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7.5.1二次函数的图象及性质(2).讲义学生版


二次函数的图象及性质(2)

中考要求
黑体小四
板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 1.能通过对实际问题中的情境分析确 定二次函数的表达式; 2.能从函数图像上认识函数的性质; 3.会确定图像的顶点、对称轴和开口 方向; 4.会利用二次函数的图像求出二次方 程的近似解; C 级要求 1. 能用二次函数解决 简单的实际问题; 2. 能解决二次函数与 其他知识结合的有关 问题;

二次函数

1.能根据实际情境了解 二次函数的意义; 2.会利用描点法画出二 次函数的图像;

黑体小四

知识点睛
黑体小四 一、二次函数的定义 黑体小四
b c 一般地,形如 y ? ax2 ? bx ? c ( a , , 为常数, a ? 0 )的函数称为 x 的二次函数,其中 x 为自变量, y 为 因变量, a 、 b 、 c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数. 注意:和一元二次方程类似,二次项系数 a ? 0 ,而 b 、 c 可以为零.二次函数的自变量的取值范围是全 体实数.

黑体小四 二、二次函数的图象 黑体小四
1.二次函数图象与系数的关系 (1) a 决定抛物线的开口方向 当 a ? 0 时,抛物线开口向上;当 a ? 0 时,抛物线开口向下.反之亦然. a 决定抛物线的开口大小: a 越大,抛物线开口越小; a 越小,抛物线开口越大. 温馨提示:几条抛物线的解析式中,若 a 相等,则其形状相同,即若 a 相等,则开口及形状相同,若 a 互 为相反数,则形状相同、开口相反. (2) b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置(抛物线的对称轴: x ? ?

当 b ? 0 时,抛物线的对称轴为 y 轴; 当 a 、 b 同号时,对称轴在 y 轴的左侧; 当 a 、 b 异号时,对称轴在 y 轴的右侧. c (3) c 的大小决定抛物线与 y 轴交点的位置(抛物线与 y 轴的交点坐标为 ? 0 , ? ) 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点为原点;
7.5.1 二次函数的图象及性质 讲义·学生版 page 1 of 10

b ) 2a

当 c ? 0 时,交点在 y 轴的正半轴; 当 c ? 0 时,交点在 y 轴的负半轴. 2.二次函数图象的画法 五点绘图法: 利用配方法将二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 化为顶点式 y ? a( x ? h)2 ? k ,确定其开口方向、对 称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与 y 轴的交点

? 0 ,c ? 、以及 ? 0 ,c ? 关于对称轴对称的点 ? 2h ,c ? 、与 x 轴的交点 ? x1 ,0? , ? x2 ,0 ? (若与 x 轴没有交点,则
取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点. 3.点的坐标设法

ax ⑴ 一次函数 y ? ax ? b ( a ? 0 )图像上的任意点可设为 ? x1 , 1 ? b ? .其中 x1 ? 0 时,该点为直线与 y 轴交
点.
b 时,该点为抛物线顶点. 2a y x 2 ⑶ 点 ? x1 ,1 ? 关于 ? x2 ,2 ? 的对称点为 ? 2 x2 ? x1 , y2 ? y1 ? .

⑵ 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )图像上的任意一点可设为 x1 , 12 ? bx1 ? c . x1 ? 0 时,该点为抛物 ax 线与 y 轴交点,当 x1 ? ?

?

?

4.二次函数的图象信息 ⑴ 根据抛物线的开口方向判断 a 的正负性. b ⑵ 根据抛物线的对称轴判断 ? 的大小. 2a ⑶ 根据抛物线与 y 轴的交点,判断 c 的大小. ⑷ 根据抛物线与 x 轴有无交点,判断 b2 ? 4ac 的正负性. b c ⑸ 根据抛物线所经过的已知坐标的点,可得到关于 a,, 的等式. ⑹ 根据抛物线的顶点,判断

4ac ? b2 的大小. 4a

三、二次函数的图象及性质
( 1. 二次函数 y ? ax 2 a ? 0) 的性质:

⑴ 抛物线 y ? ax 2 的顶点是坐标原点(0,0) ,对称轴是 x ? 0 ( y 轴) . ⑵ 函数 y ? ax 2 的图像与 a 的符号关系. ① a ? 0 时 ? 抛物线开口向上 ? 顶点为其最低点; 当 ② a ? 0 时 ? 抛物线开口向下 ? 顶点为其最高点; 当

a 的符号
a?0

开口方向 向上

顶点坐标

对称轴

性质
x ? 0 时, y 随 x 的增大而增大; x ? 0 时, y 随

? 0 ,0?

y轴

x 的增大而减小; x ? 0 时, y 有最小值 0 .
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7.5.1 二次函数的图象及性质

a?0

向下

? 0 ,0?

y轴

x ? 0 时, y 随 x 的增大而减小; x ? 0 时, y 随

x 的增大而增大; x ? 0 时, y 有最大值 0 .

2.二次函数 y ? ax2 ? c(a ? 0) 的性质

a 的符号
a?0

开口方向 向上

顶点坐标

对称轴

性质
x ? 0 时, y 随 x 的增大而增大; x ? 0 时, y 随

? 0 ,c ? ? 0 ,c ?

y轴

x 的增大而减小; x ? 0 时, y 有最小值 c .
x ? 0 时, y 随 x 的增大而减小; x ? 0 时, y 随

a?0

向下

y轴

x 的增大而增大; x ? 0 时, y 有最大值 c .

( 3. 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c a ? 0) y ? a( x ? h)2 ? k ( a ? 0 )的性质 或

?a ? 0 ? 向上 ⑴ 开口方向: ? ?a ? 0 ? 向下 b ⑵ 对称轴: x ? ? (或 x ? h ) 2a b 4ac ? b2 ⑶ 顶点坐标: (? , ) (或 (h, k ) ) 2a 4a ⑷ 最值:
y

O
图1
图2

x

4ac ? b2 4ac ? b2 (或 k ) (如图 1) ; a ? 0 时有最大值 (或 k ) (如图 2) ; 4a 4a ⑸ 单调性:二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )的变化情况(增减性) b b ① 如图 1 所示,当 a ? 0 时,对称轴左侧 x ? ? , y 随着 x 的增大而减小,在对称轴的右侧 x ? ? , 2a 2a y 随 x 的增大而增大; b b ② 如图 2 所示,当 a ? 0 时,对称轴左侧 x ? ? , y 随着 x 的增大而增大,在对称轴的右侧 x ? ? , 2a 2a y 随 x 的增大而减小;
a ? 0 时有最小值

⑹ 与坐标轴的交点: 与 y 轴的交点: C) ② x 轴的交点: ① (0, ; 与 使方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(或 a( x ? h)2 ? k ? 0 ) 成立的 x 值.

例题精讲
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【例1】 二次函数 y ? (2 ? m) xm

2

?3

在其图象对称轴的左侧, y 随着 x 的增大而减小,则 m 的值为_____.
y

O

x

【巩固】二次函数 y ? (m ? 1) x5?2m?m 在其图象对称轴的右侧, y 随着 x 的增大而减小,则 m 的值为_____.
2

【例2】 已知点 A ? x1 , ? , B ? x2 , ? 是函数 y ? x2 ? 2x ? 3 上两点,则当 x ? x1 ? x2 时, 5 5 函数值 y ? ___________.

【巩固】已知 y ? 2x 2 ? 9x ? 34 ,当 x 取不同的值 x1 , x 2 时函数值相等,则当 x ? x1 ? x2 时的值( A. 与 x ? 1 的函数相等. B. 与 x ? 0 的函数相等. 1 9 C. 与 x ? 的函数相等. D. 与 x ? ? 的函数相等. 4 4



【例3】 若二次函数 y ? mxm

2

?2

有最大值,则 m ? ________.

【巩固】若二次函数 y ? mxm

2

?1

有最小值,则 m ? ________.

【例4】 二次函数 y ? ( x ? 1)2 ? 2 的图象上最低点的坐标是 ( A. (-1,-2) B. (1,-2) C. (-1,2) 【巩固】抛物线 y ? 2 ? x ? 1?? x ? 3? 的顶点坐标是(
7.5.1 二次函数的图象及性质

) D. (1,2)

) .
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A. ? ?1, ?3?

B. ?1,3?

C. ? ?1,8?

D. ?1, ?8?

【例5】 已知 a ? ?1 ,点 (a ? 1 , y1 ) , (a , y2 ) , (a ? 1 , y3 ) 都在函数 y ? x 2 的图象上,则( A. y1 ? y2 ? y3 B. y1 ? y3 ? y2 C. y3 ? y2 ? y1 D. y2 ? y1 ? y3



【巩固】 已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象过点 A ?1, ? ,B ? 3 , ? , ? 5 , ? . 2 2 C 7 若点 M ? ?2 ,y1 ? , ? ?1,y2 ? , N
K ?8 ,y3 ? 也在二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象上,则下列结论正确的是(

) .

A. y1 ? y2 ? y3

B. y2 ? y1 ? y3

C. y3 ? y1 ? y2

D. y1 ? y3 ? y2

【例6】 已知:二次函数 y ? ax2 ? b 和 y ? bx2 ? a 分别有最大值、最小值,则 y ? bx2 ? a 和 y ? ax2 ? b 的图像 有 个交点.

【巩固】已知二次函数 y ? a ? x ? 3? ? b 和 y ? b ? x ? 5? ? a 分别有最大值、最小值,则这两个二次
2 2

函数的图像有

个交点;

【例7】 设抛物线为 y ? x2 ? kx ? k ? 1,根据下列各条件,求 k 的值. ⑴ 抛物线的顶点在 x 轴上; ⑵ 抛物线的顶点在 y 轴上; ⑶ 抛物线经过点 (?1, ? 2) ; ⑷ 抛物线经过原点; ⑸ 当 x ? ?1 时, y 有最小值; ⑹ y 的最小值为 ?1 .

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【巩固】抛物线 y ? 2x2 ? 4x ? 4 的对称轴为 x ? 2m ? 2n ,函数的最小值是 4 n ? 3m ,求实数 m , n 的值.

【例8】 求函数 y ? 2x2 ? x ? 1 的最小值.

【例9】 若 1 ? x ? 2 ,求 y ? 2x2 ? x ? 1 的最大值、最小值

【例10】 若 0 ? x ? 1 ,求 y ? 2x2 ? x ? 1 的最大值、最小值;

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【例11】 若 ?2 ? x ? 0 ,求 y ? 2x2 ? x ? 1 的最大值、最小值.

【巩固】分别求出在下列条件下,函数 y ? ?2x2 ? 3x ? 1 的最值: ⑴x 取任意实数;⑵ ?2 ? x ? 0 时;⑶ 1 ? x ? 3 时;⑷ ?1 ? x ? 2 时. 当 当 当

【例12】 试求 y ? ? x ? 1?? x ? 2?? x ? 3?? x ? 4? ? 5 在 ?3 ? x ? 3 的最值.

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【巩固】已知函数 y ? x2 ? 2x ? 2 在 t ? x ? t ? 1 范围内的最小值为 s ,写出函数 s 关于 t 的函数解析式,并 求出 s 的取值范围.

【例13】 已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (其中 a 是正整数)的图象经过点 A ? ?1, ? 和 B ? 2,? ,且与 x 轴有两个 4 1 不同的交点,求 b ? c 的最大值.

【例14】 设直线 y ? kx ? b 与抛物线 y ? ax 2 的两个交点的横坐标分别是 x1 , x2 ,且直线与 x 轴的交点的横坐标 1 1 1 为 x3 ,求证: ? ? . x1 x2 x3

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课后作业
1.
? 13 ? ? 5 ? ?1 ? 若 A ? ? ,y1 ? , B ? ? ,y2 ? , C ? ,y3 ? 为二次函数 y ? x2 ? 4x ? 5 的图象上的三点,则 y1 , y2 , 4 4 4 ? ? ? ? ? ? y 3 的大小关系是( )

A. y1 ? y2 ? y3

B. y2 ? y1 ? y3

C. y3 ? y1 ? y2

D. y1 ? y3 ? y2

2.

已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 的对称轴为直线 x ? 1 ,且经过点 ? ?1,y1 ? , 2 ,y2 ? , 试比较 y1 和 ?
y2 的大小: y1 ____ y2 (填“>”,“<”或“=”)

3.

已知二次函数 y ? ?a ? x ? 110? ? b 和 y ? ?b ? x ? 250? ? a 分别有最大值、最小值,则这两个二次函数
2 2

的图像有

个交点.

4.

3 已知点 A ? a ? b ,? 5? 与点 B ?1, a ? b ? 关于原点对称,求函数 y ? x2 ? ax ? b 的顶点坐标.

5.

已知二次函数 y ? 2x2 ? 2(a ? b) x ? a2 ? b2 , a , b 为常数,当 y 达到最小值时, x 的值为( a?b a?b A. a ? b B. C. ?2ab D. 2 2



6.

已知二次函数 y ? ? m ? 2? x2 ? 2mx ? ? 3 ? m? 的图象的开口向上,顶点在第三象限,且交于 y 轴的 负半轴,则 m 的取值范围是_________________.

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7.

已知二次函数 y ? x2 ? bx ? c 中, y 与 x 的部分对应值如下表:

x y

… …

?1
10

0 5

1 2

2 1

3

4
5

… …

2

求当 x 为何值时, y 有最小值或最大,最值是多少?

8.

已知抛物线 y ? kx2 ? 2kx ? 3k 有最大值 4 ,求抛物线的解析式.

9.

设 y ? x2 ? ax ? 3 ? a , ⑴ 当 x 取任意实数时, y 恒为非负数,求 a 的取值范围; ⑵ 当 ?2 ? x ? 2 时, y 的值恒为非负数,求实数 a 的取值范围.

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