kl800.com省心范文网

【解析版】广东省华南师大附中2013届高三第三次月考数学试卷(文科)


广东省华南师大附中 2013 届高三第三次月考 数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1. 分)复数 (5 A. ﹣ 的虚部是( B. ) C. D.1

考点: 复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 先将复数化简 解答: 解:∵

.

,再确定其虚部. ,∴复数 的虚部是 .

故选 A. 点评: 本题主要考查复数的除法运算,考查复数的概念,属于基础题. 2. 分)直线 2x﹣y+4=0 在两轴上的截距之和是( (5 A.6 B.4 C.3 ) D.2

考点: 直线的截距式方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 在直线 ax+by+c=0 中,令 y=0,得到直线在 x 轴上的截距,令 x=0,得到直线在 y 轴 上的截距. 解答: 解:在直线 2x﹣y+4=0 中, 令 y=0,得到直线在 x 轴上的截距 x=﹣2, 令 x=0,得到直线在 y 轴上的截距 y=4, 直线 2x﹣y+4=0 在两轴上的截距之和是 4+(﹣2)=2. 故选 D 点评: 本题考查直线在两轴上的截距之和的求法, 是基础题. 解题时要认真审题, 仔细解答.
.

3. 分) (5 (2012?泉州模拟)定义: 角,若 A.﹣8 , , B.8 ,则 等于( C.﹣8 或 8

,其中 θ 为向量 与 的夹 ) D.6

考点: 平面向量数量积的运算;向量的模. 专题: 计算题;新定义. 分析: 由 求出 cosθ 的值,进而得到 sinθ 的值,再由
.

运算求得结果.

解答: 解:由题意可得 2×5cosθ=﹣6,解得 cosθ= ∴ =2×5× =8,

,再由 0≤θ≤π 可得 sinθ= .

故选 B. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,求出 sinθ= ,是解题的关键,属于中档题.

4. 分) (5 (2012?鹰潭模拟)设 tanα= A. B. C.

,则 sinα﹣cosα 的值( D.



考点: 同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: α 的范围得到 sinα 和 cosα 都小于 0, 由 利用同角三角函数间的基本关系分别求出 sinα 和 cosα 的值,代入所求式子中即可求出值. 解答: 解:∵tanα= ,
.

∴cos α=

2

=

=

= ,

∴cosα=﹣

,sinα=﹣ , )=﹣ + .

则 sinα﹣cosα=﹣ ﹣(﹣

故选 A 点评: 此题考查了同角三角函数间的基本关系,学生做题时注意角度的范围. 5. 分) (5 (2012?乐山二模)已知 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,有下 列命题:其中真命题的个数是( ) ①若 m?α,n∥α,则 m∥n; ②若 m∥α,m∥β,则 α∥β; ③若 m⊥α,m⊥n,则 n∥a; ④若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 考点: 平面与平面之间的位置关系. 专题: 证明题. 分析: m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,①若 m?α,n∥α,则 m∥n, 由 可由线面平行时线与面内的线的位置情况进行讨论;②若 m∥α,m∥β,则 α∥β,可 由两个平面平行于同一条直线,两面的可能的位置关系进行判断;③若 m⊥α,m⊥n, 则 n∥a,可由线面的位置关系进行判断;④若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β,可由垂直同 一条直线的两个面的位置关系判断.
.

解答: 解:①若 m?α,n∥α,则 m∥n;此命题不正确,线面平行时,线与面内的线的位置 关系有两种,平行或者异面; ②若 m∥α,m∥β,则 α∥β;此命题不对,平行于同一直线的两个平面可能平行也可 能相交; ③若 m⊥α,m⊥n,则 n∥a;此命题不对,若 m⊥α,m⊥n,则 n 与面 α 的关系可能 是平行或 n 在面 α 内; ④若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β.此命题正确,垂直于同一条直线的两个平面一定平行 综上知只有④正确 故选 B 点评: 本题考查平面与平面之间的位置关系,解答此类题,需要有较强的空间想像能力,能 通过对题设条件的分析想像出所研究的线线、线面、面面之间的位置关系,作出正确 判断,空间感知能力是立体几何的重要能力,可通过一些物体的实物图加深对空间几 何体的认识

6. 分) (5 (2011?安徽模拟)函数 ( ) A.1 个

在区间[0,2π]上的零点个数为

B.2 个

C.3 个

D.4 个

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 数形结合. 分析: 解:令 f(x)=0,则

.

x

=sinx,原问题

在区间[0,2π]

上的零点个数就转化为两个函数 y=
x

和 y=sinx 的交点问题,分别画出它们的图象,由图知交点个数.
x

解答: 解:令 f(x)=0,则 y=
x

=sinx,上的零点个数就转化为两个函数

和 y=sinx 的交点问题,分别画出它们的图象:

由图知交点个数是 2. 故选 B.

点评: 利用函数的图象可以加强直观性,同时也便于问题的理解.本题先由已知条件转化为

确定 f(x)的解析式,再利用数形结合的方法判断方程根的个数. 7. 分)设命题 (5 A.充分不必要条件 C. 充要条件 ,则 p 是 q 的( B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;其他不等式的解法;绝对值不等式. 专题: 计算题. 分析: 根据所给的两个命题,对不等式进行求解集,写出两个命题对应的集合,看出两个集 合之间的包含关系,得到两个条件之间的关系. 解答: 解:∵p:|2x﹣3|<1, ∴p:A{x|1<x<2}
.

∵ ∴(x﹣1) (x﹣2)≤0,且 x≠2, ∴B={x|1≤x<2} ∵A?B ∴p 是 q 的充分不必要条件, 故选 A. 点评: 本题考查不等式的求解和必要条件、充分条件与充要条件的判断,本题解题的关键是 把命题之间的关系转化为集合之间的包含关系,本题是一个中档题目,注意题目的转 化. 8. 分) (5 (2012?福建)下列不等式一定成立的是( ) A. B. 2 lg(x + )>lgx(x>0) sinx+ ≥2(x≠kx,k∈Z) C. x2+1≥2|x|(x∈R) D. (x∈R)

考点: 不等式比较大小. 专题: 探究型. 分析: 由题意,可对四个选项逐一验证,其中 C 选项用配方法验证,A,B,D 三个选项代 入特殊值排除即可 解答: 解:A 选项不成立,当 x= 时,不等式两边相等;
.

B 选项不成立,这是因为正弦值可以是负的,故不一定能得出 sinx+
2 2

≥2;

C 选项是正确的,这是因为 x +1≥2|x|(x∈R)?(|x|﹣1) ≥0, D 选项不正确,令 x=0,则不等式左右两边都为 1,不等式不成立 综上,C 选项是正确的 故选 C 点评: 本题考查不等式大小的比较,不等式大小比较是高考中的常考题,类型较多,根据题 设选择比较的方法是解题的关键

9. 分)曲线 (5 A.3

(x>0)上的点到直线 3x+4y+3=0 的距离的最小值为( B. C. D.4



考点: 基本不等式;点到直线的距离公式. 专题: 计算题. 分析: 由题意设曲线上任意一点(x0,

.

) ,代入点到直线的距离公式可得 d=



由基本不等式可得其最值. 解答: 解:设曲线 (x>0)上的任意一点为(x0,

)(x0>0) , ,

由点到直线的距离公式可得 d=

=



=3,当且仅当

,即 x0=2 时取等号,

故曲线

(x>0)上的点到直线 3x+4y+3=0 的距离的最小值为 3,

故选 A 点评: 本题考查点到直线的距离公式,涉及基本不等式的应用,属基础题. 的图象向右平移 ?个单位,再将图象上每一 对称,则 ?的最小正值为( D. )

10. 分)将函数 (5

点的横坐标缩短到原来的 倍,所得图象关于直线 A. B. C.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 根据三角函数图象的变换规律得出图象的解析式 f(x)=
.

,再

根据三角函数的性质,当 可. 解答: 解:将函数

时函数取得最值,列出关于 ?的不等式,讨论求解即

的图象向右平移 ?个单位所得图象的解析式

= 坐标缩短到原来的 倍所得图象的解析式 f(x)= 因为所得图象关于直线 =kπ+ 整理得出 ?= 对称,所以当 ,k∈Z ,k∈Z .

,再将图象上每一点的横

时函数取得最值,所以

当 k=0 时,?取得最小正值为

故选 B. 点评: 本题考查三角函数图象的变换规律,三角函数的图象与性质.在三角函数图象的平移 变换中注意是对单个的 x 或 y 来运作的,如本题中,向右平移 ?个单位后相位应变为 ,而非 .

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 分)如图是 2013 年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分 (5 数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为 3.2 .

考点: 茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据算分的规则,去掉一个最高分和一个最低分有 82,84,86,86,87 五个数据, 把五个数据代入求平均数的公式,得到这组数据的平均数,再代入方差的公式,得到 方差. 解答: 解:∵由题意知,选手的分数去掉一个最高分和一个最低分有 82,84,86,86,87
.

∴选手的平均分是 选手的得分方差是

=85, (9+1+1+1+4)=3.2,

故答案为:3.2 点评: 本题考查茎叶图、平均数和方差,对于一组数据通常要求的是这组数据的众数,中位 数,平均数,方差,它们分别表示一组数据的特征,这样的问题可以出现在选择题或 填空题. 12. 分)已知数列{an}是等差数列,a3=1,a4+a10=18,则首项 a1= ﹣3 . (5 考点: 等差数列的通项公式.

.

专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设等差数列{an}的公差为 d,根据 a3=1,a4+a10=18 建立数列首项和公差的方程组,解 之即可求出所求. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d ∵a3=1,a4+a10=18, ∴a1+2d=1,a1+3d+a1+9d=18 解得 a1=﹣3,d=2 故答案为:﹣3 点评: 本题主要考查了等差数列的通项公式,以及利用基本量的方法求数列的通项,属于基 础题.

13. 分) (5 (2012?泉州模拟)若变量 x,y 满足约束条件 为 ﹣6 .

则 z=x+2y 的最小值

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题. 分析: 在坐标系中画出约束条件的可行域,得到的图形是一个平行四边形,把目标函数
.

z=x+2y 变化为 y=﹣ x+ ,当直线沿着 y 轴向上移动时,z 的值随着增大,当直线过 A 点时,z 取到最小值,求出两条直线的交点坐标,代入目标函数得到最小值. 解答: 解:在坐标系中画出约束条件的可行域, 得到的图形是一个平行四边形, 目标函数 z=x+2y, 变化为 y=﹣ x+ , 当直线沿着 y 轴向上移动时,z 的值随着增大, 当直线过 A 点时,z 取到最小值, 由 y=x﹣9 与 2x+y=3 的交点得到 A(4,﹣5) ∴z=4+2(﹣5)=﹣6 故答案为:﹣6

点评: 本题考查线性规划问题,考查根据不等式组画出可行域,在可行域中,找出满足条件 的点,把点的坐标代入,求出最值. 14. 分)如图,在△ ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 (5 则 sinC 的值为 . ,

考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析:

.

在△ ABD 中,利用余弦定理可得

,从而

,即 在△ BDC 中,利用正弦定理,可求 sinC 的值 解答: 解:设 AB=a,则 ∵ ∴

在△ ABD 中,

∴ ∴ 在△ BDC 中, ∴ 故答案为: 点评: 本题重点考查余弦定理、正弦定理的运用,解题的关键是确定余弦定理、正弦定理运 用的三角形,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (13 分) (2012?月湖区模拟)已知函数 ,x∈R. =

(1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期; (2)设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别 a,b,c,且 c=3,f(C)=0,若 sin(A+C) =2sinA,求 a,b 的值. 考点: 解三角形;三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 综合题. 分析: (1)利用二倍角公式、辅助角公式化简三角函数,即可求函数 f(x)的最大值和最 小正周期; (2)先求出 C,再利用 sin(A+C)=2sinA,结合正弦、余弦定理,可求 a,b 的值. 解答: 解: (1) …. 分) (3
.

∵ 大值为 0, 最小正周期是 (2)由

,∴

,∴f(x)的最

…(6 分) ,可得

∵0<C<π,∴0<2C<2π,∴ ∴ ,∴ ①…(9 分)

∵sin(A+C)=2sinA,∴由正弦定理得 由余弦定理得 ∵c=3 ∴9=a +b ﹣ab②
2 2

由①②解得 …(12 分) 点评: 本题考查三角函数的化简,考查三角函数的性质,考查正弦、余弦定理的运用,属于 中档题. 16. (13 分) (1)已知实数 a,b∈{﹣2,﹣1,1,2},求直线 y=ax+b 不经过第四象限的概 率; (2)已知 A(4,0) ,B(0,4) ,从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,求光线所经过的路程的长度. 考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程;古典概型及其概率计算公式. 专题: 计算题. 分析: (1)记事件 A 为“直线 y=ax+b 不经过第四象限”,由分步计数原理可得直线 y=ax+b 的情况数目,进而分析可得直线 y=ax+b 不经过第四象限?a>0 且 b>0,列举可得事 件 A 包含的基本事件数目,由古典概型公式计算可得答案; (2)设点 P(2,0)关于直线 AB 的对称点为 Q(x0,y0) ,由 PQ 的中点在直线上可
.



﹣4=0,由 PQ 与 AB 垂直可得

=1,将将两式联立可得 Q 的坐标,

进而由两点间距离公式,计算可得答案. 解答: (1)记事件 A 为“直线 y=ax+b 不经过第四象限”, 解: a、b 各有 4 种情况,则直线 y=ax+b 共有 4×4=16 种情况, 直线 y=ax+b 不经过第四象限?a>0 且 b>0, 事件 A 包含的基本事件为 a=1、b=2,a=1、b=1,a=2、b=2,a=2、b=1,共 4 个; 所以 .

(2)设点 P(2,0)关于直线 AB 的对称点为 Q(x0,y0) , 直线 AB 的方程 x+y﹣4=0,

则有

,所以 Q(4,2)

又点 P(2,0)关于 y 轴对称的对称点为 R(﹣2,0) 光线所经过的路程的长度 . 点评: 本题主要考查关于两点关于直线对称的问题, 涉及两点间距离的计算公式以及古典概 型的计算,解(2)的关键是求出 P 点关于 y 轴对称的对称点的坐标. 17. (12 分)某公司有价值 a 万元的一条生产流水线,要提高该生产流水线的生产能力,就 要对其进行技术改造,改造就需要投入资金,相应就要提高生产产品的售价.假设售价 y 万元与技术改造投入 x 万元之间的关系满足: ①y 与 a﹣x 和 x 的乘积成正比;② ③ y=a ;
2

其中 t 为常数,且 t∈[0,1].

(1)设 y=f(x) ,试求出 f(x)的表达式,并求出 y=f(x)的定义域; (2)求出售价 y 的最大值,并求出此时的技术改造投入的 x 的值. 考点: 基本不等式. 分析: (1)f(x)的表达式好列,再求函数的定义域时,要注意条件③的限制性. (2)本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值,结合二次函数的图象及单调性 解决,注意分类讨论. 解答: 解: (1)设 ,可得 k=4,∴y=4(a﹣x)x∴定义域
.

为 (2) 当 当

,t 为常数,t∈[0,1]

< 时,即 0≤t< 时,y=4(a﹣x)在[0,

]上为增函数,

则 大为 a 万元; 当 时,投入 时,售价 y 最大为
2

时,投入

时,售价 y 最

万元.

点评: 本题考查函数的应用问题,函数的解析式、二次函数的最值及分类讨论思想,牵扯字 母太多,容易出错. 18. (14 分)如图,已知 PA⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,AB=2,C 是⊙O 上一 点,且 AC=BC,PC 与⊙O 所在的平面成 45°角,E 是 PC 中点.F 为 PB 中点. (1)求证:EF∥面 ABC; (2)求证:EF⊥面 PAC; (3)求三棱锥 B﹣PAC 的体积.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.

.

专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: (1)在三角形 PBC 中,由 E 是 PC 中点,F 为 PB 中点,知 EF∥BC,由此能够证明 EF∥面 ABC. (2)由 PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,知 BC⊥PA,再由 AB 是⊙O 的直径,知 BC⊥AC,故 BC⊥面 PAC,由此能够证明 EF⊥面 PAC. (3)因为 PA⊥⊙O 所在的平面,AC 是 PC 在面 ABC 内的射影,所以∠PCA 即为 PC 与面 ABC 所成角, 故∠PCA=45°, PA=AC. 由此能够求出三棱锥 B﹣PAC 的体积. 解答: (1)证明:在三角形 PBC 中, ∵E 是 PC 中点,F 为 PB 中点, ∴EF∥BC,BC?面 ABC,EF?面 ABC, ∴EF∥面 ABC. (2)证明:∵PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,∴BC⊥PA. 又∵AB 是⊙O 的直径,∴BC⊥AC, ∴BC⊥面 PAC ∵EF∥BC,BC⊥面 PAC, ∴EF⊥面 PAC. (3)解:∵PA⊥⊙O 所在的平面,AC 是 PC 在面 ABC 内的射影, ∴∠PCA 即为 PC 与面 ABC 所成角, ∴∠PCA=45°,PA=AC, 在 Rt△ ABC 中,E 是 PC 中点, , ∴三棱锥 B﹣PAC 的体积 .

点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查直线与平面垂直的证明,考查三棱锥体积的求 法.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.

19. (14 分)设 x1、x2 是函数 (1)若 x1<2<x2<4,求证:f′(﹣2)>3; (2)如果|x1|<2,|x2﹣x1|=2,求 b 的取值范围.

(a>0)的两个极值点.

考点: 函数在某点取得极值的条件. 专题: 导数的概念及应用. 分析: (1)由已知得,x1,x2 是方程 f'(x)=0 的两根,再根据 x1<2<x2<4,可得
.

,为关于 a,b 的不等式组,利用不等式的性质可求证 f′(﹣2)>3; (2)利用韦达定理先把 b 用 x1、x2 表示出来,分 0<x1<2 及﹣2<x1<0 两种情况进 行讨论,把 b 表示为关于 x1 的函数,借助函数的单调性可求出 b 的范围. 2 解答: (1)证明:由已知得:f'(x)=ax +(b﹣1)x+1,x1,x2 是方程 f'(x)=0 的两根. 由于 ,

由于 f'(﹣2)=4a﹣2b+3, ①×(﹣3)+②得:4a﹣2b>0, ∴f'(﹣2)=4a﹣2b+3>3.

(2)解:由韦达定理得,







①当 这时,由|x2﹣x1|=2,得 x2=x1+2, 即 为增函数

(也可用求导法来证) , 故 .

②当

也为增函数,

故这时, 综上,b 的取值范围是

, .

点评: 本题考查函数在某点取得极值的条件及二次方程根的分布问题等知识,解决第(2) 题的关键是通过讨论把 b 表示成关于 x1 的函数,利用函数性质处理.

20. (14 分) (2012?泉州模拟)已知数列{an}满足 {bn}满足 bn=lnan,数列{cn}满足 cn=an+bn. (1)求数列{an}的通项公式; (2)试比较 与 的大小,并说明理由;

,数列

(3)我们知道数列{an}如果是等差数列,则公差

是一个常数,显然

在本题的数列{cn}中,

不是一个常数,但

是否会小

于等于一个常数 k 呢?若会,求出 k 的取值范围;若不会,请说明理由. 考 数列递推式;数列的求和;等差数列与等比数列的综合. 点: 专 综合题. 题: 分 (1) 由 , 两边取倒数得 析: 是等差数列,求出 (2)由(1)得

.

, 判断出

的通项公式后即可求出数列{an}的通项公式. , ,考虑到两个和式不易化简或作差比较,为

此采用逐项大小比较的办法.构造函数 f(x)=lnx﹣x+1,求导研究出 f(x)的单调性, 可得出 ,即 bi≤ai﹣1,当且仅当 i=1 时取等号.从而

,当且仅当 n=1 时取等号.

(3)由(1)知

,易知{cn}是一个递减数列,取 n=m+1,则

=

所以 k 的取值范围是[0,+∞) . 解 解: 答: (1)由 两边取倒数,得: ∴ ∴ 是等差数列,首项 ,从而 , , , ,公差 d=1; ,

(2)由(1)得

构造函数 f(x)=lnx﹣x+1, 则 当 0<x<1 时,f'(x)>0,f(x)在(0,1)上单调递增; 当 x>1 时,f'(x)<0,f(x)在(1,+∞)上单调递减, ∴f(x)≤f(1)=0, 即?x>0,lnx≤x﹣1,当且仅当 x=1 时取等号, ∴ ,即 bi≤ai﹣1,当且仅当 i=1 时取等号,



,当且仅当 n=1 时取等号,

(3)由(1)知

,显然{cn}是一个递减数列,

∴ 取 n=m+1, 则

对 n≠m,n∈N+,m∈N+恒成立.

=

∴存在 k 满足

恒成立,k 的取值范围是[0,+∞) .

点 本题是函数与导数、数列、不等式的综合.考查构造(新数列,函数) 、转化、计算、 评: 推理论证能力.


赞助商链接

直线的斜率与直线方程_数学_高中教育_教育专区

【金版学案】2015 高考数学总复习 基础知识名师...整合思想等数学思想方法,这道解答题往往是试卷的压轴...(2013· 华南师大附中 第三次月考)直线 2x-y+4...