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三次函数专题


三次函数专题
一、定义: 定义: (从函数解析式的结构上命名) 。 定义 1、形如 y = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0) 的函数,称为“三次函数” 、
3 2

定义 2、三次函数的导数 y′ = 3ax + 2bx + c( a ≠ 0) ,把 ? = 4b ? 12ac 叫做三次函数导函数的判别 、
2
2

式。 由于三次函数的导函数是二次函数,而二次函数是高中数学中的重要内容,所以三次函数的问题,已 经成为高考命题的一个新的热点和亮点。 三次函数图象与性质的探究: 二、三次函数图象与性质的探究: 1、单调性。
2 3 2 一 般 地 , 当 b ? 3ac ≤ 0 时 , 三 次 函 数 y = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0) 在 R 上 是 单 调 函 数 ; 当

b 2 ? 3ac > 0 时,三次函数 y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) 在 R 上有三个单调区间。
(根据 a > 0, a < 0 两种不同情况进行分类讨论) 2、对称中心。 三次函数 f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0) 是关于点对称,且对称中心为点 ( ? 的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 证明:设函数 按向量 的对称中心为(m,n)。 将函数的图象平移,则所得函数 化简得: 是奇函数,所以

b b , f (? )) ,此点 3a 3a

上式对

恒成立,故

,得





所以,函数

的对称中心是(

)。

可见,y=f(x)图象的对称中心在导函数 y= 二阶导为零的点。

的对称轴上,且又是两个极值点的中点,同时也是

3、三次方程根的问题。 (1)当△= 4b ? 12ac ≤ 0 时,由于不等式 f ′( x ) ≥ 0 恒成立,函数是单调递增的,所以原方程仅有一个
2

实根。
1

(2)当△= 4b ? 12ac > 0 时,由于方程 f ′( x ) = 0 有两个不同的实根 x1 , x 2 ,不妨设 x1 < x 2 ,可知,
2

( x1 , f ( x1 )) 为函数的极大值点, ( x 2 , f ( x 2 )) 为极小值点,且函数 y = f (x) 在 (?∞, x1 ) 和 ( x 2 ,+∞) 上单调
递增,在 [x1 , x 2 ] 上单调递减。 此时: ①若 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) > 0 ,即函数 y = f (x ) 极大值点和极小值点在 x 轴同侧,图象均与 x 轴只有一个交点, 所以原方程有且只有一个实根。 ② 若 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) < 0 ,即函数 y = f (x ) 极大值点与极小值点在 x 轴异侧,图象与 x 轴必有三个交点, 所以原方程有三个不等实根。 ③ 若 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = 0 ,即 f ( x1 ) 与 f ( x 2 ) 中有且只有一个值为 0,所以,原方程有三个实根,其中两 个相等。 4、极值点问题。

若函数 f(x)在点 x0 的附近恒有 f(x0)≥f(x) (或 f(x0)≤f(x)),则称函数 f(x)在点 x0 处 取得极大值(或极小值) ,称点 x0 为极大值点(或极小值点) 。 当 ? > 0 时,三次函数 y = f ( x ) 在 ( ?∞ , + ∞ ) 上的极值点要么有两个。 当 ? ≤ 0 时,三次函数 y = f ( x ) 在 ( ?∞ , + ∞ ) 上不存在极值点。
5、最值问题。 函数
f max ( x ) = { f ( m ) , f ( x0 ) , f ( n )} ;



,且

,则:



三、例题讲解: 例 1、 (函数的单调区间、极值及函数与方程的) (全国Ⅱ卷文 21)已知函数 f(x)=x -3ax +3x+1。 (Ⅰ)设 a=2,求 f(x)的单调期间; (Ⅱ)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求 a 的取值范围。
3 2

2 ?2? ? 2? 例 2、已知函数 f (x) 满足 f ( x) = x 3 + f ' ? ? x 2 ? x + C (其中 f ' ? ? 为 f (x) 在点 x = 处的导数,C 3 ?3? ? 3?

为常数) . (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若方程 f ( x) = 0 有且只有两个不等的实数根,求常数 C ; (3)在(2)的条件下,若 f ? ? ? > 0 ,求函数 f ( x) 的图象与 x 轴围成的封闭图形的面积.
2

? 1? ? 3?

例 3、 (恒成立问题)已知函数 f ( x ) =

1 3 1 2 x ? x + cx + d 有极值. 3 2

(Ⅰ)求 c 的取值范围;
1 (Ⅱ)若 f ( x) 在 x = 2 处取得极值,且当 x < 0 时, f ( x) < d 2 + 2d 恒成立,求 d 的取值范围. 6
3 2 例 4、 (信息迁移题)对于三次函数 f ( x) = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0) 。定义: (1) f ( x ) 的导数 f ′( x )

x (也叫 f ( x ) 一阶导数)的导数 f ′′( x) 为 f ( x ) 的二阶导数,若方程 f ′′( x ) = 0 有实数解 0 ,则称 点 ( x0 , f ( x0 )) x 为函数 y = f ( x ) 的 “拐点” 定义: 设 0 为常数, ; (2) 若定义在 R 上的函数 y = f ( x ) f ( x0 + x) + f ( x0 ? x) = 2 f ( x0 ) 恒成立,则函数 y = f ( x ) 的图

对于定义域内的一切实数 x ,都有 象关于点 ( x0 , f ( x0 )) 对称。

3 2 (1)己知 f ( x) = x ? 3 x + 2 x + 2 ,

求函数 f ( x ) 的“拐点” A 的坐标;

(2)检验(1)中的函数 f ( x ) 的图象是否关于“拐点” A 对称;
3 2 (3)对于任意的三次函数 f ( x) = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) 写出一个有关“拐点”的结论(不必

证明) 。
例 5、 (与线性规划的交汇问题)设函数

, 其中

, (1)若 (2)若



的导函数. ,求函数 的解析式; 满足 . 设

,函数

的两个极值点为

, 试求实数 的取值范围.

3

三次函数作业
1、设
是函数 f(x)的导函数, 的图象如图所示,则 y=f(x)的图象最有可能是()

2、函数 A. 1,-1

在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是() B. 1,-17 C. 3,-17 D. 9,-19

3、 (江西卷文 17)设函数 f ( x) = 6 x3 + 3( a + 2) x 2 + 2ax . (1)若 f ( x ) 的两个极值点为 x1 , x2 ,且 x1 x2 = 1 ,求实数 a 的值; (2)是否存在实数 a ,使得 f ( x ) 是 ( ?∞, +∞ ) 上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识 4、设定函数 f ( x ) =

a 3 x + bx 2 + cx + d ( a f 0) ,且方程 f ' ( x ) ? 9 x = 0 的两个根分别为 1,4。 3

(Ⅰ)当 a=3 且曲线 y = f ( x ) 过原点时,求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 无极值点,求 a 的取值范围。

5、 (天津卷文 20)已知函数 f(x)=

ax 3 ?

3 2 x + 1( x ∈ R ) 2 ,其中 a>0.

(Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程;

? 1 1? ?? , ? (Ⅱ)若在区间 ? 2 2 ? 上,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围.
3 2 6、 (重庆卷文 19)已知函数 f ( x) = ax + x + bx (其中常数 a,b∈R) g ( x) = f ( x) + f '( x) 是奇函数. ,

(Ⅰ)求 f ( x) 的表达式;

1, 2 (Ⅱ)讨论 g ( x) 的单调性,并求 g ( x) 在区间 [ ] 上的最大值与最小值.
4

7、已知在函数 f ( x) = ?mx 3 ? x 的图象上以 N(1,n)为切点的切线的倾斜角为 (1)求 m、n 的值;

π
4

,

(2)是否存在最小的正整数 k,使不等式 f ( x) ≤ k ? 1992 对于 x ∈ [?1,3] 恒成立?求出最小 的正整数 k,若不存在说明理由; (3)求证: | f (sin x) + f (cos x) |≤ 2 f (t +
1 )( x ∈ R, t > 0). 2t
2

8、 2010 浙江文数) 、 ( 浙江文数) (本题满分 15 分)已知函数 f ( x ) = ( x ? a ) (a-b) (a, b ∈ R, a <b)。 (I)当 a=1,b=2 时,求曲线 y = f ( x) 在点(2, f ( x ) )处的切线方程。 (II)设 x1 , x2 是 f ( x ) 的两个极值点, x3 是 f ( x ) 的一个零点,且 x3 ≠ x1 , x3 ≠ x2 9、 (福建文 22)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)设 g(x)=f(x)+

1 3 x ? x 2 + ax + b 的图像在点 P(0,f(0))处的切线方程为 y=3x-2 3

m 是[ 2, +∞ ]上的增函数。 x ?1

(i)求实数 m 的最大值; (ii)当 m 取最大值时,是否存在点 Q,使得过点 Q 的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封闭图形,则这 两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由。

5

三次函数专题参考答案 三次函数专题参考答案
例 1、解:

5 5 <a< 3, ①式无解,②式的解为 4

?5 5? ? ,? a 的取值范围是 ? 4 3 ? . 因此

?2? ?2? 例 2、解: (1)由 f ( x) = x 3 + f ' ? ? x 2 ? x + C ,得 f ' ( x) = 3x 2 + 2 f ' ? ? x ? 1 . ?3? ?3?

2 ? 2? ? 2? ?2? ? 2? ?2? 取 x = ,得 f ' ? ? = 3 × ? ? + 2 f ' ? ? × ? ? ? 1 ,解之,得 f ' ? ? = ?1 , 3 ? 3? ? 3? ?3? ? 3? ?3?

2

∴ f ( x) = x 3 ? x 2 ? x + C . 从而 f ' ( x) = 3x 2 ? 2 x ? 1 = 3? x + ?(x ? 1) , 列表如下:
x f ' ( x) f ( x)

? ?

1? 3?

1 (?∞ , ? ) 3

?

1 3

1 (? , 1) 3

1 0 有极小值

(1 , + ∞)

+ ↗

0 有极大值
6

- ↘

+ ↗

∴ f (x) 的单调递增区间是 (?∞ , ? ) 和 (1 , + ∞) ; f ( x) 的单调递减区间是 (? , 1) . (2)由(1)知, [ f ( x)]极大值
5 ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? = f ?? ? = ?? ? ??? ? ??? ? + C = +C ; 27 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
3 2

1 3

1 3

[ f ( x)]极小值 = f (1) = 13 ? 12 ? 1 + C = ?1 + C .

∴ 方 程 f ( x) = 0 有 且 只 有 两 个 不 等 的 实 数 根 , 等 价 于 [ f ( x)]极大值 = 0 或
[ f ( x)]极小值 = 0 . ………8 分 5 ∴常数 C = ? 或 C = 1 . 27

(3)由(2)知, f ( x) = x 3 ? x 2 ? x ?
? 1? ? 3?

5 或 f ( x) = x 3 ? x 2 ? x + 1 . 27

而 f ? ? ? > 0 ,所以 f ( x) = x 3 ? x 2 ? x + 1 . 令 f ( x) = x 3 ? x 2 ? x + 1 = 0 ,得 ( x ? 1) 2 ( x + 1) = 0 , x1 = ?1 , x 2 = 1 . ∴所求封闭图形的面积 = ∫
例 3、解: (Ⅰ)∵ f ( x ) =
1 ?1

(x

3

1 1 4 ?1 ? ? x 2 ? x + 1 dx = ? x 4 ? x 3 ? x 2 + x ? = .……14 分 3 2 ?4 ? ?1 3

)

1

1 3 1 2 x ? x + cx + d ,∴ f ′( x) = x 2 ? x + c , 3 2 要使 f ( x ) 有极值,则方程 f ′( x) = x 2 ? x + c = 0 有两个实数解, 1 从而△= 1 ? 4c > 0 ,∴ c < . 4 (Ⅱ)∵ f ( x ) 在 x = 2 处取得极值, ∴ f ′(2) = 4 ? 2 + c = 0 , ∴ c = ?2 . 1 1 ∴ f ( x) = x3 ? x 2 ? 2 x + d , 3 2 2 ∵ f ′( x) = x ? x ? 2 = ( x ? 2)( x + 1) , ∴当 x ∈ ( ?∞, ?1] 时, f ′( x ) > 0 ,函数单调递增, 当 x ∈ ( ?1, 2] 时, f ′( x ) < 0 ,函数单调递减. 7 ∴ x < 0 时, f ( x ) 在 x = ?1 处取得最大值 + d , 6 1 ∵ x < 0 时, f ( x) < d 2 + 2d 恒成立, 6 7 1 2 ∴ + d < d + 2d ,即 ( d + 7)( d ? 1) > 0 , 6 6

∴ d < ?7 或 d > 1 ,即 d 的取值范围是 (?∞, ?7) U (1, +∞ ) .

2 ′ ′′ ( 例 4、解: 1)依题意,得: f ( x) = 3 x ? 6 x + 2 ,∴ f ( x ) = 6 x ? 6 。

由 f ′′( x ) = 0 ,即 6 x ? 6 = 0 。∴ x = 1 ,又 f (1) = 2 ,
7

3 2 ∴ f ( x) = x ? 3 x + 2 x + 2 的“拐点”坐标是 (1, 2) 。

(2)由(1)知“拐点”坐标是 (1, 2) 。 而
f (1 + x ) + f (1 ? x) = (1 + x)3 ? 3(1 + x) 2 + 2(1 + x) + 2 + (1 ? x)3 ? 3(1 ? x) 2 + 2(1 ? x) + 2
2 2 = 2 + 6 x ? 6 ? 6 x + 4 + 4 = 4 = 2 f (1) ,

由定义(2)知:

f ( x ) = x3 ? 3x 2 + 2 x + 2

关于点 (1, 2) 对称。
? b , 3a f (? b ? )? 3a ?

f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0) ? ? (3)一般地,三次函数 的“拐点”是 ?
是 f ( x ) 的对称中心。

,它就

或者:任何一个三次函数都有拐点; 任何一个三次函数都有对称中心; 任何一个三次函数平移后可以是奇函数 .
例 5、解:

(Ⅰ)据题意, 由 又 设 知, , 故 ,将 是二次函数 是方程 代入得 比较系数得: 故 (其它解法酌情记分) 另解: , 为所求. 图象的对称轴 的两根.

据题意得 故 (Ⅱ)据题意, 为所求. ,则

解得

8



是方程

的两根,且

则 则点 的可行区域如图

的几何意义为点 P

与点

的距离的平方.观察图形知点, 到直线 A

的距离的平方

为 的最小值

故 的取值范围是
作业:

1、解:根据图象特征,不妨设 f(x)是三次函数。则
① ;

的图象给出了如下信息:

②导方程两根是 0,2,(f(x)对称中心的横坐标是 1); ③在(0,2)上 ;在(- ,0)或(2, )上 。

由①和性质 1 可排除 B、D;由③和性质 1 确定选 C。

2、解:函数的导方程是

,两根为 1 和-1,由性质 2 得: ,

9

。 故选 C。
2 ′ 3、 【解析】 f ( x) = 18 x + 6( a + 2) x + 2a

2a x1 x2 = =1 ′( x1 ) = f ′( x2 ) = 0 f 18 (1)由已知有 ,从而 ,所以 a = 9 ;
2 2 (2)由 ? = 36( a + 2) ? 4 × 18 × 2a = 36( a + 4) > 0 ,

所以不存在实数 a ,使得 f ( x ) 是 R 上的单调函数. 4、

3 x3 ? x 2 + 1 2 2 ,f(2)=3;f’(x)= 3 x ? 3 x , f’(2)=6.所以曲 5、 【解析】 (Ⅰ)解:当 a=1 时,f(x)=
线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 y-3=6(x-2) ,即 y=6x-9.
10

1 (Ⅱ)解:f’(x)= 3ax ? 3 x = 3 x( ax ? 1) .令 f’(x)=0,解得 x=0 或 x= a .
2

以下分两种情况讨论:

1 1 0 < a ≤ 2,则 ≥ a 2 ,当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表: 若
X

? 1 ? 0 ? ? ,? ? 2 ?
+

0

? 1? ? 0, ? ? 2?
-

f’(x) f(x)

0 极大值

1 ?5 ? a ? ? ? f (? 2 ) > 0, ? 8 > 0, ? 即? ? ? 1 1? ? f ( 1 ) > 0, ? 5 + a > 0. x ∈ ? ? , ? 时,f(x)>0 ? 2 ? 8 ? ? 2 2? 当 等价于 ? ,
解不等式组得-5<a<5.因此 0 < a ≤ 2 .

若 a>2,则

0<

1 1 < a 2 .当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表:

X

? 1 ? 0 ? ? ,? ? 2 ?
+

0

? 1? ? 0, ? ? a?
-

1 a
0 极小值

?1 1? ? ,? ?a 2?
+

f’(x) f(x)

0 极大值

?5 ? a ? 1 ?f(- 2 )>0, ? 8 >0, ? ? ? ? ? 1 1? 2 2 ?f( 1 )>0, ?1- 1 >0. x ∈ ?? , ? <a<5 a<? 2 ? ? ? 2 2 ? 时,f(x)>0 等价于 ? a 2 . 当 即 ? 2a ,解不等式组得 2 或
因此 2<a<5.综合(1)和(2) ,可知 a 的取值范围为 0<a<5. 6、

11

(1) f ( x) = 3mx 2 ? 1 , 7、解: 、
f (1) = tan

π
4

= 1,∴ m =

2 1 ,n = ? . 3 3

(2)令 f ( x) = 2( x +

2 2 2 )( x ? ) = 0, 则x = ± , 2 2 2 2 2 2 ]时, f ( x)′ > 0, f ( x) 在此区间为增函数 x ∈ [? , ] 时, 2 2 2

在[-1,3]中, x ∈ [?1,?

f ′( x) < 0, f ( x) 在此区间为减函数.

f ( x)在x = ?

2 处取得极大值. 2

x ∈[

2 ,3]时 f ′( x) > 0, f ( x ) 在此区间为增函数, f (x) 在 x=3 处取得极大值.……8 分 2

12

比较 f (-

2 )和 f (3) 的大小得: f ( x) max = f (3) = 15 2

(无理由 f (3) 最大,扣 3 分)
∴ f ( x) ≤ k ? 1992, k ≥ 2007, 即存在 k=2007

(3) | f (sin x) + f (cos x) |=|
=

2 (sin 3 x + cos 3 x) + (sin x + cos x) | 3

1 2 2 π 2 2 | sin x + cos x |3 = | sin 3 ( x + ) ≤ 3 3 4 3 1 1 2 1 1 2 1 2 2 ) = 2(t + )[ (t 2 + 2 ) ? ] ≥ 2 2 ( ? ) = 2t 2t 3 3 3 3 3 4t 1 2 2 ) ≥ 2 f ( 2) = 2t 3 1 ) 2t

而 2 f (t +

(也可由单调性: 2 f (t +

∴| f (sin x) + f (cos x) |≤ 2 f (t +
8、 、

9、 、

13

14

15


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