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(全国通用)高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)坐标系与参数方程第2课时 不等式证明的基本方法

《最高考系列 高考总复习》2014 届高考数学总复习(考点引领 +技巧点拨) 选修 4-4 坐标系与参数方程第 2 课时 不等式证明的 基本方法 考情分析 考点新知 ①了解证明不等式的基本方法:比较法,综 合法,分析法,反证法,换元法,数学归纳 法,放缩法. ②能用比较法,综合法,分析法证明简单的 不等式. 证明不等式的基本方法. 1. 设 a、b∈R ,试比较 + a+ b 2 与 a+b的大小. 解:∵ ( a+b) -? 2 + ? a+ b?2 ( a- b)2 ≥0,∴ ? = 2 2 ? ? a+b≥ a+ b 2 . 2. 若 a、b、c∈R ,且 a+b+c=1,求 a+ b+ c的最大值. 2 2 2 2 解:(1· a+1· b+1· c) ≤(1 +1 +1 )(a+b+c)=3,即 a+ b+ c的最大值 为 3. b b+m + 3. 设 a、b、m∈R ,且 < ,求证:a>b. a a+m b b+m b b+m (b-a)m + 证明:由 < ,得 - = <0.因为 a、b、m∈R ,所以 b-a<0,即 b a a+m a a+m a(a+m) <a. b + ,N= a+ b,求 M 与 N 的大小关系. b a a b 解:∵ a≠b,∴ + b>2 a, + a>2 b, b a a b a b ∴ + b+ + a>2 b+2 a,即 + > b+ a,即 M>N. b a b a 4. 若 a、b∈R ,且 a≠b,M= + a 5. 用数学归纳法证明不等式 1 1 1 1 * + +…+ > (n>1,n∈N )的过程中,用 n=k n+1 n+2 n+n 2 +1 时左边的代数式减去 n=k 时左边的代数式的结果是 A,求代数式 A. 1 1 1 1 1 解:当 n=k 时,左边= + +…+ ,n=k+1 时,左边= + +… k+1 k+2 k+ k k+2 k+3 + 1 1 1 1 ,故左边增加的式子是 + - ,即 A= (k+1)+(k+1) 2k+1 2k+2 k+ 1 1 . (2k+1)(2k+2) 1. 不等式证明的常用方法 (1) 比较法:比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用方法,基本不等 式就是用比较法证得的.比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负. 比较法证明不等式的步骤:作差(商)、变形、判断符号.其中的变形主要方法是分解因 式、配方,判断过程必须详细叙述. (2) 综合法: 综合法就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发, 不断用必要条件 替换前面的不等式,直到推出要证明的结论,即为“由因导果”,在使用综合法证明不等式 时,常常用到基本不等式. (3) 分析法: 分析法就是从所要证明的不等式出发, 不断地用充分条件替换前面的不等 式,直至推出显然成立的不等式,即为“执果索因”. 2. 不等式证明的其他方法和技巧 (1) 反证法 从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定结论 是正确的证明方法. (2) 放缩法 欲证 A≥B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得 A≥C1≥C2≥…≥Cn ≥B,利用传递性达到证明的目的. (3) 数学归纳法 [备课札记] 题型 1 用比较法证明不等式 2 2 例 1 求证:a +b ≥ab+a+b-1. 2 2 2 2 证明:∵ (a +b )-(ab+a+b-1)=a +b -ab-a-b+1 1 2 2 = (2a +2b -2ab-2a-2b+2) 2 1 2 2 2 2 = [(a -2ab+b )+(a -2a+1)+(b -2b+1)] 2 1 2 2 2 = [(a-b) +(a-1) +(b-1) ]≥0. 2 ∴ a +b ≥ab+a+b-1. 备选变式(教师专享) a b 已知 a>0,b>0,求证: + ≥ a+ b. b a 证明: ( 证法 1)∵ ? 2 2 ?a+b? ?a ? ?b ? a-b b-a + = ? - ( a + b) = ? - b? + ? - a? = a? ? b ? b ? ? a ? b a 2 (a-b)( a- b) ab ( a+ b)( a- b) = ≥0,∴ 原不等式成立. ab a + b a ( 证法 2) 由于 b a a+b b ( a+ b)(a- ab+b) a+b = = = - a+ b ab( a+ b) ab( a+ b) ab 2 ab 1≥ -1=1. ab b + ≥ a+ b. b a 题型 2 用分析法、综合法证明不等式 又 a>0,b>0, ab>0,∴ 例2 x y z 1 1 1 已知 x、y、z 均为正数,求证: + + ≥ + + . yz zx xy x y z a x y 1?x y? 2 y 证明:(证法 1:综合法)因为 x、y、z 都是正数,所以 + = ? + ?≥ .同理可得 yz zx z?y x? z zx z 2 z x 2 x y z 1 1 1 + ≥ , + ≥ .将上述三个不等式两边分别相加, 并除以 2, 得 + + ≥ + + . xy x xy yz y yz zx xy x y z x y z 1 1 1 x +y +z (证法 2:分析法)因为 x、y、z 均为正数,要证 + + ≥ + + .只要证 yz zx xy x y z xyz 2 2 2 yz+zx+xy 2 2 2 2 2 2 ≥ ,只要证 x +y +z ≥yz+zx+xy,只要证(x-y) +(y-z) +(z-x) ≥0,而 xyz (x-y) +(y-z) +(z-x) ≥0 显然成立,所以原不等式成立. 变式训练 已知 a>0,求证: 证明:要证 只需证 1 1 2 a + 2- 2≥a+ -2. a a 2 2 2 1 1 2 a