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高中数学公式大全高考必看(1)


高中数学常用公式及常用结论大全
1. 元素与集合的关系 x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . 2.德摩根公式 CU ( A ? B) ? CU A ? CU B; CU ( A ? B) ? CU A ? CU B . 3.包含关系 A ? B ? A ? A ? B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A ? CU B ? ? ? CU A ? B ? R
2. 集合 {a1 , a2 ,?, an } 的子集个数共有 2 个. 3.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; (2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ; (3)零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) . 4.充要条件 (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 5.若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象;若将曲线 f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图象. 6.分数指数幂 (1) a n ?
? m n
n

个; 真子集有 2 –1 个; 非空子集有 2

n

n

–1 个; 非空的真子集有 2 –2

n

m

1
n

a
1

m

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).

?

(2) a

?

a

m n

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

7.根式的性质(1) ( n a )n ? a ; (2)当 n 为奇数时, n an ? a ; 当 n 为偶数时, a ?| a |? ?
n n

?a, a ? 0 . ??a, a ? 0

8.有理指数幂的运算性质 (1)

ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) .
r s rs

(2) (a ) ? a (a ? 0, r, s ? Q) . (3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .
r r r

1

9.指数式与对数式的互化式 10.对数的换底公式

loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .

log a N ?

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a
n

推论 log a m b ?

n log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ). m

11.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; (2) log a

M ? log a M ? log a N ; N

(3) loga M n ? n loga M (n ? R) . 12.数列的同项公式与前 n 项的和的关系

n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). an ? ? ?sn ? sn?1 , n ? 2
13.等差数列的通项公式

an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ; n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n . 其前 n 项和公式为 sn ? 2 2 2 2
an ? a1q n ?1 ? a1 n ? q (n ? N * ) ; q

14.等比数列的通项公式

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? 其前 n 项的和公式为 sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q . ? na , q ? 1 ?na , q ? 1 ? 1 ? 1
15.同角三角函数的基本关系式 16.和角与差角公式

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ; tan ? =

sin ? 。 cos ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 。 1 ? tan ? tan ?
b ). a

a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限决定, tan ? ?
17.二倍角公式

sin 2? ? sin ? cos ? ; cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? ;

tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
2

18.三角函数的周期公式

函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期

T?

2?

?

;函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ?

?

19.正弦定理 20.余弦定理

2 a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ?

? . ?

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
21.三角形面积定理

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2
(1) S ? 22.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)

?

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) 。 2 2 2

23.实数与向量的积的运算律 设λ 、μ 为实数,那么 (1) 结合律:λ (μ a)=(λ μ )a; (2)第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 24.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律); (2)( ? a) ·b= ? (a·b)= ? a·b= a· ( ? b); (3)(a+b) ·c= a ·c +b·c. 25.向量平行的坐标表示 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 a ? b(b ? 0) ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . 26. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ . 27.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . (4)设 a= ( x, y ), ? ? R ,则 ? a= (? x, ? y ) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 ? y1 y2 ) . 28.两向量的夹角公式

??? ? ??? ? ??? ?

cos? ?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x ? y12 ? x2 ? y2 2 1

(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ).

3

29.平面两点间的距离公式

??? ? ??? ? ??? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
30.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 A||b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 31.常用不等式: (1) a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2

(2) a, b ? R ? ? (3)柯西不等式

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2

(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 , a, b, c, d ? R.

(4) a ? b ? a ? b . 32.最值定理 已知 x, y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 33.斜率公式

1 2 s . 4

k?

y2 ? y1 (P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ). x2 ? x1

34.直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

(3)两点式

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1
x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) a b

(4)截距式

(5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0). 35.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 .
4

(2)若 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, ① l1 || l2 ?

A1 B1 C1 ; ? ? A2 B2 C2

② l1 ? l2 ? A ; 1 A2 ? B 1B2 ? 0

36.点到直线的距离

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

37. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . (2)圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).
2 2

(3)圆的参数方程 ?

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ?
A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ).

(4)圆的直径式方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 (圆的直径的端点是 38.椭圆

? x ? a cos? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? . 2 a b y ? b sin ? ?
2 2 x0 y0 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? ?1. 的内部 a 2 b2 a 2 b2 2 2 x0 y0 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? ?1. 的外部 a 2 b2 a 2 b2

39.椭圆的的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆

(2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆

40.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或

AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ? (弦端点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,
由方程 ?

?y ? kx ? b 2 消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 , ? ? 0 , ? 为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率). F ( x , y ) ? 0 ?

41.双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦半径公式 a 2 b2 a2 a2 PF1 ?| e( x ? ) | , PF2 ?| e( ? x) | . c c
2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2 2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2

42.双曲线的内外部

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? a 2 b2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? a b
(1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 43.双曲线的方程与渐近线方程的关系
5

x2 y2 x2 y 2 b ? ? 1 ? 2 ?0? y?? x. 渐近线方程: ? 2 2 2 a a b a b 2 2 2 2 x y x y (2)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点 a b a b
(1)若双曲线方程为 在 y 轴上). 44.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)数乘分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 45.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ 使 a=λ b. 46.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 ? 存在实数对 x, y ,使 p=xa+yb. 47.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x,y,z,使 p=xa+ yb+zc. 48.向量的直角坐标运算 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) 则 (1)a+b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (2)a-b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (3)λ a= (?a1 , ?a2 , ?a3 ) (λ ∈R); (4)a·b= a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ; 49.设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) 。 50.空间的线线平行或垂直

??? ?

??? ? ??? ?

? x1 ? ? x2 r r r r r r r r ? 设 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则 a Pb ? a ? ?b(b ? 0) ? ? y1 ? ? y2 ; ?z ? ? z 2 ? 1

r r r r a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ? 0 .
51.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

??? ? ??? ? ??? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 .
52.球的半径是 R,则

4 ? R3 , 3 2 其表面积 S ? 4? R .
其体积 V ?
6

53.柱体、锥体的体积 柱体的体积 V= S h

1 V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3
54.分类计数原理(加法原理) 55.分步计数原理(乘法原理) 56.排列数公式
m = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) = An

N ? m1 ? m2 ? ? ? mn . N ? m1 ? m2 ??? mn .

n! * .( n , m ∈N ,且 m ? n ). (n ? m)!

注:规定 0! ? 1 . 57.组合数公式
m = Cn

n! Anm n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) * = = ( n ∈N , m ? N ,且 m ? n ). m 1? 2 ? ? ? m m! ? (n ? m)! Am

58.组合数的两个性质
m m n?m m?1 m (1) C n = Cn ;(2) C n + Cn = Cn ?1 。 0 注:规定 Cn ? 1.

59.二项式定理

0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ;

r n ?r r 1, 2?,n) . 二项展开式的通项公式 Tr ?1 ? Cn a b (r ? 0,

60.等可能性事件的概率

P ( A) ?

m . n
P(A+B)=P(A)+P(B).

59.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 60. n 个互斥事件分别发生的概率的和

P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 61.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).
k k Pn (k ) ? Cn P (1 ? P) n ?k .

62.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 63.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) P (2) P ); i ? 0(i ? 1, 2,? 1?P 2 ? ? ? 1. 64.数学期望

E? ? x1P 1 ? x2 P 2 ? ? ? xn P n ??
E(a? ? b) ? aE (? ) ? b .
2 2 2

65.数学期望的性质 66.方差

D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ? ? ? ? xn ? E? ? ? pn ? ?

67.方差的性质 68.标准差

D ? a? ? b? ? a2 D? ;
7

?? = D? .

69. 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) ,相应的切线方程 是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) . 70.几种常见函数的导数 (1) C ? ? 0 (C 为常数) 。(2) ( xn )' ? nxn?1 (n ? Q) 。(3) (sin x)? ? cos x 。 (4) (cosx)? ? ? sin x 。(5) (ln x )? ? (6) (e x )? ? e x ; (a x )? ? a x ln a . 71.导数的运算法则 (1) (u ? v)' ? u ' ? v' .(2) (uv)' ? u 'v ? uv' .(3) ( ) ?
'

1 1 e x ; (log a )? ? log a 。 x x

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2

72.判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法 当函数 f ( x ) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值. 73.复数的相等

a ? bi ? c ? di ? a ? c ,b ? d .( a, b, c, d ? R )

74.复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值) | z | = | a ? bi | = a 2 ? b2 . 75.复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; (4) (a ? bi ) ? (c ? di ) ?

ac ? bd bc ? ad ? i(c ? di ? 0) . c2 ? d 2 c2 ? d 2

76.几个统计常量

(1)样本均值.

;

(2)样本方差.

;
8


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