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2015年高考数学一轮复习 第二章 不等式 第6课 二次函数的最值 文(含解析)


第6课
1.定义域为 R 时 例 1.求函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 的最值 【解析】 f ( x) ? ( x ?1)2 ? 4 ,对称轴为 x ? 1 当 x ? 1 时, f ( x)min ? f (1) ? 4 , f ( x ) 无最小值 变式:求函数 f ( x) ? ? x2 ? 2 x ? 3 的最值 解: f ( x) ? ?( x ? 1)2 ? 4 ,对称轴为 x ? 1 当 x ? 1 时, f ( x)max ? f (1) ? 4 , f ( x ) 无最小值 小结: 当 a ? 0 时,f ( x) ? ax2 ? bx ? c 有最小值

二次函数的最值

基本方法:数形结合。配方 ?画图象 ?结合单调性及图象求解

4ac ? b 2 ; 当 a ? 0 时,f ( x) ? ax2 ? bx ? c 4a

4ac ? b 2 有最大值 4a
2.定义域为闭区间的不含参数问题 例 2.求函数 y ? x2 ? 2 x ? 3 , x ? [?2, 2] 的最大值和最小值. 【解析】 f ( x) ? ( x ?1) ? 4 ,对称轴为 x ? 1
2

?? 2 ? x ? 2 ,

? 当 x ? 1 时, f ( x)min ? f (1) ? 4 ;
当 x ? 1 时, f ( x)max ? f (?2) ? 5 变式:求函数 y ? ? x ? 2 x ? 3 , x ? [?1, 2] 的最大值和最小值.
2

【解析】 f ( x) ? ( x ?1) ? 4 ,对称轴为 x ? 1
2

? ?1 ? x ? 2 ,

? 当 x ? ?1 时, f ( x)min ? f (?1) ? 0
当 x ? 1 时, f ( x)max ? f (1) ? 4 小结:首先将二次函数式化为 y ? a( x ? k ) ? h 的形式,若顶点的横坐标在给定的区间上,
2

则当 a ? 0 时,在顶点处取得最小值,在离对称轴较远的端点处取得大值. 3.定义域为闭区间的含参数问题 例 3.已知二次函数 f ( x) ? x ? 2ax ?1 ,当 x ? [0, 2] 上有最小值 h(a) ,最大值为 g (a )
2

求(1) h(a) 的解析式(2) g (a ) 的解析式
1

【解析】 (1) f ( x) ? ( x ? a)2 ? a 2 ?1 ,对称轴为 x ? a ①当 a ? 0 时, f ( x ) 在 [0 , 2] 上递增, h(a) ? f ( x)min ? f (0) ? ?1 ; ②当 0 ? a ? 2 时,

f ( x) 在 [0 , a] 上递减,在 [a , 2] 上递增, h(a) ? f ( x)min ? f (a) ? ?a2 ?1;
③当 a ? 2 时, f ( x ) 在 [0 , 2] 上递减, h(a) ? f ( x)min ? f (2) ? 3 ? 4a

a?0 ??1 ? 2 所以 h(a) 的解析式为 h(a) ? ??a ? 1 0 ? a ? 2 ?3 ? 4a a ? 2 ?
(2) f ( x ) 的最大值只能是 f (0) 或 f (2) ,不能是 f ( a ) 而 f (0) ? ?1 , f (2) ? 3 ? 4a ①当 f (0) ? f (2) ,即 a ? 1 时, g (a) ? f ( x)max ? f (0) ? ?1 ; ②当 f (0) ? f (2) ,即 a ? 1 时, g (a) ? f ( x)max ? f (2) ? 3 ? 4a 所以 g (a ) 的解析式为 g (a) ? ?

??1 ?3 ? 4a

a ?1 a ?1

小结:求 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的最小值时,考虑对称轴在区间的左、中、右三种情况 即可;求它的最大值时,只需根椐区间端点函数值讨论即可 变式:已知 y ? ? x ? 2ax ? 1 ? a 在 x ? [0,1] 时有最大值 2 ,求 a 的值
2

【解析】二次函数的对称轴是 x ? a (1)当 a ? 0 时,则 x ? 0 时, ymax ? 1 ? a ? 2 ,解得 a ? ?1 . (2)当 0 ? a ? 1 时,则 x ? a 时, ymax ? a2 ? a ? 1 ? 2 ,无解. (3)当 a ? 1 时,则 x ? 1 时, ymax ? a ? 2 ,有 a ? 2 . 综上可知, a ? ?1 ,或 a ? 2 .

2

第 6 课:二次函数的最值作业 1. 函数 f ( x) ? x2 ? 2x 的最值情况( A.有最大值 ?1 ,无最小值 C.有最大值 1 ,无最小值 【答案】B 2. 函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2x ? 3 , x ? (?1, 2] 的最值情况( A.有最大值 4 ,无最小值 C.有最大值 3 ,无最小值 0 【答案】B 3. 已知函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 3 , x ?[?4 , 6] .
2



B。有最小值 ?1 ,无最大值 D。无最大值也无最小值



B。有最小值 4 ,最大值 0 D。有最大值 4 ,最小值 3

(1)当 a ? ?2 时,求 f ? x ? 的最值;

6] 上是单调函数. (2)求实数 a 的取值范围,使 y ? f ? x ? 在区间 [ ?4 ,
【解析】 (1)当 a ? ?2 时, f ( x) ? x2 ? 4x ? 3 ? ( x ? 2)2 ?1

?? 4 ? x ? 6 ,

? 当 x ? 2 时, ymin ? f (2) ? ?1
当 x ? ? 4 时, ymin ? f (?4) ? 35 (2) f ( x) ? x2 ? 2ax ? 3 ? ( x ? a)2 ? 3 ,

? 对称轴 x ? ?a , ? f ( x) 在 [?4 , 6] 是单调函数 ? ?a ? ?4 或 ? a ? 6 即? a ? 4 或 a ? ?6
故实数 a 的取值范围是 (?? , ? 6] ? [4 , ? ?)
2 4. 已知函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 3 , x ?[?1, 1] ,函数 f ( x) 的最小值为 g (a)

求函数 g (a ) 的表达式 【解析】 (1) f ( x) ? x ? 2ax ? 3 ? ( x ? a) ? 3
2 2

? 对称轴 x ? ?a
(1)当 ?a ? ?1 ,即 a ? 1 时, f ( x ) 在 [?1, 1] 上递增

g (a) ? f ( x)min ? f (?1) ? 4 ? 2a ;
(2)当 ?1 ? ?a ? 1 ,即 ?1 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 [ ?1 , a ] 上递减,在 [a, 1] 上递增

g (a) ? f ( x)min ? f (?a) ? 3 ? a2
3

(3)当 ? a ? 1 ,即 a ? ?1 时, f ( x ) 在 [?1, 1] 上递减

g (a) ? f ( x)min ? f (1) ? 4 ? 2a ;
a ?1 ? 4 ? 2a ? 2 所以, g (a ) ? ?3 ? a ?1 ? a ? 1 ? 4 ? 2a a ? ?1 ?
5. 已知函数 f(x)=x +2ax+3,x∈[-1,1],函数 f ( x ) 的最大值为 h(a) 求函数 h(a) 的表达式 【解析】? f ( x) 的图象是开口向上的抛物线,
2

? f ( x) 最大值不能在顶点处取得,只能在 x ? ?1 处取得
而 f (?1) ? 4 ? 2a , f (1) ? 4 ? 2a 当 f (?1) ? f (1) , 4 ? 2a ? 4 ? 2a 即 a ? 0 时

h(a) ? f ( x)max ? f (?1) ? 4 ? 2a ;
当 f (?1) ? f (1) , 4 ? 2a ? 4 ? 2a 即 a ? 0 时

h(a) ? f ( x)max ? f (1) ? 4 ? 2a
所以函数 h(a) 的表达式 h(a) ? ? 6.已知 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 , (1)若 f ( x ) 的最小值为 f (?1) ? 0 ,求 f ( x ) 的解析式 (2)在(1)的条件下,若 f ( x) ? x ? k 在区间 [?3 , ? 1] 上恒成立,求实数 k 的取值范围 【解析】 (1)由已知,得:对称轴 x ? ?1 ,顶点 (?1 , 0)

?4 ? 2a a ? 0 ?4 ? 2a a ? 0

?b ? 2a ?a ? 1 2 解得 ? ,所以 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ?? ?a ? b ? 1 ? 0 ?b ? 2
(2) f ( x) ? x ? k ,即 k ? x ? x ? 1 在 [?3 , ? 1] 上恒成立
2

令 g ( x) ? x ? x ? 1, x ?[?3 , ?1] ,则 k ? g ( x)min
2

1 3 1 ? g ( x) ? ( x ? ) 2 ? 的对称轴为 x ? ? 2 4 2

? g ( x) 在 [?3 , ? 1] 上递减, g ( x)min ? g (?1) ? 1 ,? k ? 1
故实数 k 的取值范围为 (?? ,1)

4


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