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湖北省华中师大一附中2014届高三5月适应性考试数学(理)试题(扫描版)(已选)


2014 届华师一附中高三五月考试题答案
二、填空题: (一)必考题(11-14)

三.解答题:

18. 解:(Ⅰ)∵Sn=(n-1)2 ∴an= ?

, n ? 1 ?0 ?S1 =? ?Sn ? S n ?1 , n ? 2 ?2n-3
? ? 3 n ?1 ? ?3 ,n ?1 ,n ? 2

,n ?1 …………………………………………3 分 ,n ? 2

又∵an=2log3bn-1 ∴bn= 3
an ?1 2

=?

……………………………………………………………6 分

(Ⅱ)(1)当 n=1 时,Tn=0…………………………………………………………………7 分 (2)当 n≥2 时

Tn=

1×31+3×32+5×33+…+(2n-3)×3n 1 - ∴3Tn= 1×32+3×33+…+(2n-5)×3n 1+(2n-3)×3n…………………………9 分 - ∴-2Tn=1×31+2×32+2×33+…+2×3n 1-(2n-3)×3n =1×31+
2?3 2 (1? 3 n?2 ) 1? 3



-(2n-3)×3n

=-2[(n-2)3n+3] ∴Tn=(n-2)3n+3 综合(1)(2)得 Tn=(n-2)3n+3……………………………………………………………12 分

(III) ? 的可能取值为 0 , 1 , 2 .

20 位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为 8 人.
2 C12 33 所以 P(? ? 0) ? 2 ? , C20 95

P(? ? 1) ? P(? ? 2) ?
所以 ? 的分布列为

1 1 C12 C8 48 , ? 2 C20 95

C82 14 ? . 2 C20 95

?

0

1

2

P
所 以 ,

33 95

48 95

14 95

E? ? 0 ?

48 33 14 7 ?1 ? ?2 ? ? ? 95 95 95 9



6 5

4 …………… 12 分 5

20. 证明: (1)连结 AC,∵ ?ABC ? 60? , AB ? BC , ∴△ABC 为正三角形, ∴ AE ? BC ,∴ AE ? AD, 又 PA ? 平面 ABCD,∴平面 PAD ? 平面 ABCD, 而 AE ? 平面 ABCD,∴ AE ? 平面 PAD

∴ AE ? PD .

-------------------5

21.解: (1)分析易得动圆与圆 M 外切,并内切于圆 N,设动圆 P 的半径为 r,则 PM =

2 + r, 4

则 PN =

7 2 - r ,∴ PM + PN = 2 2 > MN ,∴点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆,且 4
2 ,∴ b =1,∴点 P 的轨迹曲线 G 的方程为: 2 ,c = 1

2a = 2 2, 2c = 2 , ∴ a =
x2 + y2 = 1 2

…………………………………………………4 分

ì ? x2 2 ? ? + y = 1 ,则 x , x 是方程 (2k 2 + 1) x2 + 4k m x + 2m2 - 2 = 0 的两个 (2)依题意,联立 í 2 A c 1 1 1 1 ? ? y = k x + m ? 1 1 ?
根,∴ D = 8(2k1 + 1- m1 ) > 0, xA + xC = 2 2

4k1m1 , 2k12 + 1

∴线段 AC 中点为 (-

2k1m1 m 2k2 m2 m2 , 2 1 ) ,同理线段 BD 的中点为 (, ) ,因为四边形 2 2 2k1 + 1 2k1 + 1 2k 2 + 1 2k 2 2 + 1

ì 2k1m1 2k2 m2 ? ? =? 2 ? 2k1 + 1 2k 2 2 + 1 ? ABCD 为菱形, 所以中点重合, 所以 í , 因为 k1 ? k2 , 所以解得 m1 = m2 = 0 , ? m1 m2 ? = ? 2 2 ? ? 2k1 + 1 2k2 + 1 ?
即菱形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于原点 O。……………8 分

ì ? x2 2 ? 2 ? + y = 1 消 y 得方程 (2k 2 + 1) x2 - 2 = 0 ,解得 x 2 = x 2 = 联立 í 2 ,故 A C 1 2 ? 2k1 + 1 ? ? ? y = k1 x

OA = OC = 1 + k12
1 (k1 k1

2 2 ,同理 OB = OD = 1 + k2 2k + 1
2 1

2 ,又因为 AC ^ BD , 2k + 1
2 2

所 以 k2 = -

0) , 所 以 OB = OD = 1+

1 k12

2 , 所以 菱形 ABCD 的 面积 S 为 2 +1 k12
2 + k12 + 4 5 + 2k12 + 1 k12 2 k12

S = 2 OA ? OB

2 1 + k12 鬃

2 2k + 1
2 1

1+

1 2 ? 2 2 k1 +1 k12

= 2+

4 1 2 + k12 + 1 k12

8 。…………13 分 3 1 x ? a ?1 ? ?) , f ?( x) ? ?1 ? ? 22.解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (?a , . x?a x?a 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ? a ? ? a . ∵ 当 ? a ? x ? 1 ? a 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 ? a 时, f ?( x) ? 0 , 1 ? a] 上是增函数,在区间 [1 ? a ,+?) 上是减函数, ∴ f ( x) 在区间 (?a , ∴ f ( x) 在 x ? 1 ? a 处取得最大值.
。其中 k1 ? 0 ,所以当 k1 = 1 或-1时,菱形 ABCD 面积取得最小值 由题意知 f (1 ? a) ? ?1 ? a ? 0 ,解得 a ? 1 .…………………………………………4 分 (Ⅱ )由(Ⅰ)知 f ( x) =ln(x+1)-x, 当 k≥0 时,取 x=1 得, f (1) ? ln 2 ? 1 ? 0 ,知 k≥0 不合题意. 当 k ? 0 时,设 g ( x) ? f ( x) ? kx2 ? ln( x ? 1) ? x ? kx2 . 则 g ?( x) ?

1 ? x(2kx ? 2k ? 1) ? 1 ? 2kx ? . x ?1 x ?1
2k ? 1 1 ? ?1 ? ? ?1 . 2k 2k

令 g ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ? ①若 x2 ? ?

1 2k ? 1 ? ?) 上恒成立, ≤0,即 k≤- 时, g ?( x) ? 0 在 x ? (0, 2 2k ? ?) 上是增函数,从而总有 g ( x) ? g (0) ? 0 , ∴ g ( x) 在 [0,
? ?) 上恒成立. 即 f ( x) ≥ kx 2 在 [0,

2k ? 1 1 2k ? 1 ? 0 ,即 ? ? k ? 0 时,对于 x ? (0 , ? ) , g ?( x) ? 0 , 2 2k 2k 2k ? 1 ∴ g ( x) 在 (0 , ? ) 上单调递减. 2k 2k ? 1 于是,当取 x0 ? (0 , ? ) 时, g ( x0 ) ? g (0) ? 0 ,即 f ( x0 ) ≥ kx0 2 不成立. 2k 1 故 ? ? k ? 0 不合题意. 2 1 综上, k 的最大值为 ? . ……………………………………………………………8 分 2
②若 x2 ? ?


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