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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修4课件:第二章 平面向量 2.1_图文

阶 段 一

阶 段 三

2.1
阶 段 二

向量的概念及表示
学 业 分 层 测 评

2.理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的 含义.(重点、难点) 3.理解向量的几何表示.(重点)

[ 基础· 初探] 教材整理 1 向量的定义及表示 阅读教材 P59 图 212 以上部分内容,完成下列问题.
定义 既有______ 大小 又有______ 方向 的量称为向量 (1)几何表示:向量常用一条有向线段来表示,有向线段的长度表示向 方向 ,以 A 为起点、B 为 大小 ,箭头所指的方向表示向量的______ 表示 量的______ → AB ; 方法 终点的向量记为______ (2)字母表示:用小写字母 a,b,c 表示 模

→ → |AB| 长度 (或称为模),记作______ 向量AB的大小称为向量的______

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)有向线段就是向量.( (2)向量就是有向线段.( ) ) )

(3)有向线段可以用来表示向量.(

【答案】 (1)× (2)× (3)√

2.下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦ 密度;⑧功.其中不是向量的有________(填序号).
【解析】 一个量是不是向量,就是看它是否同时具备向量的两个要素:

大小和方向.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的,所以是 向量;而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向,所以不是向量.
【答案】 ①⑥⑦⑧

教材整理 2

向量的有关概念及其表示

阅读教材 P59 图 212 以下内容至 P60 例 2 以上内容,完成下列问题. 名称 零向量 单位向量 平行向量 定义 长度为___ 0 的向量 长度等于___ 1 个单位长度的向量 表示方法 记作 0

相同 或______ 相反 的______ 非零 向 a 与 b 平行(或共线),记 方向______
作 a∥b

(或共线向量) 量 相等向量 相反向量

长度______ 相等 且方向______ 相同 的向量 a 与 b 相等,记作 a=b 长度______ 相等 且方向______ 相反 的向量 a 的相反向量记作-a

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若 a=b,b=c,则 a=c.( ) )

(2)若 a∥b,则 a 与 b 的方向一定相同或相反.( → → (3)若非零向量AB∥CD,那么 AB∥CD.( (4)向量可以比较大小.( ) )

【解析】

(1)正确.

(2)0 与任何向量共线,但 0 方向任意,故(2)错误. → → (3)AB∥CD,A,B,C,D 可能共线,故(3)错误. (4)因为向量有方向性,故向量不能比较大小.

【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

[ 小组合作型]
向量的概念
给出下列命题: ①若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b; ②向量的模一定是正数; ③起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; → → ④向量AB与CD是共线向量,则 A,B,C,D 四点必在同一直线上. 其中正确命题的序号是________.

【精彩点拨】

解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向

量等概念入手,逐一判断真假.
【自主解答】 ①错误.由|a|=|b|仅说明 a 与 b 模相等,但不能说明它们方 向的关系. ②错误.0 的模为零. ③正确.对于一个向量,只要不改变其大小和方向,是可以任意移动的. ④错误.共线向量即平行向量,只要方向相同或相反即可,并不要求两个 → → 向量AB、CD必须在同一直线上. 【答案】 ③

1.在判断与向量有关的命题时,既要立足向量的数(即模的 大小),又要考虑其形(即方向性). 2.涉及共线向量或平行向量的问题,一定要明确所给向量 是否为非零向量. 3.对于判断命题的正误,应该熟记有关概念,理解各命题, 逐一进行判断,对于错误命题,只要举一反例即可.

[ 再练一题] 1.判断下列命题是否正确,并说明理由: (1)若向量 a 与 b 同向,且|a|>|b|,则 a>b; (2)若向量|a|=|b|,则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反; (3)对于任意向量|a|=|b|,若 a 与 b 的方向相同,则 a=b; (4)由于 0 方向不确定,故 0 不能与任意向量平行; (5)向量 a 与向量 b 平行,则向量 a 与 b 方向相同或相反.

【解】

(1)不正确.因为向量由两个因素来确定,即大小和方向,所以两

个向量不能比较大小. (2)不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等,不能确定它们的方向关系. (3)正确.∵|a|=|b|,且 a 与 b 同向,由两向量相等的条件,可得 a=b. (4)不正确.依据规定:0 与任一向量平行. (5)不正确.因为向量 a 与向量 b 若有一个是零向量,则其方向不定.

向量的表示
一辆汽车从 A 点出发,向西行驶了 100 千米到达点 B,然后又改变 方向向西偏北 50° 行驶了 200 千米到达点 C,最后又改变方向,向东行驶了 100 千米到达点 D. → → → (1)作出向量AB,BC,CD; → (2)求|AD|.

【精彩点拨】 关向量,进而求解.

解答本题应首先确定指向标,然后再根据行驶方向确定有

【自主解答】

(1)如图:

→ → → → (2) 由题意,易知AB与CD方向相反,故AB与CD共线,即 AB∥CD. → → 又∵|AB|=|CD|,∴在四边形 ABCD 中,AB 綊 CD, ∴四边形 ABCD 为平行四边形, → → ∴|AD|=|BC|=200(千米).

用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后 依据向量模的大小确定向量的终点.必要时,需依据直角三角形 知识,求出向量的方向或长度?模?,选择合适的比例关系作出向 量.

[ 再练一题] 2.在如图 211 的方格纸上,已知向量 a,每个小正方形 的边长为 1. (1)试以 B 为终点画一个向量 b,使 b=a; (2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c, 使|c|= 5, 并说出 向量 c 的终点的轨迹是什么? 图 211 【解】 (1)根据相等向量的定义,所作向量与向量 a 平行,且长度相等(作
图略). (2)由平面几何知识可知所有这样的向量 c 的终点的轨迹是以 A 为圆心,半 径为 5的圆(作图略).

[ 探究共研型]
共线向量

探究 1 两向量平行,则两向量所在的直线平行吗? 【提示】 不一定平行.

探究 2 若向量 a 与 b 平行(或共线),则向量 a 与 b 相等吗?反之,若向量 a 与 b 相等,则向量 a 与 b 平行(或共线)吗? 【提示】 向量 a 与 b 平行(或共线),则向量 a 与 b 不一定相等;向量 a 与 b 相等,则向量 a 与 b 平行(或共线). 探究 3 向量平行具备传递性吗?举例说明. 【提示】 向量的平行不具备传递性,即若 a∥b,b∥c,则未必有 a∥c, 这是因为, 当 b=0 时, a, c 可以是任意向量, 但若 b≠0, 必有 a∥b, b∥c?a∥c.

如图 212,D,E,F 分别是正三角形 ABC 各边的中点.

图 212 → (1)写出图中所示向量与向量DE长度相等的向量; → (2)写出图中所示向量与向量FD相等的向量; → → (3)分别写出图中所示向量与向量DE,FD共线的向量. 【导学号:06460039】

【精彩点拨】

结合相等向量、共线向量的概念,对(2)(3)作出判断,结合

正三角形的性质对(1)作出判断. → → → → → → → → 【自主解答】 (1)与DE长度相等的向量是EF, FD, AF, FC, BD, DA, CE,
→ EB. → → → (2)与FD相等的向量是CE,EB. → → → → → → → → (3)与DE共线的向量是AC,AF,FC;与FD共线的向量是CE,EB,CB.

1.寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相 等的向量,再确定哪些是同向共线. 2.寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或 共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已 知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.

[ 再练一题] 3.如图 213,四边形 ABCD 为正方形,△BCE 为等腰直角三角形,

图 213 → (1)图中与AB共线的向量有________; → (2)图中与AB相等的向量有________;

→ (3)图中与AB模相等的向量有________; → (4)图中与EC相等的向量有________; → (5)图中与AB互为相反向量的有________.

【解析】

(1)∵AB∥CD,A,B,E 三点共线,

→ → → → ∴AB与CD,BE,AE共线. → → → → (2)∵AB=BE,且AB与BE方向相同,∴AB=BE. (3)∵AB=BC=CD=DA=BE, → → → → → ∴|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=|BE|.

→ → (4)∵EC 綊 BD,∴EC=BD. → → → → (5)∵|AB|=|CD|,且AB与CD方向相反, → → ∴AB与CD互为相反向量. → → → → → → → → → 【答案】 (1)BE,CD、AE (2)BE (3)BC,CD,DA,BE (4)BD

→ (5)CD

[ 构建· 体系]

1.下列说法正确的是________. ①零向量的长度为零; ②零向量与任一向量都是共线向量; ③零向量没有方向; ④零向量的方向是任意的.
【解析】 零向量的方向是任意的,不能说零向量没有方向,③错. 【答案】 ①②④

2.下列命题中,正确的是________. ①a,b 是两个单位向量,则 a 与 b 相等; ②若向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量; ③两个相等的向量,起点、方向、长度必须都相同; ④共线的单位向量必是相等向量.
【解析】 若 a 与 b 中有一个是零向量,则 a 与 b 共线. 【答案】 ②

→ 3. 如图 214, 已知正方形 ABCD 边长为 2, O 为其中心, 则|OA|=________.

图 214
【解析】 → 由于正方形的对角线长为 2 2,∴|OA|= 2.

【答案】

2

4.如图 215 所示,已知点 O 是正六边形 ABCDEF → → → 的中心,且OA=a,OB=b,OC=c.在以 A,B,C,D,E, F,O 为起点或终点的向量中: (1)模与 a 的模相等的向量有________个. (2)长度与 a 的长度相等,方向相反的向量有________. (3)与 a 共线的向量有________. (4)请一一列出与 a,b,c 相等的向量.________.
图 215

【解】

(1)满足条件的向量有 23 个.

→ → → → (2)长度与 a 的长度相等,方向相反的向量有OD,BC,AO,FE. → → → → → → → → → (3)与 a 共线的向量有EF,BC,OD,FE,CB,DO,AO,DA,AD. → → → → → → (4)与 a 相等的有EF,DO,CB;与 b 相等的有DC,EO,FA;与 c 相等的有 → → → ED,FO,AB.
【答案】 (1)23 → → → AO,DA,AD → → → → → → → → → → (2)OD,BC,AO,FE (3)EF,BC,OD,FE,CB,DO,

→ → → → → → (4)与 a 相等的有EF,DO,CB;与 b 相等的有DC,EO,FA;与

→ → → c 相等的有ED,FO,AB

5.在如图 216 所示的坐标纸上(每个小方格边长为 1),用直尺和圆规画出 下列向量:

图 216

→ → (1)OA,使|OA|=4 2,点 A 在点 O 北偏东 45° ; → → ②AB,使|AB|=4,点 B 在点 A 正东; → → ③BC,使|BC|=6,点 C 在点 B 北偏东 30° . 【导学号:06460040】
【解】 (1)由于点 A 在点 O 北偏东 45° 处,所以在坐 标纸上点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数相 → 等.又|OA|=4 2,小方格边长为 1,所以点 A 距点 O 的横 向小方格数与纵向小方格数都为 4,于是点 A 位置可以确 → 定,画出向量OA如图所示.

→ (2)由于点 B 在点 A 正东方向处,且|AB|=4,所以在坐标纸上点 B 距点 A 的 → 横向小方格数为 4,纵向小方格数为 0,于是点 B 位置可以确定,画出向量AB如 图所示. → (3)由于点 C 在点 B 北偏东 30° 处,且|BC|=6,依据勾股定理可得:在坐标 纸上点 C 距点 B 的横向小方格数为 3,纵向小方格数为 3 3≈5.2,于是点 C 位 → 置可以确定,画出向量BC如图所示.

我还有这些不足: (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) (2) _________________________________________________ _________________________________________________

学业分层测评(十四)
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