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江苏苏州市2017届高三上学期期中调研考试数学试题Word版含答案.doc






第Ⅰ卷(共 60 分) 一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答案纸相应的位 置. 1.已知集合 A ? ?x | 0 ? x ? 2? , B ? ?x | ?1 ? x ? 1 ? ,则 A ? B ? __________. 2.若命题 p : ?x ? R ,使 x ? ax ? 1 ? 0 则: ?p : ____________.
2

3.函数 y ?

1? x 的定义域为___________. x?2
?? ? ? , ? 处的切线的斜率为___________. ?2 2?

4.曲线 y ? x ? cos x 在点 ?

5.已知 tan ? ? ?

4 ?? ? ,则 tan ? ? ? ? ? __________. 3 4? ?

6.已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且满足: a1a9 ? 4 ,则数列 ?log 2 an ? 的前 9 项之和 为__________.
x 7.已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? 8 ,则

? 19 ? f ? ? ? ? __________. ? 3?
8.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? b ? 2bc,sin C ? 3sin B ,则
2 2

A ? ________.
9.已知函数 f ? x ? ? ? 范围是__________. 10.若函数 y ? tan ? ?

? 2 x ? 1, x ? 0 , 若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? m 有三个零点, 则实数 m 的取值 2 ? x ? x, x ? 0

cos 2? ? 1 ? ?? ? 0 ? ? ? ? ,则函数 y 的最小值为___________. sin 2? ? 2? ? ?

11.已知函数 f ? x ? ? sin ? ? x ?

??

2 ? ?? ? 0 ? ,将函数 y ? f ? x ? 的图象向右平移 3 ? 个单位 3?

长度后,所得图象与原函数图象重合,则 ? 的最小值等于___________. 12.已知数列 ?an ? 满足: an?1 ? an ?1 ? an?1 ? , a1 ? 1 ,数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? an?1 ,则数列

?bn ? 的前 10 项的和 S10 ? __________.
13.设 ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边为 a, b, c ,若 A, B, C 依次成等差数列且

a2 ? c2 ? kb2 ,则实数 k 的取值范围是____________.
14.已知函数 f ? x ? ?

x?a

? x ? a?

2

,若对于定义域内的任意 x1 ,总存在 x2 使得 f ? x2 ? ? f ? x1 ? ,

则满足条件的实数 a 的取值范围是____________. 二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? 3x ? ?? (1)若 f ? x ? 为奇函数,求 ? 的值和此时不等式 3? x ? ? ? R? .

f ? x ? ? 1 的解集;
(2)若不等式 f ? x ? ? 6 对 x ? ?0, 2? 恒成立,求实数 ? 的取值范围. 16.(本题满分 14 分) 已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 ,且满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中 项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 若 bn ?an l o g 1an,S n ?b 1? b 2? ? ?b n
2

, 求使 Sn ? n? 2n?1 ? 62 成立的正整数 n 的最小

值. 17.(本题满分 15 分) 已知函数 f ? x ? ? 2sin ? x ? (1)若 0 ? x ?

? ?

??

cos x . ?? 3?

?
2

,求函数 f ? x ? 的值域;

(2)设 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 A 为锐角且

f ? A? ?

3 , b ? 2, c ? 3 ,求 cos ? A ? B? 的值. 2

18.(本题满分 15 分)
0 如图, 有一块平行四边形绿地 ABCD , 经测量 BC ? 2 百米,CD ? 1 百米,?BCD ? 120 ,

拟过线段 BC 上一点 E 设计一条直路 EF (点 F 在四边形 ABCD 的边上,不计路的宽度) ,

EF 将绿地分成两部分,且右边面积是左边面积的 3 倍,设 EC ? x 百米, EF ? y 百米.
(1)当点 F 与点 D 重合时,试确定点 E 的位置; (2)试求 x 的值,使路 EF 的长度 y 最短.

19.(本题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 An ,对任意 n ? N 满足
*

An ?1 An 1 ? ? ,且 a1 ? 1 ,数列 ?bn ? n ?1 n 2

* 满足 bn ? 2 ? 2bn ?1 ? bn ? 0 n ? N , b3 ? 5 ,其前 9 项和为 63.

?

?

(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)令 cn ?

bn an ? ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,若对任意正整数 n ,都有 Tn ? 2n ? a , an bn

求实数 a 的取值范围; (3)将数列 ?an ? ,?bn ? 的项按照“当 n 为奇数时, an 放在前面;当 n 为偶数时, bn 放在前 面”的要求进行“交叉排列” ,得到一个新的数列: a1 , b1 , b2 , a2 , a3 , b3 , b4 , a4 , a5 , b5 , b6, ?, 求这个新数列的前 n 项和 Sn . 20.(本题满分 16 分) 已知 f ? x ? ? ax ? 3x ?1? a ? 0? ,定义
3 2

? ? f ? x?, f ? x? ? g ? x? h ? x ? ? max ? f ? x ? , g ? x ?? ? ? . ? ? g ? x?, f ? x? ? g ? x?
(1)求函数 f ? x ? 的极值; (2)若 g ? x ? ? xf ? ? x ? ,且存在 x ??1, 2? 使 h ? x ? ? f ? x ? ,求实数 a 的取值范围;

(3)若 g ? x ? ? ln x ,试讨论函数 h ? x ?? x ? 0? 的零点个数. (附加题) 21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 答,若多做,则按作答的前两题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. (几何证明选讲) (本小题满分 10 分)

AB 是圆 O 的直径, 如图, 弦 BD, CA 的延长线相交于点 E , EF 垂直 BA 的延长线于点 F . 求
证: AB ? BE ?BD ? AE ?AC
2

B.(矩阵与变换) (本小题满分 10 分) 已知二阶矩阵 M 有特征值 ? ? 8 及对应的一个特征向量 e1 ? ? ? ,并且矩阵 M 将点 ? ?1,3? 变换为 ? 0,8? . (1)求矩形 M ; (2)求曲线 x ? 3 y ? 2 ? 0 在 M 的作用下的新曲线方程. C.(极坐标与参数方程) (本小题满分 10 分) 已知平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

??

?1? ?1?

? x ? r cos ? ? 2 ( ? 为参数, r ? 0 ) .以 ? y ? r sin ? ? 2

直角坐标系原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为

?? ? 2? sin ?? ? ? ? 1 ? 0 . 4? ?
(1)求圆 C 的圆心的极坐标;

(2)当圆 C 与直线 l 有公共点时,求 r 的取值范围. D.(不等式选讲) (本小题满分 10 分) 已知 a, b, c, d 都是正实数,且 a ? b ? c ? d ? 1 ,求证:

a2 b2 c2 d2 1 ? ? ? ? . 1? a 1? b 1? c 1? d 5

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试,共设置了 A、B、C 三个测试项目,假定张 某通过项目 A 的概率为 否通过相互独立. (1) 用随机变量 X 表示张某在测试中通过的项目个数, 求 X 的概率分布和数学期望 E ? X ? (用 a 表示) ; (2)若张某通过一个项目的概率最大,求实数 a 的取值范围. 23.(本小题满分 10 分) 在如图所示的四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 底面

1 , 通过项目 B、C 的概率均为 a ? 0 ? a ? 1? , 且这三个测试项目能 2

ABCD, ?DAB ? ?ABC ? 900 , SA ? AB ? BC ? a, AD ? 3a ? a ? 0? , E 为线段 BS 上的
一个动点.

(1)证明 : DE 和 SC 不可能垂直; (2)当点 E 为线段 BS 的三等分点(靠近 B )时,求二面角 S ? CD ? E 的余弦值.

参考答案
一、填空题 1.

?x | 0 ? x ? 1?

2. ?x ? R ,使 x ? ax ? 1 ? 0
2

3.

? ?2,1?

4. 2 5. 7 6. 9 7.-2 8.

? 3
9. ? ?

? 1 ? , 0? ? 4 ?

10.2 11. 3 12.

10 11

13. ?1, 2?

14. a ? 0

二、解答题 15.解: (1)函数 f ? x ? ? 3x ? ? ? 3? x 的定义域为 R , ∵ f ? x ? 为奇函数,∴ f ? ?x ? ? f ? x ? ? 0 对 ?x ? R 恒成立, 即3
?x

? ?? 3x ? 3x ? ? ? 3? x ? ? ? ? 1? ? 3x ? 3? x ? ? 0 对 ?x ? R 恒成立,

∴解集为 ? x | x ? log 3

? ? ? ?

1? 5 ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 ?, 2 ? ?
x ?x

3 (2)由 f ? x ? ? 6 得 3 ? ? ?

? 6 ,即 3x ?

?
3x

?6,

令 t ? 3x ??1,9? ,原问题等价于 t ?
2

?
t

? 6 对 t ??1,9? 恒成立,

亦即 ? ? ?t ? 6t 对 t ??1,9? 恒成立, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 令 g ?t ? ? ?t ? 6t, t ??1,9? ,
2

∵ g ? t ? 在 ?1,3? 上单调递增,在 ?3,9? 上单调递减. ∴当 t ? 9 时, g ? t ? 有最小值 g ?9? ? ?27 ,∴ ? ? ?27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 分 16.解: (1) ∵ a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项, ∴ 2 ? a3 ? 2? ? a2 ? a4 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 分

代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,可得 a3 ? 8 ,

? a ? 32 ? a1q 2 ? 8 ? a1 ? 2 ? 1 ∴ a2 ? a4 ? 20 ,∴ ? ,解之得 ? 或? . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1 , 2 ?q ? 2 ? q ? ? a1q ? a1q ? 20 ? 2
分 ∵ q ? 1 ,∴ ?

? a1 ? 2 ,∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 ?q ? 2
2 2

(2)∵ bn ? an log 1 an ? 2n log 1 2n ? ?n? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 2n ,
2 n ∴ S n ? ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? n?2 , . . . . . . . . . . . . . . .①

?

?

2 S ? ? ?1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? n?2n ? n?2n ?1 ? , . . . . . . . . . . . . .②
②—①得

Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? n? 2
2 3 n

n ?1

?

2 ?1 ? 2n ? 1? 2

. . . . . . . . . . . .12 ? n? 2 n?1 ? 2 n?1 ? 2 ? n? 2 n?1 .

分 ∵ Sn ? n? 2n?1 ? 62 ,∴ 2 分 ∴使 Sn ? n? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 分 2n?1 ? 62 成立的正整数 n 的最小值为 6. 17.解: (1) f ? x ? ? sin x ? 3 cos x cos x ? sin x cos x ? 3 cos x
2

n ?1

? 2 ? 62 ,∴ n ? 1 ? 6, n ? 5 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

?

?

1 3 3 ?? 3 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 2 2 2 3? 2 ?
由0 ? x ?

?
2

得,

?
3

? 2x ?

?
3

?

4? 3 ?? ? ,? . . . . . . . . . . . .4 分 ? sin ? 2 x ? ? ? 1 . 3 2 3? ?

∴ 0 ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? 3? 3 3 ,即函数 f ? x ? 的值域为 ? 0,1 ? . . . . . . . .6 分 ? 1? ?. ?? 2 3? 2 2 ? ?

(2)由 f ? A? ? sin ? 2 A ? 又由 0 ? A ?

? ?

??

?? 3 3 ? 得 sin ? 2 A ? ? ? 0 , ? ?? 3? 3? 2 2 ?
?
3 ? 4? ? ? ,∴ 2 A ? ? ? , A ? . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 3 3 3

?
2

,∴

?
3

? 2A ?

在 ?ABC 中,由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 7 ,得 a ?
2 2 2

. . . . . . . . . . . . . . . .10 7,

分 由正弦定理

a b b sin A 21 ? ,得 sin B ? , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 ? sin A sin B a 7

∵ b ? a ,∴ B ? A ,∴ cos B ? ∴

2 7 , 7

1 2 7 3 21 5 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . cos ? A ? B ? ? cos A cos B ? sin A sin B ? ? ? ? ? 2 7 2 7 14
. . . . .15 分 18.解: (1) 平行四边形 ABCD 的面积为 S? ABCD ? 2 ? 重合时, S?CFE ?

1 ? 1? 2sin1200 ? 3 , 当点 F 与点 D 2

1 3 CE ? CD? sin1200 ? x, 2 4

∵ S ?CFE ? 分

1 3 3 S? ABCD ,∴ ,∴ E 是 BC 的中点. . . . . . . . . . . . . . . .3 x? , x ? 1(百米) 4 4 4

(2)①当点 F 在 CD 上时,∵ S?CFE ?

1 1 3 ,∴ CE ? CF ? sin1200 ? S? ABCD ? 2 4 4

CF=

1 , . . . . . . .4 分 x
2 2 2 0

CF ? cos120 , 在三角形 CDE 中, EF ? CE ? CF ? 2CE ?
∴y?

x2 ?

1 ? 1 ? 3 ,当且仅当 x ? 1 时取等号. x2

此时 E 在 BC 中点处且 F 与 D 重合,符合题意; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8分 ②当点 F 在 DA 上时, ∵ S梯形CEFD ?

? x ? FD ? ?
2

3 1 3 ? S? ABCD ? ,∴ DF ? 1 ? x , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分 2 4 4

I.当 CE ? DF 时,过 E 作 EG / / CD 交 DA 于 G ,
0 在 ?EGF 中, EG ? 1,GF ? 1 ? 2 x, ? EGF ? 60 ,由余弦定理得 y ?

4x2 ? 2x ? 1 ;

II.当 CE ? DF ,过 E 作 EG / / CD 交 DA 于 G , 在 ?EGF 中, EG ? 1,GF ? 2 x ?1, ? EGF ? 1200 ,由余弦定理得 y ?
2

4x2 ? 2x ? 1 ;

由 I、II 可得 y ?

1? 3 ? 4x2 ? 2x ? 1 ? 4 ? x ? ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 分 4? 4 ?

∴当 x ?

1 3 时, ymin ? , 4 2

此时 E 在 BC 的八等分点(靠近 C )处且 DF ? 分 ∴由①②可知,当 x ?

3 (百米) ,符合题意; . . . . . . . . . . . . .14 4

1 3 (百米)时,路 EF 最短为 (百米) . . . . . . . . . . . . .15 分 4 2

19.解: (1)∵

An ?1 An 1 1 ?A ? ? ? ,∴数列 ? n ? 是首项为 1,公差为 的等差数列, n ?1 n 2 2 ?n?



n ? n ? 1? An 1 1 1 ? A1 ? ? n ? 1? ? ? n ? ,即 An ? n? N* ? , ? n 2 2 2 2

∴ an ?1 ? An ?1 ? An ?

? n ? 1?? n ? 2 ? ? n ? n ? 1? ? n ? 1
2 2

?n ? N ? ,
*

* 又 a1 ? 1 ,∴ an ? n n ? N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分

?

?

∵ bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 ,∴数列 ?bn ? 是等差数列, 设 ?bn ? 的前 n 项和为 Bn ,∵ B9 ? ∴ b7 ? 9 ,∴ ?bn ? 的公差为 分 (2)由(1)知 cn ?

9 ? b3 ? b7 ? ? 63 且 b3 ? 5 , 2

b7 ? b3 9 ? 5 ? ? 1, bn ? n ? 2 ? n ? N * ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 7 ?3 7 ?3

bn an n ? 2 n 1 ? ?1 ? ? ? ? 2 ? 2? ? ?, an bn n n?2 ?n n?2?
? ? 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? 3 2 4 n n?2?

∴ Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2n ? 2 ?1 ?

1 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 2n ? 2 ? 1 ? ? ? ? ? ? 2n ? 3 ? 2 ? ?, ? 2 n ?1 n ? 2 ? ? n ?1 n ? 2 ?

∴ Tn ? 2n ? 3 ? 2 ?

1 ? ? 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 ? ?. ? n ?1 n ? 2 ?

设 Rn ? 3 ? 2 ?

1 ? 4 1 ? ? 1 ? 1 ? ? ? 0, ? ,则 Rn?1 ? Rn ? 2 ? ?? ? n ?1 n ? 2 ? ? n ? 1 n ? 3 ? ? n ? 1?? n ? 3?

∴数列 ?Rn ? 为递增数列, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分 ∴ ? Rn ?min ? R1 ?

4 , 3 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 3

∵对任意正整数 n ,都有 Tn ? 2n ? a 恒成立,∴ a ? (3)数列 ?an ? 的前 n 项和 An ?

n ? n ? 1? n ? n ? 5? ,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Bn ? , 2 2
k ? k ? 1? k ? k ? 5? ? ? k 2 ? 3k ; 2 2

* ①当 n ? 2k k ? N 时, Sn ? Ak ? Bk ?

?

?

* ②当 n ? 4k ? 1 k ? N 时,

?

?

Sn ? A2 k ?1 ? B2 k ?

? 2k ? 1?? 2k ? 2 ? ? 2k ? 2k ? 5? ? 4k 2 ? 8k ? 1,
2 2

特别地,当 n ? 1 时, S1 ? 1 也符合上式;
* ③当 n ? 4k ? 1 k ? N 时, Sn ? A2 k ?1 ? B2 k ?

?

?

? 2k ? 1? 2k ? 2k ? 2k ? 5? ? 4k 2 ? 4k .
2 2

1 2 3 ? n ? n, n ? 2k ? 4 2 ? 2 ? n ? 6n ? 3 综上: Sn ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 分 , n ? 4k ? 3, k ? N * . 4 ? ? n 2 ? 6n ? 5 , n ? 4k ? 1 ? 4 ?
20.解: (1)∵函数 f ? x ? ? ax ? 3x ?1 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 分
3 2 3 ∴ f ? ? x ? ? 3ax ? 6x ? 3x ? ax ? 2? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1分

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 或 x2 ?

x

? ??,0?

2 ,∵ a ? 0 ,∴ x1 ? x2 ,列表如下: a 2 0 ? 2? a ? 0, ? ? a?

?2 ? ? , ?? ? ?a ?

f ? ? x?
f ? x?

?
?

0 极大值

?
?

0 极小值

?
?

∴ f ? x ? 的极大值为 f ? 0? ? 1,极小值为 f ? 分

4 ? 2 ? 8 12 . . . . . . . . . . . . . .3 ? ? 2 ? 2 ?1 ? 1? 2 . a ?a? a a

(2) g ? x ? ? xf ? ? x ? ? 3ax2 ? 6x ,∵存在 x ??1, 2? ,使 h ? x ? ? f ? x ? , ∴ f ? x ? ? g ? x ? 在 x ??1, 2? 上有解,即 ax ? 3x ? 1 ? 3ax ? 6 x 在 x ??1, 2? 上有解,
3 2 3 2

即不等式 2a ? 设y? ∴y?

1 3 ? 在 x ??1, 2? 上有解, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 x3 x

1 1 3x 2 ? 1 ?3x 2 ? 3 ? ? ? x ? 1, 2 y ? ? 0 对 x ??1, 2? 恒成立, ,∵ ? ? ?? x3 x x3 x4
1 3 1 3 ? 在 x ??1, 2? 上单调递减,∴当 x ? 1 时, y ? 3 ? 的最大值为 4, 3 x x x x

∴ 2a ? 4 ,即 a ? 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 (3)由(1)知, f ? x ? 在 ? 0, ??? 上的最小值为 f ? ①当 1 ?

4 ?2? ? ? 1? 2 , a ?a?

4 ? 0 ,即 a ? 2 时, f ? x ? ? 0 在 ? 0, ??? 上恒成立, a2

∴ h ? x ? ? max f ? x ? , g ? x ? 在 ? 0, ??? 上无零点. . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 ②当 1 ?

? ?

? ?

4 ? 0 即 a ? 2 时, f ? x ?min ? f ?1? ? 0 ,又 g ?1? ? 0 , a2

∴ h ? x ? ? max f ? x ? , g ? x ? 在 ? 0, ??? 上有一个零点, . . . . . . . . . . . . . .9 分

4 ?0, 即 0 ? a ? 2 时, 设 ? ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ax3 ? 3x2 ? 1 ? ln x ? 0 ? x ? 1? , 2 a 1 1 2 ∵ ? ? ? x ? ? 3ax ? 6 x ? ? 6 x ? x ? 1? ? ? 0 ,∴ ? ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减, x x
③当 1 ? 又 ? ?1? ? a ? 2 ? 0, ? ? ? ?

?1? ?e?

a 2e2 ? 3 ?1 ? ∴存在唯一的 x0 ? ? ,1? , 使得 ? ? x0 ? ? 0 , ? ? 0, 3 2 e e ?e ?

I.当 0 ? x ? x0 时,∵ ? ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ? ? x0 ? ? 0 ,∴ h ? x ? ? f ?x ? 且 h ? x ? 为减函 数, 又 h ? x0 ? ? f ? x0 ? ? g ? x0 ? ? ln x0 ? ln1 ? 0, f ? 0? ? 1 ? 0 ,∴ h ? x ? 在 ? 0, x0 ? 上有一个零

点; II.当 x ? x0 时,∵ ? ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ? ? x0 ? ? 0 ,∴ h ? x ? ? g ?x ? 且 h ? x ? 为增函数, ∵ g ?1? ? 0 ,∴ h ? x ? 在 ? x0 , ??? 上有一零点; 从而 h ? x ? ? max f ? x ? , g ? x ? 在 ? x0 , ??? 上有两个零点, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 分 综上所述, 当 0 ? a ? 2 时, h ? x ? 有两个零点; 当 a ? 2 时,h ? x ? 有一个零点; 当 a ? 2 时, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 分 h ? x ? 有无零点. 21. A.(几何证明选讲,本小题满分 10 分) 证明:连接 AD ,∵ AB 为圆的直径,∴ AD ? BD , 又 EF ? AB ,则 A, D, E , F 四点共圆, ∴ BD ?BE ? BA?BF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 又 ?ABC ? ?AEF , ∴

?

?

AB AC ? ,即 AB?AF ? AE ?AC , AE AF

∴ BE? . . . . . . . . . . . .10 分 BD ? AE?AC ? BA?BF ? AB?AF ? AB? ? BF ? AF ? ? AB2 . B.(矩阵与变换,本小题满分 10 分 解: (1)设 M ? ?

?a b ? ?a b ? ?1? ?1? ?a b ? ? ?1? ?0? ,由 ? 8 ? ? c d ? ?1? ?1? 及 ? c d ? ? 3 ? ? ?8? 中, ?? ? ? ? ?c d ? ? ?? ? ?? ?

? a?b ?8 ?a ? 6 ? c?d ?8 ?b ? 2 ?6 2? ? ? 得? ,解得 ? ,∴ M ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4分 ?. ? a ? 3 b ? 0 c ? 4 4 4 ? ? ? ? ? ? ? c ? 3 d ? 8 ? ?d ? 4
(2)设原曲线上任一点 P ? x, y ? 在 M 作用上对应点 P? ? x?, y?? ,

2 x? ? y ? ? x? ? ? ? x 6 2 x x ? 6 x ? 2 y ? ? ? ?? ? ? ? 8 则? ? ? ? ,即 ? ,解之得 ? , ? ? ? ? y? ? ? 4 4 ? ? y ? ? y? ? 4 x ? 4 y ? y ? ?2 x ? ? 3 y ? ? 8 ?
代入 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,得 x? ? 2 y? ? 4 ? 0 , 即曲线 x ? 3 y ? 2 ? 0 在 M 的作用下的新曲线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 . . . . . . . . . . . . . 10 分

C.(极坐标与参数方程,本小题满分 10 分) 解: (1)由 C : ?

? x ? r cos ? ? 2 2 2 2 得 ? x ? 2? ? ? y ? 2? ? r , y ? r sin ? ? 2 ?

∴曲线 C 是以 ? 2, 2 ? 为圆心, r 为半径的圆, ∴圆心的极坐标为 ? 2 2,

? ?

??

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 ?. 4?

(2)由 l : 2 ? sin ? ? ?

? ?

??

? ?1 ? 0 得 l : x ? y ? 1 ? 0 , 4?

从而圆心 ? 2, 2 ? 到直线 l 的距离为 d ?

2 ? 2 ?1 2

?

5 2, 2

∵圆 C 与直线 l 有公共点,∴ d ? r ,即 r ? D.(不等式选讲,本小题满分 10 分)

5 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 2

证明:∵ ? ??1 ? a ? ? ?1 ? b ? ? ?1 ? c ? ? ?1 ? d ? ? ??

? a2 b2 c2 d2 ? ? ? ? ? ? 1? a 1? b 1? c 1? d ?
2

a b c d ? ? ? ? 1? a ? ? 1? b? ? 1? c ? ? 1? d ? ? 1? a 1? b 1? c 1? d ? ?
? ?a ? b ? c ? d ? ? 1, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分
2

又 ?1 ? a ? ? ?1? b? ? ?1? c ? ? ?1? d ? ? 5 ,

a2 b2 c2 d2 1 ? ? ? ? . ∴ . . . . . . . . . . . .10 分 1? a 1? b 1? c 1? d 5
22.解: (1)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3.

1 2 2 ? 1? 0 P ? X ? 0 ? ? ?1 ? ? C2 ?1 ? a ? ? ?1 ? a ? 2 ? 2? 1 0 1? 1 1 2 2 P ? X ? 1? ? C2 ?1 ? a ? ? ? ?1 ? ? C2 a ?1 ? a ? ? ?1 ? a ? ; 2 2 ? 2?



1 2 2 1 2 1 1 ? 1? 2 2 1 a ? a , P ? X ? 2 ? ? C2 a ?1 ? a ? ? ?1 ? ? C2 a ? ? 2a ? a 2 ? ; P ? X ? 3 ? ? C 2 2 2 2 2 ? 2?
从而 X 的分布列为

X
P

0

1

2

3

1 2 ?1 ? a ? 2

1 2 ?1 ? a ? 2

1 2 ? 2a ? a ? 2

a2 2

X 的数学期望为

E ? X ? ? 0?


1 1 1 a 2 4a ? 1 2 2 2 1 ? a ? 1 ? 1 ? a ? 2 ? 2 a ? a ? 3 ? ? , . . . . . . . . . . . .5 ? ? 2? ? 2? ? 2 2 2

(2) P ? X ? 1? ? P ? X ? 0 ? ?

1 ??1 ? a 2 ? ? ?1 ? a 2 ? ? ? a ?1 ? a ? , ? 2? 1 1 ? 2a 2 2 ?? P ? X ? 1? ? P ? X ? 2 ? ? ? 1 ? a ? 2 a ? a ? ? ? ? ? 2? 2

P ? X ? 1? ? P ? X ? 3? ?

1 1 ? 2a 2 ??1 ? a 2 ? ? a 2 ? ? , ? 2? 2

? ?a ?1 ? a ? ? 0 ? 1 ? 1 ? 2a ? 1? ? 0 和 0 ? a ? 1 ,得 0 ? a ? ,即 a 的取值范围是 ? 0, ? . 由? . . . . . . . . . . . . . .10 2 ? 2? ? 2 ? 1 ? 2a 2 ?0 ? ? 2
分 23.解: (1)∵ SA ? 底面 ABCD, ?DAB ? 900 ,∴ AB、AD、AS 两两垂直, 以 A 为原点, AB、AD、AS 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系(如 图) . . . . . .1 分

则 S ? 0,0, a ? , C ? a, a,0? , D ? 0,3a,0?? a ? 0? , ∵ SA ? AB ? a ,且 SA ? AB ,∴设 E ? x,0, a ? x ? 其中 0 ? x ? a ,

∴ DE ? ? x, ?3a, a ? x ? , SC ? ? a, a, ?a ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 假设 DE 和 SC 垂直,则 DE ? SC ? 0 , 即 ax ? 3a ? a ? ax ? 2ax ? 4a ? 0 ,解得 x ? 2a ,
2 2 2

????

??? ?

??? ? ??? ?

这与 0 ? x ? a 矛盾, 假设不成立, 所以 DE 和 SC 不可能垂直. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 分 (2)∵ E 为线段 BS 的三等分点(靠近 B ) ,∴ E ?

1 ? ?2 a, 0, a ? , 3 ? ?3
?? ?

设平面 SCD 的一个法向量是 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? ,平面 CDE 的一个法向量是 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? ,

??

?? ??? ? ??? ? ??? ? ? CD ? 0 ?n1 ? ? ∵ CD ? ? ? a, 2a, 0 ? , SD ? ? 0,3a, ? a ? ,∴ ? ?? ??? , ? ? n1 ?SD ? 0
即?

?? ?? ax1 ? 2ay1 ? 0 ? x1 ? 2 y1 ,即 ? ,取 n1 ? ? 2,1,3 ? . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 ? 3ay1 ? az1 ? 0 ? z1 ? 3 y1

?? ? ??? ? ??? ? ???? ? 2 ? n2 ? CD ? 0 1 ? ? ? ???? ∵ CD ? ? ?a, 2a, 0 ? , DE ? ? a, ?3a, a ? ,∴ ? ?? , 3 ? ?3 ? ?n2 ?DE ? 0

?ax2 ? 2ay2 ? 0 ? ?? ? ? x2 ? 2 y2 ? 即 ?2 ,即 ? ,取 n2 ? ? 2,1, 5 ? , . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 1 ax2 ? 3ay2 ? az2 ? 0 ? z 2 ? 5 y2 ? 3 ?3
设二面角 S ? CD ? E 的平面角大小为 ? ,由图可知 ? 为锐角,

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ?n2 4 ? 1 ? 15 2 105 ? ∴ cos ? ? cos n1 , n2 ? ?? ?? , ? ? 21 14 ? 30 n1 ?n2
即二面角 S ? CD ? E 的余弦值为

2 105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 21


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