kl800.com省心范文网

2015年高考数学一轮复习 第二章 不等式 第6课 二次函数的最值 文(含解析)


第6课
1.定义域为 R 时 例 1.求函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 的最值 【解析】 f ( x) ? ( x ?1)2 ? 4 ,对称轴为 x ? 1 当 x ? 1 时, f ( x)min ? f (1) ? 4 , f ( x ) 无最小值 变式:求函数 f ( x) ? ? x2 ? 2 x ? 3 的最值 解: f ( x) ? ?( x ? 1)2 ? 4 ,对称轴为 x ? 1 当 x ? 1 时, f ( x)max ? f (1) ? 4 , f ( x ) 无最小值 小结: 当 a ? 0 时,f ( x) ? ax2 ? bx ? c 有最小值

二次函数的最值

基本方法:数形结合。配方 ?画图象 ?结合单调性及图象求解

4ac ? b 2 ; 当 a ? 0 时,f ( x) ? ax2 ? bx ? c 4a

4ac ? b 2 有最大值 4a
2.定义域为闭区间的不含参数问题 例 2.求函数 y ? x2 ? 2 x ? 3 , x ? [?2, 2] 的最大值和最小值. 【解析】 f ( x) ? ( x ?1) ? 4 ,对称轴为 x ? 1
2

?? 2 ? x ? 2 ,

? 当 x ? 1 时, f ( x)min ? f (1) ? 4 ;
当 x ? 1 时, f ( x)max ? f (?2) ? 5 变式:求函数 y ? ? x ? 2 x ? 3 , x ? [?1, 2] 的最大值和最小值.
2

【解析】 f ( x) ? ( x ?1) ? 4 ,对称轴为 x ? 1
2

? ?1 ? x ? 2 ,

? 当 x ? ?1 时, f ( x)min ? f (?1) ? 0
当 x ? 1 时, f ( x)max ? f (1) ? 4 小结:首先将二次函数式化为 y ? a( x ? k ) ? h 的形式,若顶点的横坐标在给定的区间上,
2

则当 a ? 0 时,在顶点处取得最小值,在离对称轴较远的端点处取得大值. 3.定义域为闭区间的含参数问题 例 3.已知二次函数 f ( x) ? x ? 2ax ?1 ,当 x ? [0, 2] 上有最小值 h(a) ,最大值为 g (a )
2

求(1) h(a) 的解析式(2) g (a ) 的解析式
1

【解析】 (1) f ( x) ? ( x ? a)2 ? a 2 ?1 ,对称轴为 x ? a ①当 a ? 0 时, f ( x ) 在 [0 , 2] 上递增, h(a) ? f ( x)min ? f (0) ? ?1 ; ②当 0 ? a ? 2 时,

f ( x) 在 [0 , a] 上递减,在 [a , 2] 上递增, h(a) ? f ( x)min ? f (a) ? ?a2 ?1;
③当 a ? 2 时, f ( x ) 在 [0 , 2] 上递减, h(a) ? f ( x)min ? f (2) ? 3 ? 4a

a?0 ??1 ? 2 所以 h(a) 的解析式为 h(a) ? ??a ? 1 0 ? a ? 2 ?3 ? 4a a ? 2 ?
(2) f ( x ) 的最大值只能是 f (0) 或 f (2) ,不能是 f ( a ) 而 f (0) ? ?1 , f (2) ? 3 ? 4a ①当 f (0) ? f (2) ,即 a ? 1 时, g (a) ? f ( x)max ? f (0) ? ?1 ; ②当 f (0) ? f (2) ,即 a ? 1 时, g (a) ? f ( x)max ? f (2) ? 3 ? 4a 所以 g (a ) 的解析式为 g (a) ? ?

??1 ?3 ? 4a

a ?1 a ?1

小结:求 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的最小值时,考虑对称轴在区间的左、中、右三种情况 即可;求它的最大值时,只需根椐区间端点函数值讨论即可 变式:已知 y ? ? x ? 2ax ? 1 ? a 在 x ? [0,1] 时有最大值 2 ,求 a 的值
2

【解析】二次函数的对称轴是 x ? a (1)当 a ? 0 时,则 x ? 0 时, ymax ? 1 ? a ? 2 ,解得 a ? ?1 . (2)当 0 ? a ? 1 时,则 x ? a 时, ymax ? a2 ? a ? 1 ? 2 ,无解. (3)当 a ? 1 时,则 x ? 1 时, ymax ? a ? 2 ,有 a ? 2 . 综上可知, a ? ?1 ,或 a ? 2 .

2

第 6 课:二次函数的最值作业 1. 函数 f ( x) ? x2 ? 2x 的最值情况( A.有最大值 ?1 ,无最小值 C.有最大值 1 ,无最小值 【答案】B 2. 函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2x ? 3 , x ? (?1, 2] 的最值情况( A.有最大值 4 ,无最小值 C.有最大值 3 ,无最小值 0 【答案】B 3. 已知函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 3 , x ?[?4 , 6] .
2



B。有最小值 ?1 ,无最大值 D。无最大值也无最小值



B。有最小值 4 ,最大值 0 D。有最大值 4 ,最小值 3

(1)当 a ? ?2 时,求 f ? x ? 的最值;

6] 上是单调函数. (2)求实数 a 的取值范围,使 y ? f ? x ? 在区间 [ ?4 ,
【解析】 (1)当 a ? ?2 时, f ( x) ? x2 ? 4x ? 3 ? ( x ? 2)2 ?1

?? 4 ? x ? 6 ,

? 当 x ? 2 时, ymin ? f (2) ? ?1
当 x ? ? 4 时, ymin ? f (?4) ? 35 (2) f ( x) ? x2 ? 2ax ? 3 ? ( x ? a)2 ? 3 ,

? 对称轴 x ? ?a , ? f ( x) 在 [?4 , 6] 是单调函数 ? ?a ? ?4 或 ? a ? 6 即? a ? 4 或 a ? ?6
故实数 a 的取值范围是 (?? , ? 6] ? [4 , ? ?)
2 4. 已知函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 3 , x ?[?1, 1] ,函数 f ( x) 的最小值为 g (a)

求函数 g (a ) 的表达式 【解析】 (1) f ( x) ? x ? 2ax ? 3 ? ( x ? a) ? 3
2 2

? 对称轴 x ? ?a
(1)当 ?a ? ?1 ,即 a ? 1 时, f ( x ) 在 [?1, 1] 上递增

g (a) ? f ( x)min ? f (?1) ? 4 ? 2a ;
(2)当 ?1 ? ?a ? 1 ,即 ?1 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 [ ?1 , a ] 上递减,在 [a, 1] 上递增

g (a) ? f ( x)min ? f (?a) ? 3 ? a2
3

(3)当 ? a ? 1 ,即 a ? ?1 时, f ( x ) 在 [?1, 1] 上递减

g (a) ? f ( x)min ? f (1) ? 4 ? 2a ;
a ?1 ? 4 ? 2a ? 2 所以, g (a ) ? ?3 ? a ?1 ? a ? 1 ? 4 ? 2a a ? ?1 ?
5. 已知函数 f(x)=x +2ax+3,x∈[-1,1],函数 f ( x ) 的最大值为 h(a) 求函数 h(a) 的表达式 【解析】? f ( x) 的图象是开口向上的抛物线,
2

? f ( x) 最大值不能在顶点处取得,只能在 x ? ?1 处取得
而 f (?1) ? 4 ? 2a , f (1) ? 4 ? 2a 当 f (?1) ? f (1) , 4 ? 2a ? 4 ? 2a 即 a ? 0 时

h(a) ? f ( x)max ? f (?1) ? 4 ? 2a ;
当 f (?1) ? f (1) , 4 ? 2a ? 4 ? 2a 即 a ? 0 时

h(a) ? f ( x)max ? f (1) ? 4 ? 2a
所以函数 h(a) 的表达式 h(a) ? ? 6.已知 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 , (1)若 f ( x ) 的最小值为 f (?1) ? 0 ,求 f ( x ) 的解析式 (2)在(1)的条件下,若 f ( x) ? x ? k 在区间 [?3 , ? 1] 上恒成立,求实数 k 的取值范围 【解析】 (1)由已知,得:对称轴 x ? ?1 ,顶点 (?1 , 0)

?4 ? 2a a ? 0 ?4 ? 2a a ? 0

?b ? 2a ?a ? 1 2 解得 ? ,所以 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ?? ?a ? b ? 1 ? 0 ?b ? 2
(2) f ( x) ? x ? k ,即 k ? x ? x ? 1 在 [?3 , ? 1] 上恒成立
2

令 g ( x) ? x ? x ? 1, x ?[?3 , ?1] ,则 k ? g ( x)min
2

1 3 1 ? g ( x) ? ( x ? ) 2 ? 的对称轴为 x ? ? 2 4 2

? g ( x) 在 [?3 , ? 1] 上递减, g ( x)min ? g (?1) ? 1 ,? k ? 1
故实数 k 的取值范围为 (?? ,1)

4


高考数学一轮复习第二章不等式第6课二次函数的最值文(....doc

高考数学一轮复习第二章不等式第6课二次函数的最值文(含解析) - 第6课 1.定

...第二章 不等式 第6课 二次函数的最值 文(含解析).doc

高考数学一轮复习 第二章 不等式 第6课 二次函数的最值 文(含解析)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高考数学一轮复习 第二章 不等式 第6课 二次函数的...

高考数学第一轮复习考案:第6课 二次函数的最值课件 文.ppt

高考数学第一轮复习考案:第6课 二次函数的最值课件 文_数学_高中教育_教育...[?2, 2] 的最大值和 最小值. 【解析】 y ? x2 ? 2x ? 3 ? ( x...

2015届高考数学总复习第二章函数与导数第6课时二次函数....doc

2015高考数学总复习第二章函数与导数第6课时二次...一元二次方程及一元二次 不等式这“三个二次”...___. 答案:R 解析:画出函数 f(x)的图象可知...

2015高考数学(人教版)一轮复习课时训练:6.2 一元二次不....doc

2015高考数学(人教版)一轮复习课时训练:6.2 一元二次不等式及其解法(含答案解析)]_高中教育_教育专区。2015高考数学(人教版)一轮复习课时训练:6.2 一元二次...

2015届高考数学理科一轮复习题 第二章 第六节 幂函数与....doc

2015高考数学理科一轮复习第二章 第六节 幂函数与二次函数_数学_高中...已知函数 f(x)=x2+bx+c 且 f(1+x)=f(-x),则下列不等式中成立的是 ...

...高考数学第一轮复习用书 第6课 二次函数的最值 文.doc

(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 第6课 二次函数的最值 文_数学_高中...3 y 的最小值是( A. 2 【答案】B 【解析】∵ x ? 0, y ? 0 ,且...

高考数学一轮复习第二章不等式第7课二次方程根的分布文....doc

高考数学一轮复习第二章不等式第7课二次方程根的分布文(含解析) - 第 7 课二次方程根的分布 本节讨论的一元二次方程为: ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? ...

2015届高考数学一轮复习讲义第二章_2.5_二次函数_图文.ppt

2015高考数学一轮复习讲义第二章_2.5_二次函数_...(a≠0)的函数叫做二次函数. (2)二次函数解析式...[-4,6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值...

高考数学一轮复习第二章不等式第5课二次函数的图象与性....doc

高考数学一轮复习第二章不等式第5课二次函数的图象与性质练习【精选】文 - 第 5 课:二次函数的图象与性质 一、基础知识点及方法 1.二次函数: 形如 (1) ...

2015高考数学一轮复习一元二次不等式及其解法_图文.ppt

2015高考数学一轮复习一元二次不等式及其解法_高三...(3,+∞) 【解析】选A.依题意有3x-x2≥0,解...那么这时可以 通过求出不等式另一边式子的最值(或...

2015届高考数学一轮复习讲义:第二章_2.5_二次函数_图文.ppt

2015高考数学一轮复习讲义:第二章_2.5_二次函数...(a≠0)的函数叫做二次函数. (2)二次函数解析式...[-4,6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值...

2015高考数学第一轮复习幂函数与二次函数.ppt

2015高考数学第一轮复习幂函数与二次函数_数学_高中教育_教育专区。2015高考数学...( ) )解析】(1)错误.当 - b ? [a, b] 时,二次函数的最值不是 ...

【与名师对话】2015年高考数学一轮复习62一元二次不等....ppt

【与名师对话】2015年高考数学一轮复习62一元二次不等式及其解法课件文 第六不等式 (必修 5 第三章 推理与证明选修 1-2 第二章) 第二节 一元二次不...

高考数学一轮复习第二章不等式第8课一元二次不等式的解....doc

高考数学一轮复习第二章不等式第8课一元二次不等式的解法练习【精选】文 - 第 8 课 一元二次不等式的解法 1. 设 a ? b ,则 ( x ? a)( x ? b)...

...高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第6讲....doc

【走向高考】(新课标)2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第6讲...[解析] ∵函数 f(x)=x -ax-a 的图象为开口向上的抛物线,∴函数的最大值...

高考数学第一轮复习幂函数与二次函数_图文.ppt

第六节 幂函数与二次函数 1.二次函数的解析式 ax2+bx+c (h,k) 2.二次函数的图象与性质 函图 数...

【与名师对话】2015年高考数学一轮复习24二次函数与幂....ppt

【与名师对话】2015年高考数学一轮复习24二次函数与...个函数中只有y= x是幂函数. 4.二次函数的解析式... 淄博模拟)若a<0,则下列不等式成立的是( ?1?...

届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时作业7二....doc

高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时作业7二次函数与幂函数含解析文_...答案:C 4.已知函数 f(x)=x +bx+c,且 f(1+x)=f(-x),则下列不等式...

2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:1.2 含....ppt

2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:1....含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法_数学_...6,+∞) 解析:选D.法一:当x≤-3时,原不等式...