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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4基础巩固:2-4-1 平面向量数量积的物理背景及其含义

基 础 巩 固 一、选择题 1.若 a· c=b· c(c≠0),则( A.a=b B.a≠b C.|a|=|b| D.a 在 c 方向上的投影与 b 在 c 方向上的投影必相等 [答案] D [解析] 设 a 与 c 的夹角为 θ1,b 与 c 的夹角为 θ2, ∵a· c=b· c,∴|a|· |c|cosθ1=|b|· |c|cosθ2, 即|a|cosθ1=|b|cosθ2,故选 D. 2.若|m|=4,|n|=6,m 与 n 的夹角为 135° ,则 m· n=( A.12 C.-12 2 [答案] C 2 [解析] mn=|m||n|cosθ=4×6×cos135° =-24× 2 =-12 2. 3.(湖南高考)若非零向量 a、b 满足|a|=|b|,(2a+b)· b=0,则 a 与 b 的夹角为( A.30° C.120° [答案] C [解析] 0=(2a+b)· b=2a· b+b2=2|a||b|cos〈a,b〉+|b|2,∵|a| ) B.60° D.150° B.12 2 D.-12 ) ) =|b|≠0, 1 ∴2cos〈a,b〉+1=0,cos〈a,b〉=-2, ∴〈a,b〉=120° . 4.若 a· b>0,则 a 与 b 的夹角 θ 的取值范围是( π A.[0,2) π C.(2,π] [答案] A π [解析] 因为 a· b>0,∴cosθ>0,∴θ∈[0,2). 5.已知向量 a、b 满足|a|=1,|b|=4,且 a· b=2 3,则 a 与 b 的 夹角为( π A.6 π C.3 [答案] A [解析] 设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cosθ= a· b 2 3 3 = = 2 .又 |a||b| 1×4 ) π B.4 π D.2 π B.[2,π) π D.(2,π) ) π 0≤θ≤π,∴θ=6. 6.设 a、b、c 是三个向量,有下列命题: ①若 a· b=a· c,且 a≠0,则 b=c; ②若 a· b=0,则 a=0 或 b=0; ③a、b 反向?a· b=-|a||b|; ④(3a+2b)· (3a-2b)=9|a|2-4|b|2. 其中正确的有( ) A.1 个 C.3 个 [答案] A B.2 个 D.4 个 [解析] ①中,a· b-a· c=a· (b-c)=0, 又 a≠0,则 b=c 或 a⊥(b-c),即①不正确; ②中,a· b=0?a⊥b 或 a=0 或 b=0,即②不正确; ③当 a⊥b,将向量 a、b 的起点确定在同一点,则以向量 a、b 为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两条对角 线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以 a、b 为邻边的四边形为矩形,∴a⊥b,故命题③是真命题. ④中,左边=9a2-6a· b+6b· a-4b2=9|a|2-4|b|2=右边,即④正 确. 二、填空题 2π 7.(江苏高考)已知 e1、e2 是夹角为 3 的两个单位向量,a=e1- 2e2,b=ke1+e2,若 a· b=0,则实数 k 的值为________. 5 [答案] 4 [解析] 由 a· b=0 得(e1-2e2)· (ke1+e2)=0.整理,得 k-2+(1- 2π 5 2k)cos 3 =0,解得 k=4. 8. (2012 年全国高考全国卷)已知向量 a、 b 夹角为 45° , 且|a|=1, |2a-b|= 10;则|b|=________. [答案] |2a-b|= 10?(2a-b)2=10?4+|b|2-4|b|cos45° =10? |b|=3 2 三、解答题 9.已知向量 a 与 b 的夹角是 120° ,且|a|=|b|=4,求 b· (2a+b) 的值. [解析] 由题意知,a· b=|a||b|cos120° 1 =16×(-2)=-8,则 b· (2a+b)=2a· b+b2=-16+16=0. 10.已知|a|=1,|b|=4,(a-b)· (a+2b)=-29,求 a 与 b 的夹角 θ. [ 解析 ] ∵ (a - b)· (a+ 2b)= |a|2 + a· b- 2|b|2 = 1+ a· b- 32=- 31 +a· b,∴-31+a· b=-29, ∴a· b=2,∴cosθ= a· b 2 1 = =2。 |a||b| 1×4 π 又∵0≤θ≤π,∴θ=3.