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2013高考数学考点21 数列的综合应用


考点 21 数列的综合应用 【高考再现】
热点一、等差数列与等比数列的综合应用 1. (2012 年高考(陕西理) 设 ?an ? 的公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 S n ,且 a5 , a3 , a4 )
成等差数列. (1)求数列 ?an ? 的公比; (2)证明:对任意 k ? N ? , S k ? 2 ,

S k , S k ?1 成等差数列.

2. (2012 年高考 (福建文) 在等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 中, a1 ? b1 ? 1, b4 ? 8, ?an ? )
的前 10 项和 S10 ? 55 . (Ⅰ)求 an 和 bn ; (Ⅱ)现分别从 ?an ? 和 ?bn ? 的前 3 项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两 项的值相等的概率.

3. (2012 年高考(天津文) (本题满分 13 分)已知 ?an ? 是等差数列,其前 n 项和为错误!未 )
找到引用源。, ?bn ? 是等比数列,且 a1 ? b1 , a4 ? b4 ? 27, S 4 ? b4 =10 . (I)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (II)记 Tn =a1b1 +a2b2 + ? +anbn ( n ? N * )证明: Tn ? 8 ? an ?1bn ?1 (n ? N * , n ? 2) 错误! 未找到引用源。.

4. (2012 年高考(湖北文) 已知等差数列 ?an ? 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 . )
(1) 求等差数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 a2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 an 的前 n 项和.

? ?

5.(2012 .

年高考(天津理) 已知{ an }是等差数列,其前 n 项和为 S n ,{ bn }是等比数列,且 )

a1 = b1 =2 , a4 +b4 =27 , S 4 ? b4 =10 .
(Ⅰ)求数列{ an }与{ bn }的通项公式; (Ⅱ)记 Tn =an b1 +an ?1b2 + ? +anb1 , n ? N + ,证明 Tn +12= ? 2an +10bn (n ? N + ) .

【方法总结】
对等差、等比数列的综合问题的分析,应重点分析等差、等比数列的通项及 前 n 项和; 分析等差、 等比数列项之间的关系. 往往用到转化与化归的思想方法.

热点二、数列与其他章节知识的综合应用 1. (2012
年高考(四川文) 设函数 )

f ( x) ? ( x ? 3)3 ? x ? 1 , {an } 是公差不为 0 的等差数


列, f (a1 ) ? f (a2 ) ? ??? ? f (a7 ) ? 14 ,则 a1 ? a 2 ? ? a 7 ? (

A.0

B.7

C.14

D.21.

? ? ? 2. (2012 年高考 (上海文) 若 S n ? sin ? ? sin 27 ? ? ? sin n7 (n ? N ) ,则在 S1 , S 2 ,?, S100 ) 7

中,正数的个数是 A.16.

( B.72.

) C.86. D.100.

3. (2012 年高考(湖北文) 定义在 ( ??, 0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定的 )
等比数列 ?an ? , ? f (an )? 仍是等比数列,则称 f ( x) 为“保等比数列函数”.现有定义 在

(??, 0) ? (0, ??)
2 x











数:① f ( x) ? x ;② f ( x) ? 2 ;③ f ( x) ? | x | ;④ f ( x) ? ln | x | . 则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为( A.①② B.③④ C.①③ D.②④. 【答案】C 【解析】设数列 an 的公比为 q .对于①, )

? ?

2 f (an ?1 ) an ?1 ? 2 ? q 2 ,是常数,故①符合条件;对 f (an ) an

于 ②,

f (an ?1 ) 2an?1 ? an ? 2an?1 ? an , 不 是 常 数 , 故 ② 不 符 合 条 件 ; 对 于 f (an ) 2

③,

| an ?1 | a f (an ?1 ) ? n ?1 ? q , 是 常 数 , 故 ③ 符 合 条 件 ; 对 于 ④, ? an f (an ) | an |

f (an ?1 ) ln | an ?1 | ,不是常数,故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选 ? f (an ) ln | an |
C.

4. (2012 年高考(福建文) 数列 ?an ? 的通项公式 an ? n cos )
等于( A.1006 ) B.2012 C.503

n? ,其前 n 项和为 S n ,则 S 2012 2

D.0

5. (2012 年高考(北京文) 某棵果树前 n 年得总产量 )
S n 与 n 之间的关系如图所示,从目前记录的结果
看,前 m 年的年平均产量最高, m 的值为 A.5 【答案】C 【解析】由图可知 6,7,8,9 这几年增长最快,超过平均 值,所以应该加入, 因此选 C.
1 f ( x) ? 1? x . 各 项 均 为 正 数 的 数 列 {an } 满 足





B.7

C.9

D.11

6 . 2012 (

年高考(上海文) 已知 )

a1 ? 1 , an ? 2 ? f (an ) .若 a2010 ? a2012 ,则 a20 ? a11 的值是_________.

2 7. (2012 年高考(四川文) 已知 a 为正实数, n 为自然数,抛物线 y ? ? x ? )

an 与 x 轴正半 2

轴相交于点 A ,设 f (n) 为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距. (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f (n) ; (Ⅱ)求对所有 n 都有

f ( n) ? 1 n 成立的 a 的最小值; ? f ( n) ? 1 n ? 1 1 1 1 与 ? ? ??? ? f (1) ? f (2) f (2) ? f (4) f (n) ? f (2n)

(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较

6?

f (1) ? f (n ? 1) 的大小,并说明理由. f (0) ? f (1)

8. (2012 年高考(湖南文) 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年 )
初有资金 2000 万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年 增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将 剩余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元. (Ⅰ)用 d 表示 a1,a2,并写出 an ?1 与 an 的关系式; (Ⅱ)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴资 金 d 的值(用 m 表示).

2 9. (2012 年高考(四川理) 已知 a 为正实数, n 为自然数,抛物线 y ? ? x ? )

an 与x轴 2

正半轴相交于点 A ,设 f (n) 为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距. (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f (n) ; (Ⅱ)求对所有 n 都有

f ( n) ? 1 n3 ? 3 成立的 a 的最小值; f ( n) ? 1 n ? 1

(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较

? f (k ) ? f (2k ) 与
k ?1

n

1

27 f (1) ? f (n) 的大小,并说明理由. ? 4 f (0) ? f (1)

10 .(

2012 年 高 考 ( 上 海 理 )) 对 于 数 集

X ? {?1, x1 , x2 , ?, xn } , 其 中

0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 ,定义向量集
Y ? {a | a ? ( s, t ), s ? X , t ? X } . 若对于任意 a1 ? Y ,存在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,则称 X
具有性质 P. 例如 X ? {?1, 1, 2} 具有性质 P. (1)若 x>2,且 {?1, 1, 2, x} ,求 x 的值; (2)若 X 具有性质 P,求证:1?X,且当 xn>1 时,x1=1;

(3)若 X 具有性质 P,且 x1=1, x2=q(q 为常数),求有穷数列 x1 , x2 , ?, xn 的通项公式.

11. (2012 年高考(大纲理) )
函 数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 . 定 义 数 列
2

? xn ?

如 下 : x1 ? 2, xn ?1 是 过 两 点

P(4, 5), Qn (xn , f (xn )) 的直线 PQn 与 x 轴交点的横坐标.
(1)证明: 2 ? xn ? xn ?1 ? 3 ; (2)求数列 ? xn ? 的通项公式.

【方法总结】
1.解决此类问题要抓住一个中心——函数,两个密切联系:一是数列和函数之 间的密切联系,数列的通项公式是数列问题的核心,函数的解析式是研究函数问 题的基础;二是方程、不等式与函数的联系,利用它们之间的对应关系进行灵活 的处理. 2.从近几年新课标高考试题可以看出,不同省市的高考对该内容要求的不尽相 同,考生复习时注意把握.数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问

题,关键是充分利用解析几何的有关性质、公式,建立数列的递推关系式,然后 借助数列的知识加以解决.

【考点剖析】
一.明确要求
1.熟练把握等差数列与等比数列的基本运算. 2.掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想,如“函数与方程”、“数形 结合”、“分类讨论”、“等价转化”等. 3.注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法.

二.命题方向
1.考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题. 2.考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力.

三.规律总结
基础梳理 1.等比数列与等差数列比较表 不同点 (1)强调从第二项起每 等差数列 一项与前项的差; (2)a1 和 d 可以为零; (3)等差中项唯一 (1)强调从第二项起每 等比数列 一项与前项的比; (2)a1 与 q 均不为零; (3)等比中项有两个值 2.解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料,认真理解题意. (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题,弄 清该数列的特征、要求是什么. (3)求解——求出该问题的数学解. (1)都强调从第二项起每一 项与前项的关系; (2)结果都必须是同一个常 数; (3)数列都可由 a1,d 或 a1, q 确定 相同点

(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中. 3.数列应用题常见模型 (1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加 (或减少)的量就是公差. (2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比 模型,这个固定的数就是公比. (3)递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化 而变化时,应考虑是 an 与 an+1 的递推关系,还是 Sn 与 Sn+1 之间的递推关系. 一条主线 数列的渗透力很强,它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系,优化组 合,无形中加大了综合的力度.解决此类题目,必须对蕴藏在数列概念和方法中 的数学思想有所了解. 两个提醒 (1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解,有些数列题目条件已指明 是等差(或等比)数列,但有的数列并没有指明,可以通过分析,转化为等差数列 或等比数列,然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题. (2)数列是一种特殊的函数,故数列有着许多函数的性质.等差数列和等比数列 是两种最基本、 最常见的数列, 它们是研究数列性质的基础, 它们与函数、 方程、 不等式、三角等内容有着广泛的联系,等差数列和等比数列在实际生活中也有着 广泛的应用,随着高考对能力要求的进一步增加,这一部分内容也将受到越来越 多的关注. 三种思想 (1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性). (2)数列与不等式结合时需注意放缩. (3)数列与解析几何结合时要注意递推思想.

【基础练习】
1.(经典习题)某学校高一、高二、高三共计 2 460 名学生,三个年 级的学生人数刚好成等差数列,则该校高二年级的人数是( A.800 B.820 C.840 D.860 )

2.(教材习题改编)有一种细菌和一种病毒,每个细菌 在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个,现在有一个这样的细菌和 100 个这样的病毒(假设病毒不繁殖),问细菌将病毒全部杀死至少需要 A.6 秒钟 C.8 秒钟 B.7 秒钟 D.9 秒钟 ( )

3.(经典习题)若 a,b,c 成等比数列,则函数 y=ax2+bx+c 的图象 与 x 轴的交点的个数为( A.0 C.2 B.1 D.不能确定 )

【解析】:由题意 b2=ac(ac>0),∴Δ =b2-4ac=-3b2<0. 【答案】: A 4.(经典习题)5·12 汶川大地震后,山东天成书业公司于 2008 年 8 月向 北川中学捐赠《三维设计》系列丛书三万册,计划以后每年比上一年多捐 5 000 册,则截至到 2012 年,这 5 年共捐________万册. 【解析】 :由题意知 a1=3,d=0.5 5×4 S5=3×5+ 2 ×0.5=20. 【答案】20 2π 5.(经典习题)一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为 3 ,公差 π 为36,则这个多边形的边数为________.

6.(人教 A 版教材习题改编)已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比 数列,则 a2 的值为( A.-4 【解析】 【答案】 B.-6 ). C.-8 D.-10

由题意知:a2=a1a4.则(a2+2)2=(a2-2)(a2+4),解得:a2=-6. 3 B

7. (经典习题) 已知数列{an}是各项均为正数的等比数列, 数列{bn}是等差数列, 且 a6=b7,则有( A.a3+a9≤b4+b10 B.a3+a9≥b4+b10 C.a3+a9≠b4+b10 D.a3+a9 与 b4+b10 的大小关系不确定 ).

8.(经典习题)若互不相等的实数 a,b,c 成等差数列,c,a,b 成等比数列, 且 a+3b+c=10,则 a=( A.4 B.2 ). D.-4

C.-2

【名校模拟】
一.基础扎实 1. (2012 云南省第一次高中毕业生统一检测复习文)已知 Sn 是等比数列 { an } 的前 n 项和,

a1 与 a3 的等差中项等于 15. 如果 S4 ? 120 ,那么
(A) 18 (B) 25 (C) 32

S 2012 ? S2009 ? 32009
(D) 39

2.(2012 年云南省第一次统一检测理)在等比数列 ? a n ? 中, a6 与 a7 的等差中项等于 48 ,
a 4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 ? 1286 . 如果设 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,那么 S n ?
(A) 5 ? 4
n

(B) 4 ? 3
n

(C) 3 ? 2
n

(D) 2 ? 1
n

【解析】:设等比数列 ? a n ? 的公比为 q ,由已知得 ?

? a17 q 42 ? 1286 ,化简得 a1q 5 (1 ? q) ? 96 ?

? a1 q 6 ? 2 6 ?a ? 1 ,解得 ? 1 . ∴ S n ? 2 n ? 1 .选(D). ? 5 a1q (1 ? q) ? 96 ?q ? 2 ?

3.(湖北武汉 2012 毕业生五月供题训练(三)文)一个样本容量为 10 的样本数据,它们组
成一个公差不为 O 的等差数列{ an },若 a3 =8,且 a1,a3,a7 成等比数列,则此样本的 平均数和中位数分别是 A.13 ,12 B.13 ,13 C.12 ,13 D.13 ,14.

4.(仙桃市 2012 年五月高考仿真模拟试题文)已知 f ( x) ? sin 2 x ,若等差数列 {a n } 的第 5 项
的值为 f ' ( ? ) ,则 a1a 2 ? a 2 a9 ? a9 a8 ? a8 a1 ? 6 【答案】 :4 【解析】 f ?( x) ? 2 cos 2 x : 。

? a5 ? f ?( ) ? 2 cos ? 1 6 3

?

?

? a1a2 ? a2 a9 ? a9 a8 ? a8 a1 ? (a1 ? a9 )(a2 ? a8 ) ? 2a5 ? 2a5 ? 4
5.(2012 北 京 海 淀 区 高 三 年 级 第 二 学 期 期 末 练 习 理)(本小题满分 13 分)
已知公差不为0的等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , S3 = a4 + 6 ,且 a1 , a4 , a13 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {

1 } 的前 n 项和公式. Sn

6. (2012 年 石 家 庄 市 高 中 毕 业 班 第 二 次 模 拟 考 试 文 ) (本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 等 比 数 列 {an}的 前 n 项 和 为 Sn , a1= 2, S1 2S2 3S3 成 等 差 数 列 . (I )求 数 列 {an}的 通 项 公 式 ; (II )数 列 是 首 项 为 -6, 公 差 为 2 的 等 差 数 列 , 求 数 列 {bn }的 前 n 项 和 .

7.(山西省 2012 年高考考前适应性训练理)(本小题满分 12 分)
已知数列 {an} 是公差不为零的等差数列, a1 ? 2 ,且 a2 , a4 , a8 成等比数列. (1)求数列 {an} 的通项公式; (2)求数列 {an ? 3an } 的前 n 项和. 【解析】 :

? ? 8.(江西省2012届十所重点中学第二次联考文)已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ,公差
?a ? d ? 0, 且S 3 ? S 5 ? 50, a1 , a 4 , a13 成等比数列. (Ⅰ)求数列 n 的通项公式;
? bn ? ? ? a ?b ? T (Ⅱ)设 ? n ? 是首项为1,公比为3的等比数列,求数列 n 的前 n 项和 n .

9.(成都市 2012 届高中毕业班第二次诊断性检测文) (本小题满分 12 分)
巳知数列{an}的前 n 项和为 ,且 ,数列{bn}满足 ,

(I)证明:数列{an}为等比数列; (II)求数列{an}和{bn}的通项公式; (III)记 ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,比较 2Tn 与 的大小.

10.(湖北省武汉市 2012 届高中毕业生五月供题训练(二)理)(本小题满分 12 分)
在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ? 比不为 l 的等比数列.

an ?1 (c 为常数, n ? N *, n ? 2 ) ,又 a1 , a2 , a5 成公 can ?1 ? 1

(I)求证:{

1 }为等差数列,并求 c 的值; an
2 , bn ? an ?1 an ?1 (n ? 2, n ? N *) ,证明:数列{ bn }的前 n 项和 3

(Ⅱ)设{ bn }满足 b1 ?

4n 2 ? n Sn ? 2 . 4n ? 1

11.(湖北八校文 2012 届高三第二次联考)(本题满分 12 分)
已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 3 项和 S3 =9,且 a1 , a2 , a5 成等比数列。 (1)求数列 {an } 的通项公式和前 n 项和 S n (2)设 Tn 为数列 { 小值。

1 } 的前 n 项和,若 Tn ? ? an ?1 对一切 n ? N ? 恒成立,求实数 ? 的最 an an ?1

二.能力拔高 1. ( 北 京 市 东 城 区 2011-2012 学 年 度 第 二 学 期 高 三 综 合 练 习 ( 二 ) 理 ) 定 义 :

F ( x , y ) ? y x ? x ? 0 , y ? 0 ? ,已知数列 {an } 满足: a n ?
数 n ,都有 a n ? a k (k ? N ) 成立,则 a k 的值为( (A)
?

F ?n ,2 ? (n ? N? ) ,若对任意正整 F ?2 , n ?

) (D)

1 2

(B) 2

(C)

8 9

9 8

2. ( 湖 北 襄 阳 五 中 2012 高 三 年 级 第 二 次 适 应 性 考 试 文 ) 已 知 函 数

?2 x ? 1 ( x ? 0) f ( x) ? ? ? f ( x ? 1) ? 1 ( x ? 0)
则该数列的通项公式为(

,把方程

f ( x) ? x

的根按从小到大的顺序排列成一个数列,



an ?
A.

n(n ? 1) 2

B.

a n ? n(n ? 1)

C.

an ? n ? 1

D.

an ? 2 n ? 2

3. (北京市西城区 2012 届高三下学期二模试卷文)(本小题满分 13 分)
在等差数列 {an } 中, a2 ? a7 ? ?23 , a3 ? a8 ? ?29 ,

( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 8( x ? 0, y ? 0)
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {an ? bn } 是首项为 1 ,公比为 c 的等比数列,求 {bn } 的前 n 项和 S n .

4. (2012 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试理) (本小题满分 12 分) 已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S4、S10、S7 成等差数列. (I )求证而 a3,a9,a6 成等差数列; (II)若 a1=1,求数列 W{a3n}的前 n 项的积

5. (2012 年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)文)(本小题满分 12 分)
已知数列{ an }为公差不为零的等差数列, a1 =1,各项均为正数的等比数列{ bn }的第 1 项、第 3 项、第 5 项分别是 a1 、 a3 、 a21 . (I)求数列{ an }与{ bn }的通项公式; (Ⅱ)求数列{ an bn }的前 n 项和.

6. (2012 年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二) 理) (本小题满分 12 分)
已知数列{ an }为公差不为零的等差数列, a1 =1,各项均为正数的等比数列{ bn }的第 1 项、第 3 项、第 5 项分别是 a1 、 a3 、 a21 . (I)求数列{ an }与{ bn }的通项公式; (Ⅱ)求数列{ an bn }的前 n 项和.

7.(2012 年高三教学测试(二)理)(本题满分 14 分)
在等差数列 {a n } 和等比数列 {bn } 中, a 1 ? 1 , b1 ? 2 , bn ? 0 ( n ? N* ),且 b1 , a 2 , b2 成 等差数列, a 2 , b2 , a 3 ? 2 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {a n } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ? a bn ,数列 {c n } 的前 n 和为 S n ,若 取值范围.
S 2 n ? 4n ? a n ? t 恒成立,求常数 t 的 S n ? 2n

8.(长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学 2012 届第三次模拟理)(本小
题 12 分)已知四个正实数前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,第一个与第 三个的和为 8,第二个与第四个的积为 36. (Ⅰ) 求此四数; (Ⅱ)若前三数为等差数列 ?an ? 的前三项,后三数为等比数列 ?bn ? 的前三项,令

cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

9. (四川成都 2012 高三第二次诊断性检测理)(本小题满分 12 分) 已知数列{an}和{bn},b1=1,且 (I)证明:数列{an}为等比数列; (II)求数列{an}和{bn}的通项公式; (III)记 立,求 k 的最大值. 【解析】 ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn, 若 恒成 ,记 .

10.(湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试理)(本小题满分12分) 已知等差数列数列

{an } 的 前 n 项 和 为 S n , 等 比 数 列 {bn } 的 各 项 均 为 正 数 , 公 比 是 q , 且 满 足 : a1 ? 3, b1 ? 1, b2 ? S 2 ? 12, S 2 ? b2 q .
(Ⅰ)求 (Ⅱ)设

an 与 bn ;
cn ? 3bn ? ? ?2 3 ? ? ? R ?
an

,若

?cn ? 满足: cn?1 ? cn 对任意的 n ? N * 恒成立,

求 ? 的取值范围.

11.(湖北武汉 2012 毕业生五月供题训练(三)文)(奉小题满分 12 分)
某同学在暑假的勤工俭学活动中, 帮助某公司推销一种产品, 每推销 1 件产品可获利润 4 元, 1 天他推销了 12 件, 第 之后加强了宣传, 从第 2 天起, 每天比前一天多推销 3 件. 问: (I)该同学第 6 天的获利是多少元? (Ⅱ)该同学参加这次活动的时间至少达到多少天,所获得的总利润才能不少于 1020 元?

三.提升自我 1. (江西省2012届十所重点中学第二次联考文)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的
竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升, 则第5节的容积为( B A.1升 B ) C.

67 .升 66

47 升 44

D.

37 升 33

2. (襄阳五中高三年级第一次适应性考试理)已知定义在 R 上的函数 f (x) 是奇函数且满足
S a 3 (其中 S n 为 f ( ? x) ? f ( x) , f (?2) ? ?3 ,数列 ?a n ? 满足 a1 ? ?1 ,且 n ? 2 ? n ? 1 , 2 n n

?an ? 的前 n 项和) f (a5 ) ? f (a6 ) ? ( 。则
A. ? 3 B. ? 2

) C. 3 D. 2

3. (浙江省 2012 届重点中学协作体高三第二学期 4 月联考试题理 )对正整数 n ,设曲线 y ? x n (1 ? x)
在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n , 则数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和的公式是________. ? n ? 1?

4. ( 海 淀 区 高 三 年 级 第 二 学 期 期 末 练 习 文) (本小题满分 13 分)
已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,公差 d ? 0 , S5 = 4a3 + 6 ,且 a1 , a3 , a9 成等 比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {

1 } 的前 n 项和公式. Sn

5. (怀化 2012 高三第三次模拟考试文) (本小题满分 13 分)

6.(浙江省 2012 届浙南、浙北部分学校高三第二学期 3 月联考试题理)(本小题满分 14 分)已知函
数 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) 的导函数 f ?( x) ? ?2 x ? 7 ,数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,点
2

Pn (n, S n )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f (x) 的图象上.
(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式及 S n 的最大值; (Ⅱ)令 bn ?

2an ,其中 n ? N ? ,求 {nbn } 的前 n 项和.

7.(山东省泰安市 2012 届高三第一次模拟考试文) (本小题满分 12 分)
已知数列 ?an ?是等差数列,满足 a2 ? 5, a4 ? 13. 数列 ?bn ?的前 n 项和是 Tn,且 Tn ? bn ? 3. (1)求数列 ?an ?及数列 ?bn ?的通项公式; (II)若 cn ? an ? bn ,试比较 cn 与 cn?1 的大小.

8.(湖北武汉 2012 适应性训练理)(本小题满分 12 分)已知前 n 项和为 Sn 的等差数列{an } 的
公差不为零,且 a2 ? 3 ,又 a4 , a5 , a8 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)是否存在正整数对 (n, k ) ,使得 nan ? kSn ?若存在,求出所有的正整数对 (n, k ) ;

若不存在,请说明理由.

(注:若用枚举法,最后 4 分中,得到一个数对给 1 分,得到两个数对给 2 分,全对给 4 分)

9.(湖北钟祥一中 2012 高三五月适应性考试理) (本小题满分 14 分)已知数列{an}是以
d 为公差的等差数列,数列{bn}是以 q 为公比的等比数列 (Ⅰ)若数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 a1=b1=d=2,S3<5b2+a88-180,求整数 q 的值 (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,试问数列{bn}中是否存在一项 bk,使得 b,k 恰好可以表示为该 数列中连续 P(P∈N,P≥2)项和?请说明理由。 (Ⅲ)若 b1=ar,b2=as≠ar, b3=at(其中 t>s>r,且(s—r)是(t—r)的约数)求证:数 列{bn}中每一项都是数列{an}中的项.

【原创预测】
1.对数列 {an } , 如果 ?k ? N* 及 ?1 , ?2 , ? , ?k ? R , an ? k ? ?1an ? k ?1 ? ?2 an ? k ? 2 ? ? ? ?k an 使
成立,其中 n ? N* ,则称 {an } 为 k 阶递归数列.给出下列三个结论: ① 若 {an } 是等比数列,则 {an } 为 1 阶递归数列; ② 若 {an } 是等差数列,则 {an } 为 2 阶递归数列; ③ 若数列 {an } 的通项公式为 an ? n 2 ,则 {an } 为 3 阶递归数列. 其中,正确结论的个数是( (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 )

2. 某校数学课外小组在坐标纸上,为一块空地设计植树方案如下:第 k 棵树种植在点
? ? ? k ?1? ? k ? 2 ?? ? xk ? xk ?1 ? 1 ? 4 ?T ? ? ?T ? ?? ? ? 4 ?? ? ? 4 ? 其中 x1 ? 1, 1 ? 1 , k ? 2 时, 当 , ?a? Pk ? xk , k ? 处, y T y ? ? y ? y ? T ? k ?1? ? T ? k ? 2 ? k ?1 ? ? ? ? ? k ? 4 ? ? 4 ? ?
表示非负实数 a 的整数部分,例如 T ? 3.7 ? ? 3 , T ? 0.4 ? ? 0 .按此方案,在第 2012 棵树的种 植点坐标应为 .

3. 如图所示:有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上
全部移到另一根针上. (1)每次只能移动一个金属片; (2) 在每次移动过程中, 每根针上较大的金属片不能放在 较小的金属片上面.将 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针最少 需要移动的次数记为 f ( n) ; ① f (3) ? ② f ( n) ? ; .

4. 在直角坐标平面上有一点列 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ),? , Pn ( x n , y n ),? , 对一切正整
数 n,点 Pn 在函数 y ? 3 x ? 差的等差数列 ?x n ? . (Ⅰ)求点 Pn 的坐标; (Ⅱ)设抛物线列 C1,C2,C3,…,Cn,…中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,抛物线 Cn 的顶点为 Pn,且过点 Dn(0, n 2 ? 1 ).记与抛物线 Cn 相切于点 Dn 的直线的斜

13 5 的图象上,且 Pn 的横坐标构成以 ? 为首项,-1 为公 4 2

率为 kn,求

1 1 1 . ? ?? ? k1k2 k2 k3 kn ?1kn


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