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山西省山西大学附中2013届高三一月月考数学(理)


山西大学附中 2012~2013 学年高三上学期一月月考 数 学(理 科)试 题
时间:120 分钟 分数:150 分 一、选择题:本大题共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分。 1.已知集合 A ? ?x | y ? lg?1 ? x ?? ,集合 B ? y | y ? x A. ?0, 1? B. ?0, 1? C. ?? ?, 1?

?

2

?,则 A ? B ? (

D. ?? ?, 1?



2.若复数 z ? (a 2 ? 2a ? 3) ? (a ? 3)i 为纯虚数( i 为虚数单位),则实数 a 的值是( A. ? 3 3.函数 f ( x) ? A. [0,1] B. ? 3 或 1 C. 3 或 ? 1 ) D. [0, ] ) D. 1

)

x ? x 2 的单调递增区间为( 1 1 B. (??, ] C. [ ,1] 2 2

1 2

4.—个几何体的正视图与侧视图相同,均为右图所示,则其俯视图可能是(

5.从 1、2、3、4、5 这五个数字中任取 3 个组成无重复 数字的三位数,当三个数字有 2 和 3 时,且 2 需排在 3 的 前面(不一定相邻),这样的三位数有 ( ) A.12 个 B.54 个 C.51 个 D.45 个 6.已知某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的结 果为( )

3 2 1 C. D. 5 5 5 ?lg x, x ? 0, ? 7.设若 f ( x) ? ? f ( f (1)) ? 1 ,则 a 的 a 2 ? x ? ?0 3t dt , x ? 0, ?
A. B. 值是( ) A. ? 1 B. 2 C. 1 D.-2 8.已知命题 p : a, b ? R ,则 | a | ? | b |? 1 是 | a ? b |? 1 的充分不必要条件; 命题 q : 已知 A, B, C 是锐角三角形 ABC 的三个内角,向量 m ? (1 ? sin A,1 ? cos A),

4 5

??

?? ? ? ) n ? (1 ? sin B, ?1 ? cos B) ,则 m 与 n 的夹角是锐角,则( A. p 假 q 真 B. p 且 q 为真 C. p 真 q 假

D. p 或 q 为假 ) D. S60 =0

9.等差数列{ an }前 n 项和为 sn ,满足 S 20 ? S 40 ,则下列结论中正确的是( A. S30 是 sn 中的最大值 B. S30 是 sn 中的最小值 C. S30 =0

10.若 (1 ? 2 x) 2012 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2012 x 2012 ,

则 (a0 ? a1 ) ? (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? ? ? (a2011 ? a2012 ) ? ( A.1 B. 2
2012

) D. 2 ? 2
2012

C. 1 ? 2
2

2012

11.下图是函数 f ? x ? ? x ? ax ? b 的部分图象,则函数 g ( x) ? ln x ? f ?( x) 的零点所在的 区间是( ) 1 y

O A. ( , )

1 C. ( ,1)

x

1 1 4 2

B. (1, 2)

1 2

D. (2,3)

12.已知定义域为 R 的函数 f ? x ? 是奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? | x ? a 2 | ? a 2 ,且对

x ? R ,恒有 f ?x ? 1? ? f ?x ? ,则实数 a 的取值范围为(
A.[0,2] B.[ ?

) D.[ ? 2,0]

1 1 , ] 2 2

C.[ ? 1,1]

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。 13.从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方 图(如图) .若要从身高在[ 120 , 130) ,[130 ,140) , [140 , 150]三组内的学生中,用分层抽 样的方法选取 18 人参加一项活动,则从身高在[140 ,150]内的学生中选取的人数应 为 .

14.在△ ABC 中, a , b , c 分别为 ?A、?B、?C 的对边,三边 a 、 b 、 c 成等差数列, 且B ?

?
4

,则 cos A ? cos C 的值为
|ln x|

. .

15.当直线 y ? kx 与曲线 y ? e

? | x ? 2 | 有 3 个公共点时,实数 k 的取值范围是

16.如图,平面四边形 ABCD 中, AB ? AD ? CD ? 1 , BD ? 2 , BD ? CD ,将其沿对角线 使平面 A' BD ? 平面 BCD , 若四面体 A'? BCD 顶点在同一个球面 BD 折成四面体 A'? BCD , 上,则该球的体积为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。 17. (本小题满分 12 分)
已知数列 (1)求数列

?an ? 满足 a1 ? 2 , a2 ? 1 ,且

?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .
18. (本小题满分 12 分)

2n an ?1 ? an an ? an ?1 。 ? (n ? 2) , bn ? an an an ?1 an an ?1

?? ? ? 3 ,且 m ? n . n ? (cos B cos C ,sin B sin C ? ) 2 (1)求 A 的大小;
(2)现在给出下列三个条件:① a

已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,向量 m ? ( ?1,1) ,

??

? 1 ;② 2c ? ( 3 ? 1)b ? 0 ;③ B ? 45? ,试从中再选择两 个条件以确定 ?ABC ,求出所确定的 ?ABC 的面积.
19. (本小题满分 12 分) 假设某班级教室共有 4 扇窗户, 在每天上午第三节课上课预备铃声响起时, 每扇窗户或 被敞开或被关闭,且概率均为 0.5,记此时教室里敞开的窗户个数为 X . (1)求 X 的分布列,以及 X 的数学期望; (2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭,班长就会将关闭的窗户全部敞开,否则 维持原状不变.记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为 Y ,求 Y 的数学期 望. 20. (本小题满分 12 分) 如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ?DAB ? 600 .点 E , F 分别在边 CD, CB 上,点

E 与点 C , D 不重合, EF ? AC , EF ? AC ? O .沿 EF 将 ?CEF 翻折到 ?PEF 的位置, 使平面 PEF ⊥平面 ABFED . (1)求证: BD ⊥平面 POA ; (2)当 PB 取得最小值时,请解答以下问题: (i)求四棱锥 P ? BDEF 的体积; ???? ??? ? (ii)若点 Q 满足 AQ = ? QP ( ? ? 0 ),试探究:直线 OQ 与平面 PBD 所成角的大小是
否一定大于

?
4

?并说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 g ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ln x
2

(1) 当 a ? 1 时, 求函数 g (x) 的单调增区间; (2) 求函数 g (x) 在区间 ?1, e? 上的最小值;
n

(3) 在(1)的条件下,设 f ( x) ? g ( x) ? 4 x ? x ? 2 ln x ,
2

证明:

1 3n 2 ? n ? 2 ? ? k ? f (k ) n(n ? 1) (n ? 2) .参考数据: ln 2 ? 0.6931 . k ?2

请在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 过点 P ( 交于不同的两点 M , N . (1) 写出直线 l 的参数方程; (2) 求

3 3 , ) 作倾斜角为 ? 的直线 l 与曲线 C : x 2 ? y 2 ? 1 相 2 2

1 1 ? 的取值范围. PM PN

23.(本小题满分 10 分). 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? a ? a . (1)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 x ? 2 ? x ? 3 ,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若存在实数 n 使 f (n) ? m ? f (? n) 成立,求实数 m 的取值范围.

?

?

2013 山大附中高三一月考数学理科答案 ADDBC
3

BCADC

CB
3 ? 2

?4 2

(0,1)

17、解: (1)

a n ?1 ? a n a n ? a n ?1 a ? a2 1 1 1 1 ? ? ... ? 1 ? ,∴ ? ? 。 a n a n ?1 a n a n ?1 a 2 a1 2 an an ?1 2

(2)由(1)知 ? ∴

?1? 1 1 ? 是以 为首项, 为公差的等差数列, 2 2 ? an ?

1 n ? , bn ? n ? 2n ?1 。 an 2
1 ? 21 ? 2 ? 2 2 ? ... ? (n ? 1) ? 2 n ?1 ? n ? 2 n ,

S n ? 1 ? 2 0 ? 2 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? ... ? n ? 2 n ?1 ,
2S n ?
∴ ? Sn

? 1 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n ?1 ? n ? 2n ?
n

1 ? 2n ? n ? 2n ? (1 ? n)2n ? 1 , 1? 2

∴ S n ? ( n ? 1)2 ? 1 。 18、

(Ⅱ)方案一:选择①②,可确定 ?ABC ,因为 A ? 30? , a ? 1, 2c ? ( 3 ? 1)b ? 0

3 ?1 2 3 ?1 3 b) ? 2b ? b? 2 2 2 6? 2 整理得: b 2 ? 2, b ? 2, c ? ……………10 分 2 1 1 6? 2 1 3 ?1 所以 S ?ABC ? bc sin A ? ? 2 ? ……………………13 分 ? ? 2 2 2 2 4 ? ? ? 方案二:选择①③,可确定 ?ABC ,因为 A ? 30 , a ? 1, B ? 45 , C ? 105
由余弦定理,得: 12 ? b 2 ? ( 又 sin105? ? sin(45? ? 60? ) ? sin 45? cos 60? ? cos 45? sin 60? ? 由正弦定理 c ? 所以 S ?ABC

6? 2 4

a sin C 1 ? sin105? 6? 2 ……………10 分 ? ? ? sin A sin 30 2 1 1 6? 2 2 3 ?1 ……………13 分 ? ac sin B ? ?1 ? ? ? 2 2 2 2 4
······· 1 分 ·······

19、 (理科) 解: (Ⅰ)∵ X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4, X ~ B (4, 0.5) ,

0 ∴ P ( X ? 0) ? C4 ?

1 1 ?1? 1?1? ? ? , P( X ? 1) ? C4 ? ? ? , 4 ? 2 ? 16 ?2?
4 4

4

4

3 1 2?1? 3?1? P( X ? 2) ? C4 ? ? ? , P( X ? 3) ? C4 ? ? ? , 4 ?2? 8 ?2?
1 ?1? ·········································· P( X ? 4) ? C ? ? ? , ·········································· 6 分 ? 2 ? 16 ? X 的分布列为
4 4 4

X
p

0

1

2

3

4

1 16

1 4

3 8

1 4

1 16

···················· 7 分 ···················· (Ⅱ) Y 的所有可能取值为 3,4,则······································ 分 ····································· 8

1 , ············································· 9 分 ············································· 4 3 ········································· P(Y ? 4) ? 1 ? P(Y ? 3) ? , ··········································11 分 4 1 3 15 ?Y 的期望值 E (Y ) ? 3 ? ? 4 ? ? . 4 4 4 15 答: Y 的期望值 E (Y ) 等于 . ········································· 13 分 ········································· 4 P(Y ? 3) ? P( X ? 3) ?
(文科) 解: (Ⅰ)甲班高等数学成绩集中于 60-90 分之间,而乙班数学成绩集中于 80-100 分之间, 所以乙班的平均分高----------------------------------------3 分 (Ⅱ)记成绩为 86 分的同学为 A, B ,其他不低于 80 分的同学为 C , D, E , F “从甲班高等数学成绩不得低于 80 分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基 本事件有:

? A, B ?? A, C ?? A, D ?? A, E ?? A, F ?? B, C ?? B, D ?? B, E ?? B, F ? 一共 15 个, ? C , D ?? C , E ?? C , F ?? D, E ?? D, F ?? E , F ?
“ 抽 到 至 少 有 一 个 86 分 的 同 学 ” 所 组 成 的 基 本 事 件 有 :

? A, B ?? A, C ?? A, D ?? A, E ?? A, F ?? B, C ?? B, D ?? B, E ?? B, F ? 共 9 个,---------5 分
故P ?

9 3 ? ------------------------------------------------------7 分 15 5

(Ⅲ)

--------------------------9 分

, 因此在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下 可以认为成绩优秀与教学方式有关.-----------------------12 分 20、 (Ⅰ)证明: ∵ 菱形 ABCD 的对角线互相垂直, ∴ BD ? AC ,∴ BD ? AO , ············································· 分 ············································ 1 ∵ EF ? AC ,∴ PO ? EF . ∵ 平面 PEF ⊥平面 ABFED ,平面 PEF ? 平面 ABFED ? EF , 且 PO ? 平面 PEF , ∴ PO ? 平面 ABFED , ∵ BD ? 平面 ABFED ,∴ PO ? BD . ············ 分 ··········· 3 ∵ AO ? PO ? O ,∴ BD ? 平面 POA . ································· 分 ································ 4 (Ⅱ)如图,以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz . ······················· 分 ······················ 5 (ⅰ)设 AO ? BD ? H . 因为 ?DAB ? 60? ,所以 ?BDC 为等边三角形, 故 BD ? 4 , HB ? 2, HC ? 2 3 .又设 PO ? x ,则 OH ? 2 3 ? x , OA ? 4 3 ? x . 所以 O(0, 0, 0) , P(0, 0, x) , B(2 3 ? x, 2, 0) , ??? ??? ??? ? ? ? 故 PB ? OB ? OP ? (2 3 ? x, 2, ? x) , ······································ 6 分 ······································ ??? ? 所以 PB ? (2 3 ? x) 2 ? 22 ? x 2 ? 2( x ? 3) 2 ? 10 , 当 x ? 3 时, PB min ? 10 . 此时 PO ? 3 , OH ? 3. ······················· 分 ······················ 7 由(Ⅰ)知, PO ? 平面 BFED,
1 1 3 3 2 所以 V四棱锥P ? BFED ? ? S梯形BFED ? PO ? ? ( ? 42 ? ············· ? 2 ) ? 3 ? 3 . ············· 8 分 3 3 4 4 (ⅱ)设点 Q 的坐标为 ? a, 0, c ? ,

由(i)知, OP ? 3 ,则 A(3 3, 0, 0) , B( 3, 2, 0) , D( 3, ?2,0) , P(0, 0, 3) . ???? ??? ? 所以 AQ ? a ? 3 3, 0, c , QP ? ?a, 0, 3 ? c , ····························· 分 ···························· 9

?

?

?

?

???? ??? ? ∵ AQ=? QP ,
? 3 3 , ?a ? ? a ? 3 3 ? ?? a, ? ? ? ?1 . ?? ∴? ? c ? 3? ? ? c ? c ? 3? ? ? ? ?1 ?

3? ), ? ?1 ???? 3 3 3? ∴ OQ ? ( ········· 10 分 ········· , 0, ). ? ?1 ? ?1 ? ??? ? ? ??? ? ? 设平面 PBD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? PB ? 0, n ? BD ? 0 .

∴ Q(

3 3

? ?1

, 0,

??? ? ? 3x ? 2 y ? 3z ? 0, ? , 3, 2, ? 3 , BD ? ? 0, ?4, 0 ? ,∴ ? ??4 y ? 0 ? ? 取 x ? 1 ,解得: y ? 0, z ? 1 , 所以 n ? (1, 0,1) . ···························· 分 ··························· 11

??? ? ∵ PB ?

?

?

设直线 OQ 与平面 PBD 所成的角 ? ,
???? ? OQ ? n ???? ? ∴ sin ? ? cos ? OQ, n ? ? ???? ? ? OQ ? n
1 2

3 3 3? ? ? ?1 ? ?1 2? ( 3 3 2 3? 2 ) ?( ) ? ?1 ? ?1

?

3? ? 2 ? 9 ? ?2

?

9 ? 6? ? ? 2 1 6? . ················· 分 ················ 12 ? 1? 2 9?? 9 ? ?2 2

2 . ··············································· 分 ·············································· 13 2 ? ? ∵ ? ? [0, ] ,∴ ? ? . 2 4 ? 因此直线 OQ 与平面 PBD 所成的角大于 ,即结论成立. ·················· 分 ················· 14 4

又∵ ? ? 0 ∴ sin ? ?

21、(Ⅰ)当 a ? 1 时, g ( x) ? x ? 3 x ? ln x , g ?( x) ?
2

2 x 2 ? 3x ? 1 ?0 x

1 1 。函数 f (x) 的单调增区间为 (0, ), (1,??) ……………… 3 分 2 2 2 (Ⅱ) g ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ln x ,

x ? 1或 x ?

a 2 x 2 ? (2a ? 1) x ? a (2 x ? 1)( x ? a ) ? ? ?0 x x x 当 a ? 1 , x ? ?1, e?, g ?( x) ? 0, g ( x) 单调增。 g ( x) min ? ?2a 当 1 ? a ? e , x ? (1, a ), g ?( x) ? 0, g ( x) 单调减. x ? (a, e), g ?( x) ? 0, g ( x) 单调增。 g ( x) min ? g (a ) ? ?a 2 ? a ? a ln a 2 当 a ? e , x ? ?1, e?, g ?( x) ? 0, g ( x) 单调减, g ( x) min ? g (e) ? e ? (2a ? 1)e ? a g ?( x) ? 2 x ? (2a ? 1) ?

? 2a, a ? 1 ? ? 2 g ( x) ? ?? a ? a ? a ln a,1 ? a ? e ………………………………………… 8 分 ? e 2 ? (2a ? 1)e ? a, a ? e ?
(Ⅲ)令 h( x) ? ln x ?

? x ? ?2,?? ? ,
ln x ? 1 2 ( x ? 1) 4

1 2 ( x ? 1) , 4 2 ? x2 h ?( x) ? ?0 2x

? h( x) ? h(2) ? ln 2 ?

3 ?0 4



?

1 4 1 1 ? ? 2( ? ) ln x ( x ? 1)( x ? 1) x ?1 x ?1 n n 1 1 1 1 1 k ? f (k ) ? ln k , ? ?? ? ? ?? ? ln 2 ln 3 ln n k ?2 k ? f (k ) k ? 2 ln k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2(1 ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 2(1 ? ? ? )? 3 2 4 n ? 2 n n ?1 n ?1 2 n n ?1 3n 2 ? n ? 2 (n ? 2) ……………………………………… 12 分 n(n ? 1)
? 3 ? t cos ? ?x ? ? 2 (t 为参数)… 4 分(Ⅱ) ? ? y ? 3 ? t sin ? ? 2 ?
(t 为参数)

? 3 ? t cos ? ?x ? ? 2 22、 (Ⅰ) ? ? y ? 3 ? t sin ? ? 2 ? 2 2 代入 x ? y ? 1 ,得

t 2 ? ( 3 cos ? ? 3 sin ? )t ? 2 ? 0 , ? ? 0 ? sin(? ?

?
6

)?

6 3

1 1 1 1 t ?t ( 3 cos ? ? 3 sin ? ) ? ? ? ? ? 1 2 ? ? 3 sin(? ? ) ? PM PN t1 t 2 t1 t 2 2 6
……10 分

?

2, 3

?

……

23 、 解 : Ⅰ ) 由 2 x ? a ? a ? 6 得 2 x ? a ? 6 ? a , ∴ a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a , 即 (

a ? 3 ? x ? 3 ,┈┈3 分∴ a ? 3 ? ?2 ,∴ a ? 1 。┈┈4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? ? 2 x ? 1 ? 1 ,┈5 分,只需 m ? f (n) ? f (?n) 的最小值┈6 分
令 ? ? n ? ? f ? n ? ? f ? ?n ? ,
1 ? ?2 ? 4n, n ? ? 2 ? 则 1 1 ? ? ? n ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? ?4, ? ?n? 2 2 ? 1 ? n? ?2 ? 4n, 2 ?

┈┈8 分∴ ? ? n ? 的最小值为 4,┈9 分;故实数 m 的取值范围是 ? 4, ?? ? 。┈10 分


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