论,分别去掉绝对值求出每个不等式 的解集,再取并集即得不等式的解集; (Ⅱ)利用绝对值三角不等式求出 f(x)+f(﹣x)的最小值,结合题意列出不等式,求出 实数 m 的范围. 【解答】解: (Ⅰ)当 a=2 时,不等式为:|2x﹣2|>x+1, 当 x≥1 时,不等式化为:2x﹣2>x+1,解得 x>3… 当 x<1 时,不等式化为:2﹣2x>x+1,解得 综上所述,解集为 ;… …

(II)因为 f(x)+f(﹣x)=|ax﹣2|+|﹣ax﹣2|≥|ax﹣2﹣ax﹣2|=4…, 所以 f(x)+f(﹣x)的最小值为 4,…, 因为 f(x)+f(﹣x)< 有实数解, 所以 …


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