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高一数学必修三概率统计教师版 (1)_图文

知识回顾 1.简单随机抽样:一般地, 设一个总体的个数为 N, 通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量 为 n 的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样. 注:①每个个体被抽到的概率为________; ②常用的简单随机抽样方法有:________;________. 2 系统抽样:当总体个数较多时,可将总体_______分成几个部分,然后按照预先制定的 规则,从每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样. 注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号 l ; ④按预先制定的规则抽取样本. 3 分层抽样:当已知总体_________的几部分组成时,为使样本更充分的反映总体的情况, 将总体分成几部分,然后按照_____________进行抽样,这种抽样叫分层抽样. 注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数 ?

n . N

4.总体分布的估计 频率分布表: 频率分布直方图(注意纵坐标) ; 频率分布折线图: 茎叶图 5.总体特征数的估计 1 1 n ⑴样本平均数 x ? ( x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n ) ? ? x i ; n n i ?1 n 1 ⑵样本方差 S 2 ? [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] ? 1 ? ( xi ? x ) 2 、 n n i ?1

?
⑶样本标准差 S ?

2 1 n 2 xi ? x ; ? n i ?1

1 n 1 ( xi ? x ) 2 . [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] = ? n n i ?1

6. 线性回归 回归分析:对于两个变量,当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量 之间的关系叫相关关系或回归关系。 回归直线方程: 设 x 与 y 是具有相关关系的两个变量, 且相应于 n 个观测值的 n 个点大致分 ? ? a ? bx 。其中 布在某一条直线的附近,就可以认为 y 对 x 的回归函数的类型为直线型: y

b?

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? (x
i ?1

n

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

i

? x)

2

?x
i ?1

, a ? y ? b x 。我们称这个方程为 y 对 x 的回归

2 i

直线方程。线性回归直线一定过定点______________ 8.事件:____________,确定性事件: _____________和____________ 随机事件的概率(统计定义):一般的,如果随机事件 A 在 n 次实验中发生了 m 次,当实验的 次数 n 很大时,我们称事件 A 发生的概率为 P A ? ____ 概率是频率的__________,频率是概率的_________ 概率必须满足三个基本要求:① 对任意的一个随机事件 A ,有_________

( )

和F分别表示必然事件和不可能事件, 则有P W = __, P F = __ ② 用W
③如果事件 A和B互斥, 则有:P A + B = ________
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( )

()

(

)

9.古典概率: ① ___________ ② _______________满足这两个条件的概率模型成为古典概 型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个 n ,则每一个基本事件发生的概率都是 __ , 如果某个事件 A 包含了其中的 m 个等可能的基本事件,则事件 A 发生的概率为

P ( A) = ___
求古典概型概率的方法:___________、___________、___________、___________ 10.几何概型:一般地,一个几何区域 D 中随机地取一点,记事件“改点落在其内部的一个 区域 d 内”为事件 A ,则事件 A 发生的概率为

P ( A) = __________(一般地,线段的测度为该线段的长度;平面多变形的测度为该图形
的面积;立体图像的测度为其体积 ) 几何概型的基本特点:① ____________ ② _______________ 互斥事件:___________________________称为互斥事件 对立事件:____________________________,则称两个事件为对立事件,事件 A 的对立事件 记为: A 注意:① 若 A , B 为互斥事件, 则 A , B 中最多有一个发生, 可能都不发生,但不可

能同时发生 ,从集合的关来看两个事件互斥,即指两个事件的集合的交集是空集 ② 对 立事件是指的两个事件,而且必须有一个发生,而互斥事件可能指的很多事件,但最多只有 一个发生, 可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来看: 表示互斥事件和 对立事件的集合的交集都是空集,但两个对立事件的并集是全集 ,而两个互斥事件的并集 不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是 1 , 而两个互斥事件的概率之和小于或 者等于 1 ⑥ 若事件 A, B 是互斥事件,则有 P? A ? B ? ? P? A? ? P?B ? ⑦ 一般地,如果 ⑧

A1 , A 2 ,..., An 两两互斥,则有 P? A1 ? A2 ? ... ? An ? ? P? A1 ? ? P? A2 ? ? ... ? P? An ?

P? A? ? 1 ? P A ⑨ 在本教材中 A1 ? A2 ? ... ? An 指的是 A1 , A 2 ,..., An 中至少发生一个
11.事件 A 和事件 B 的和:_______________________________________________________ 事件 A 和事件 B 的积:_______________________________________________________

??

例题选讲:
1.下列抽样中不是系统抽样的是( ) A.从标有 1~15 的 15 个球中,任选 3 个作为样本,按从小号到大号排序, 随机选取起点 i 0 , 以后 i 0 +5, i 0 +10(超过 15 则从 1 再数起)号入样 B.工厂生产流水线上,质检员每隔 5 分钟从传送带上抽取一件进行检验 C.搞某个市场调查,在商场门口随机向一个人进行询问,直到调查到事先规定的调查人数 为止 D.在电影院调查观众的某一项指标,通知(每排人数相等)座号为 14 的观众留下来进行 座谈 C
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2. 从 2016 名学生中选取 53 名组成参观团, 若采用以下方法选取, 先用简单随机抽样从 2016 名学生中剔除 4 名, 再从 2012 名学生中用系统抽样的方法抽取 53 名, 则其中学生甲被剔除 和乙被选取的概率分别是( )

A.
B

1 53 , 503 2012

B.

1 53 , 504 2012

C.

1 53 , 504 2016

D.

1 53 , 503 2016

3. 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 销售额 y (万元)

4
49

2
26

3
39

5
54

? ?a ? 为 9.4 ,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额 ? ? bx ? 中的 b 根据上表可得回归方程 y
为( ) B. 65.5 万元 C. 67.7 万元 D. 72.0 万元

A. 63.6 万元 B

4. 在样本的频率分布直方图中,共有 11 个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其它 10 个小长方形的面积和的

1 ,且样本容量为 160,则中间一组的频数为( 4
AA



A.32 B.0.2 C.40 D.0.25 A 5. 将参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002,? ,600.采用系统抽样方法抽取一个容 量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区,从 001 到 300 在 第 1 营区,从 301 到 495 在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区.三个营区被抽中的人数依 次为( ) A.26,16,8 B. 25,17,8 C. 25,16,9 D. 24,17, 9 B 6. 某地区为了解 70~80 岁老人的日平均睡眠时间(单位: 开始 h) ,现随机地选择 50 位老人进行调查,下表是 50 位老人 S? 0 日睡眠时间的频率分布表: 序号 (i) 1 2 3 4 5 分组 睡眠时间 [4,5) [5,6) [6,7) [7,8) [8,9] 组中值 (Gi) 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 频数 (人数) 6 10 20 10 4 频率 (Fi) 0.12 0.20 0.40 0.20 0.08 i? i+1 N S? S+Gi·Fi i≥5 Y 输出 S 结束 3
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i?1 输入 Gi,Fi

在上述统计数据的分析中,一部分计算见算法流程图,则 输出的 S 的值为 . 6.42 7. 已知 x 与 y 之间的几组数据如下表:
x

1

2

4

5

6

y

0

2

1

3

3

4

?x ? a ? ?b ? . 若某同学根据上表中前两组数据 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 y
(1,0) 和 (2,2) 求得的直线方程为 y ? b?x ? a? ,则以下结论正确的是(
)

? ? b?, a ? ? a? A. b
【答案】C

? ? b?, a ? ? a? B. b

? ? b?, a ? ? a? C. b

? ? b?, a ? ? a? D. b

8. 将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低分,7 个剩余分数的平均分为 91,现场 做的 9 个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以 x 表示: 8 9 7 4 7 0 1 0 x


9

1

则 7 个剩余分数的方差为( A.

116 9

B.

36 7

C.36

D.

6 7 7

【答案】B

9. 一个总体分为 A,B 两层,其个体数之比为 4:1,用分层抽样方法从总体中抽取一个容
量为 10 的样本,已知 B 层中甲、乙都被抽到的概率为

1 ,则总体中的个体数为 28

.

10. 某班级有 50 名学生,其中有 30 名男生和 20 名女生,随机询问了该班五名男生和五名女
生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别 为 88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 ( A.这种抽样方法是一种分层抽样 B.这种抽样方法是一种系统抽样 C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D.该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【答案】C 11. 四名同学根据各自的样本数据研究变量 x, y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分 别得到以下四个结论:
y ? 2.347 x ? 6.423 ; ① y 与 x 负相关且 ?



y ? ?3.476 x ? 5.648 ; ② y 与 x 负相关且 ? y ? ?4.326 x ? 4.578 . ④ y 与 x 正相关且 ?

y ? 5.437 x ? 8.493 ; ③ y 与 x 正相关且 ?

其中一定不正确 的结论的序号是 ... A.①②
【答案】D

B.②③

C.③④

D. ①④

12.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,并统计了他们的物理成绩(成绩
均为整数且满分为 100 分) ,把其中不低于 50 分的分成五段 ?50,60 ? ,?60,70 ? ? ?90,100 ? 后 画出如下部分 频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: ..
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(1)求出物理成绩低于 50 分的学生人数; (2)估计这次考试物理学科及格率(60 分及以上为及格) (3) 从物理成绩不及格的学生中任选两人,求他们成绩至少有一个不低于 50 分的概率.
频 组 率 距

率 0. 0. 率 0 0. 02 3 0. 01 5
00 5


5 6 7 8 9 1 数

13.经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的产 5 0 0 0 0 0 0 品,每 1t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直图,如右图所 0 示.经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品.以 X(单位:t≤100≤X≤150)表示下一个 销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (Ⅰ)将 T 表示为 X 的函数;(Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率.
频率 / 组距
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 100 110 120 130 140 150 需求量 x / t

【答案】

14.从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi (单位:千元)与月储蓄 yi (单 位:千元)的数据资料,算得

? xi ? 80 , ? yi ? 20 , ? xi yi ? 184 , ? xi2 ? 720 .
i ?1

10

10

10

10

i ?1

i ?1

i ?1

(Ⅰ)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ; (Ⅱ)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.
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附:线性回归方程 y ? bx ? a 中, b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

, a ? y ? bx ,

? ?a ?. y ? bx 其中 x , y 为样本平均值,线性回归方程也可写为 ?

1.若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为____________.
【答案】

2 3
( )

2.从 1, 2,3, 4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是
A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

【答案】B

3.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人,这五人被录用的机会均等,
则甲或乙被录用的概率为 ( A. ) C.

2 3

B.

2 5

3 5

D.

9 10
( )

4.集合 A={2,3},B={1,2,3},从 A,B 中各取任意一个数,则这两数之和等于 4 的概率是 2 1 1 1 A. B. C. D. 3 3 2 6
【答案】C

5.盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7 的七个球,从中 任意取出两个,则这两个球的编号之积 为偶数的概率是_______(结果用最简分数表示).
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【答案】

5 7

6. 袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球,从袋 中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 (A)

1 5

(B)

2 5

(C)

3 5

(D)

4 5

【答案】B 7.在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C. 现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则 该矩形面积大于 20cm 的概率为 (A)
2

1 6

(B)

1 3

(C)

2 3

(D)

4 5

【答案】C 8.在区间

? ?3,3? 上随机取一个数 x ,使得 x ? 1 ? x ? 2 ? 1 成立的概率为______.
1 3

【答案】

9.已 知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P,使△APB 的最大边是 AB”发生的概率为

AD 1 =____ . ,则 AB 2
A.

1 2

B.

1 4

C.

3 2

D.

7 4

【答案】D

10. 已知圆 C : x ? y ? 12, 直线 l : 4 x ? 3 y ? 25.
2 2

(1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 . (2) 圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为 答案:5,



1 6
25 4 ? 32
2

解析: (1)由点到直线的距离公式可得 d ?

? 5;

4x 3 ?y 1 5? (2) 由 (1) 可知圆心到直线的距离为 5, 要使圆上点到直线的距离小于 2, 即 l1 :
与圆相交所得劣弧上,由半径为 2 3 ,圆心到直线的距离为 3 可知劣弧所对圆心角为

?
1 故所求概率为 P ? 3 ? . 2? 6

? , 3

11.有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛, 由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次, 根 据年龄将大众评委分为 5 组, 各组的人数如下: 组别 人数

A
50

B
100

C
150

D
150

E
50

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(Ⅰ) 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其 中从 B 组中抽取了 6 人. 请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别 人数 抽取 人数

A
50

B
100 6

C
150

D
150

E
50

(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若 A, B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手, 现从这两组被抽到的 评委中分别任选 1 人, 求这 2 人都支持 1 号歌手的概率. 【答案】解: (Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数. 从 B 组 100 人中抽取 6 人,即从 50 人中抽取 3 人,从 100 人中抽取 6 人,从 100 人中抽取 9 人. (Ⅱ) A 组抽取的 3 人中有 2 人支持 1 号歌手,则从 3 人中任选 1 人,支持支持 1 号歌手的概

2 · B 组抽取的 6 人中有 2 人支持 1 号歌手,则从 6 人中任选 1 人,支持支持 1 号歌手 3 2 的概率为 · 6
率为 现从抽样评委 A 组 3 人,B 组 6 人中各自任选一人 ,则这 2 人都支持 1 号歌手的概率

P?

2 2 2 ? ? . 3 6 9 2 . 9

所以,从 A,B 两组抽样评委中,各自任选一人,则这 2 人都支持 1 号歌手的概率为

12.现有 6 道题,其中 4 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答.试求: (I)所取的 2 道题都是甲 类题的概率; (II)所取的 2 道题不是同一类题的概率.

(Ⅰ)基本事件空间中有 15 个基本事件,都是甲类的有 6 个,所以可求得概率 是同一类的有 8 个基本事件,所以所求的概率是

2 (Ⅱ)不 5

8 。 15

13.某产品的三个质量指标分别为 x, y, z, 用综合指标 S = x + y + z 评价该产品的等级. 若 S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取 10 件产品作为样本, 其质量指 标列表如下: 产品编号 质量指标 (x, y, z) 产品编号 质量指标 (x, y, z)

A1
(1,1,2)

A2
(2,1,1)

A3
(2,2,2)

A4
(1,1,1)

A5
(1,2,1)

A6
(1,2,2)

A7
(2,1,1)

A8
(2,2,1)

A9
(1,1,1)

A10
(2,1,2)

(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品, (⒈) 用产品编号列出所有可能的结果; (⒉) 设事件 B 为 “在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事件 B 发 生的概率.
【答案】

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14.从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重 量) 频数 (个) (1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95) 的频率; (2) 用分层抽样的方法从重量在 [80,85) 和 [95,100) 的苹果中共抽取 4 个 , 其中重量在 5 10 20 15

[80,85)

[85,90)

[90,95)

[95,100)

[80,85) 的有几个?
(3) 在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1 个的概率.
【答案】(1)重量在

?90,95 ? 的频率 ?

20 ? 0.4 ; 50

(2) 若采用分层抽样的方法从重量在 ?80,85 ? 和 ?95,100 ? 的苹果中共抽取 4 个, 则重量在

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?80,85 ? 的个数 ?

5 ? 4 ? 1; 5 ? 15

(3)设在 ?80,85 ? 中抽取的一个苹果为 x ,在 ?95,100 ? 中抽取的三个苹果分别为 a, b, c ,从抽 出的 4 个苹果中 , 任取 2 个共有 ( x, a),( x, b),( x, c),(a, b),(a, c),(b, c) 6 种情况 , 其中符合 “重量在 ?80,85 ? 和 ?95,100 ? 中各有一个”的情况共有 ( x, a),( x, b),( x, c) 种 ; 设“抽出的

4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 ?80,85 ? 和 ?95,100 ? 中各有一个”为事件 A ,则事件 A 的
3 1 ? ; 6 2 15.某小组共有 A、B、C、D、E 五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单位:千
概率 P ( A) ?
2

克/米 )如下表所示: A 身高 体 重指 标 1.69 19.2 B 1.73 25.1 C 1.75 18.5 D 1.79 23.3 E 1.82 20.9

(Ⅰ)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,求选到 的 2 人身高都在 1.78 以下的概率 (Ⅱ)从该小组同学中任选 2 人 , 求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在 [18.5,23.9)中的概率
【答案】

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