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重庆市名校联盟2012-2013学年度下期高三第一次联考数学试题卷(理工农医类)


秘密★启用前 重庆市名校联盟 2012-2013 学年度下期高三第一次联考

数学试题卷(理工农医类)
满分 150 分。考试时间 120 分钟。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个备选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1. .复数-i+

A.-2i

1-i 1 + i =( ▲ ) 1 B.2i

C.0

D.2i

2. .若 p: ?x ? R,sin x ? 1? 则( ▲ ) A. C. p : ?x0 ? R,sin x0 ? 1 p : ?x0 ? R,sin x0 ? 1 B. D. p : ?x ? R,sinx>1 p : ?x ? R,sin x ? 1

3.函数 f ( x) ? ln x ? A. (?1,1)

1 的一个零点所在的区间是( ▲ ) x B. (1,2) C. ( 2, e)

D. (e,3)

4. 某工厂对一批产品进行了抽样检测,图是根据抽样检测后的 产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重 的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102), [102,104),[104,106].已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36, 则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数 是( ▲ ) A.45 B.60 C.75 D.90

5. 某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是 ( ▲ ) 1 A.f(x)=x2 B.f(x)= x C.f(x)=ex D.f(x)=sinx

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第 5 题图 6. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( ▲ ) 1 A. B.2+ 2 C.3+ 2 D.6 2

第 6 题图 7. 由直线 y=x+2 上的点向圆(x-4) +(y+2) =1 引切线,则切线长的最小值为( ▲ ) A. 30 B. 31 C.4 2 D. 33
2 2

8. 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a, 2 分的概率为 b, 得 不得分的概率为 c(a、

2 1 b、c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为 2,则a+3b的最小值为( ▲ )
A.
32 3

B.

28 3

C.

14 3

D.

16 3

9. 直线 x=m,y=x 将圆面 x2+y2=4 分成若干块,现用 5 种颜色给这若干块涂色,每块只涂一种颜 色,且任意两块不同色,共有 120 种涂法,则 m 的取值范围是( ▲ ) A.(- 2, 2) B.(-2,2) C.(-2,- 2)∪( 2,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 10. 某纯净水厂在净化过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质的 20%,要使水中杂质减少到原来的 5%以下,则至少需过滤的次数为(lg2 ? 0 .301 0) ( ▲ ) A.5 B.10 C.14 D.15 二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填写在答题卡相应 位置上。
2 11. 设全集 U 是实数集 R,M={x| x ? 4 },?N=?{x| 2 ? 1 },

x ?1

则右图中阴影部分所表示的集合是 ▲ . 12. 若| a |=1,| b |=2, c = a + b ,且 c ⊥ a ,则 a 与 b 的夹 角为是 ▲ . 13. 有四个关于三角函数的命题: ②: ?x? y ? R,sin(x-y)=sinx-siny
2 2 ①: ?x ? R,sin x ? cos x ? 1

r

r

r

r

r

r

r

r

r

2

2

2

③: ?x ? [0?

? ]? 1 ? cos2x ? sinx
2

④:sinx=cos y ? x ? y ? ? ; 其中的假命题是是 ▲ .

2

考生注意:(14)、(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分。 14. 如图所示,⊙O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为

D,CD=4,BD=8,则⊙O 的半径等于 ▲ .
第 2 页 共 12 页

15. 在极坐标中,圆? =4cos? 的圆心 C 到直线 ? sin(? +4 )=2 2 的距离为 16. 若不等式| x ? 1 |>|a-2|+1 对于一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

?

▲ .

x

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 13 分, (I)小问 4 分,(II)小问 9 分。) 今年雷锋日,某中学从高中三个年级选派 4 名教师和 20 名学生去当雷锋志愿者,学生的名额 分配如下: 高一年级 10 人 高二年级 6人 高三年级 4人

(I)若从 20 名学生中选出 3 人参加文明交通宣传,求他们中恰好有 1 人是高一年级学生的概率; (II)若将 4 名教师安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的,且各位教师的选择是 相互独立的) ,记安排到高一年级的教师人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

18.(本小题满分 13 分, (I)小问 6 分,(II)小问 7 分。)
???? ??? ? 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , AC ? AB ? 8 , a ? 4 .

(I)求 bc 的最大值及 A 的取值范围;(II)求函数 f ( A) ? 2 3 sin 2 (? ? A) ? 2 cos2 A ? 3 的值域. 4

19.(本小题满分 13 分, (I)小问 5 分,(II)小问 8 分。)

已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx3 ? 3(m ? 1) x 2 ? nx ? 1 的一个极值点,其中 m, n ? R, m ? 0.
(I)求 m、n的关系式;(II)求 f (x)的单调递增区间。

20.(本小题满分 12 分,(I)小问 6 分,(II)小问 6 分。) 在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? AC , AC ? 4 , AB ? 4 3 , VP? ABC ? 16 3 , 侧棱 PA 、 PB 、 PC 与底面 ABC 所成的角相等. (I)求二面角 P ? AC ? B 的大小; (II)求点 B 到平面 PAC 的距离.
A
第 3 页 共 12 页

P

B

C

21.(本小题满分 12 分, (I)小问 6 分,(II)小问 6 分。) 已知点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 是抛物线 y 2 ? 4 x 上相异两点,且满足 x1 ? x2 ? 2 . (I)若 AB 的中垂线经过点 P (0, 2) ,求直线 AB 的方程; (II)若 AB 的中垂线交 x 轴于点 M ,求 ?AMB 的面积的最大值及此时直线 AB 的方程.

22.(本小题满分 12 分, (I)小问 5 分,(II)小问 7 分。) 已知函数 f ( x) ? x ? x.
2

(I)数列 {an } 满足 a1 ? 0, an?1 ? f ?(an ) ( n ? N ), 若
?

1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 1 ? 10 ,求 a1 的值; 1 ? a1 1 ? a2 1 ? a10 2

(II)数列 {bn } 满足 b1 ? 1, bn?1 ? f (bn ), n ? N ? ,记 cn ?

1 , Sk 为数列 {cn } 前 k 项和, 1 ? bn

Tk 为数列 {cn } 的前 k 项积,求证: T1

S1 ? T1

?

Tn T2 7 ? ??? ? ? 。 S2 ? T2 Sn ? Tn 10

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秘密★启用前 重庆市名校联盟 2012-2013 学年度下期高三第一次联考

数学参考答案(理工农医类)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个备选项中,只有一项 是符合题目要求的。 题号 答案 1 A 2 A 3 B 4 D 5 D 6 C 7 B 8 D 9 B 10 C

1. [解析]-i+

1-i 1 + i =-i-i=-2i.选 A.

2. [解析]由于命题 p 是全称命题,对于含有一个量词的全称命题 p: ?x ? M ? p( x)? 它的否定为 p : ?x0 ? M ? p (x 0 )? 故应选 A.

3. [解析]函数连续且定义域内递增,又 f (1) ? ?1 ? 0 ,

f (2) ? ln 2 ?

1 1 ? ln e ? ? 0 2 2 .

4. [解析] 设抽取的样本容量为 n, 由频率分布直方图, 得样本中产品净重小于 100 克的频率为(0.050 36 +0.100)×2=0.3, n= =120; 则 样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的频率为 1-(0.050 0.3 +0.075)×2=0.75,其产品的个数为 120×0.75=90,故选 D. 5. [解析] 由程序框图可知输出的函数为奇函数且有零点,只有 f(x)=sinx 满足. 1 6. [解析] 这个空间几何体是侧棱垂直于底面的三棱柱,底面周长为 2+ 2,故其表面积是 2× 2 ×1×1+(2+ 2)×1=3+ 2. |4+2+2| 7. [解析]切线长的长短由该点到圆心的距离来确定. 圆心(4, -2)到直线 y=x+2 的距离 d= 2 =4 2.所以切线长最小值为 ?4 2?2-12= 31. 8. [解析]由已知得,3a+2b+0× c=2,即 3a+2b=2,其中 0<a< ,0<b<1.

2 3

2 1 3a+2b?2 1 ? 1 2b a 10 又a+3b= 2 ?a+3b?=3+3+ a +2b≥ 3 +2 ? ?

2b a 16 a· =3, 2b

2b a 1 1 2 1 当且仅当 a =2b,即 a=2b 时取“等号”,又 3a+2b=2,即当 a=2,b=4时,a+3b的 16 最小值为 3 ,故选 D.
2 9. [解析]首先从剩余的另外 4 个城市中选出 2 个,共有 C4 ? 6 种方法,将选出的 5 个城市全排,则共有 5 A5 种方法,由于要求必须按照先 A 后 B 再 C 的顺序经过 A、B、C 三个城市,所以需去除三座城市的

全排的情况,所以不同的游览线路共有

C2 ? A5 4 5 A3 3

? 120 种线路.

第 5 页 共 12 页

10. [解析]设原杂质数为 1,各次过滤杂质数成等比数列, 且 a1 ? 1? 公比 q=1-20%, ∴ an?1 ? (1 ? 20 % ) n ; 由题意可知:(1-20% )n ? 5 %, 即 0. 8 ? 0 .05.
n

两边取对数得 nlg0.8<lg0.05, ∵lg0.8<0, ∴ n ?

lg0?05 ? lg0?8

即n ?

lg5 ? 2 1 ? lg2 ? 2 ?lg2 ? 1 ? ? ? ?0?3010 ?1 ? 13 .41, lg8 ? 1 3lg2 ? 1 3lg2 ? 1 3 ? 0?3010 ? 1

又 n 为过滤次数,故取 n=14. 二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填写在答题卡相应 位置上。

1

{ 11. [解析]题图中阴影部分可表示为(? U M ) ? N ? 集合 M=?{x|x>2? x<-2},集合 N={x| 1 ? x ? 3 }, C 或 由集合的运算,知(? U M ) ? N ? {x| 1 ? x ? 2 }. C 12. [解析]∵ c = a + b , c ⊥ a , a ·a + b )=0, a + a · =0, 1+1×2cosθ=0, 且 ∴ ( ∴ 即 ∴cosθ b 1 =- ,θ=120° . 2
2 2 13. [解析] ?x ? R,sin x ? cos x ? 1? 故①为假命题? .

1? x

r

r

r

r

r

r

r

r

r2

r r

2

2

由 sinx=cos y ? sinx=sin ( ? ? y ) ? x ? ? ?( ? ? y ) ? 2k ? ,或 x ? ? ? y ? 2k

2

2

2

?.

∴ x ? y ? ? ? 2k

2

? 或 x+y=?2k ? + ? (k ? Z),故④为假命题.
2
2

考生注意:(14)、(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分。 14. [解析]由题:△ACD∽△CDB,得 CD =AD·BD,所以 AD=2,AB=10? r=5. 15. [解析]在直角坐标系中,圆:x2+y2=4x,圆心 C(2,0),直线:x+y=4,所以,所求为 2 16. [解析]∵| x ? 1 | ? 2? ∴|a-2|+1<2, 即|a-2|<1,解得 1<a<3.

x

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 13 分, (I)小问 4 分,(II)小问 9 分。) 解:(I)设“他们中恰好有 1 人是高一年级学生”为事件 A ,则 P? A? ?
1 2 C10 C10 15 ………4 分 ? 3 38 C20

第 6 页 共 12 页

(II)解法 1: ? 的所有取值为 0,1,2,3,4.由题意可知,每位教师选择高一年级的概率均为 所以 ………………………5 分

1 . 3

16 ?1? ? 2? P?? ? 0? ? C ? ? ? ? ? ; 81 ? 3? ? 3?
0 4

0

4

?1? P?? ? 1? ? C ? ? ? 3?
1 4

1

32 ? 2? ; ? ? ? 81 ? 3?
1

3

24 8 8 ?1? ? 2? 3? 1? ? 2 ? P?? ? 2? ? C ? ? ? ? ? ? ; P?? ? 3? ? C4 ? ? ? ? ? ; 81 27 ? 3? ? 3? ? 3 ? ? 3 ? 81
2 4

2

2

3

1 ?1? ? 2? P?? ? 4? ? C ? ? ? ? ? . 81 ? 3? ? 3?
4 4

4

0

………………………10 分

随机变量 ? 的分布列为:

?

0

1

2

3

4

P

16 81

32 81

8 27

8 81

1 81

………………………11 分

16 32 24 8 1 4 ? 1? ? 2? ? 3 ? ? 4 ? ? ……………………13 分 81 81 81 81 81 3 1 解法 2:由题意可知,每位教师选择高一年级的概率均为 . …………………5 分 3 1 1 则随机变量 ? 服从参数为 4, 的二项分布,即 ? ~ B(4, ) .……………7 分 3 3
所以 E? ? 0 ? 随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

16 81 1 4 所以 E? ? np ? 4 ? ? 3 3

32 81

8 27

8 81

1 81
…………………13 分

18.(本小题满分 13 分, (I)小问 6 分,(II)小问 7 分。) ???? ??? ? 解:(I) AC ? AB ? bc ? cos A ? 8 , b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 42 即 b2 ? c 2 ? 32 又 b2 ? c 2 ? 2bc ,所以 bc ? 16 ,即 bc 的最大值为 16 即 8 ? 16 ,所以 cos A ? 1 ,又 0 ? A ? ? ,所以 0 ? A ? ? cos A 2 3 (II) f ( A) ? 3 ? [1 ? cos( ? ? 2 A)] ? 1 ? cos 2 A ? 3 ? 3 sin 2 A ? cos 2 A ? 1 2

……2 分 ……4 分 ……6 分

第 7 页 共 12 页

…9 分 ? 2 sin(2 A ? ? ) ? 1 6 因 0 ? A ? ? ,所以 ? < 2 A ? ? ? 5? , 1 ? sin(2 A ? ? ) ? 1 6 3 6 6 2 6
2 ? 2sin(2 A ? ? ) ? 1 ? 3 ,所求值域为 ? 2, 3? 6

……11 分 ……13 分

19.(本小题满分 13 分, (I)小问 5 分,(II)小问 8 分。) 解:(I) f ' ( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? n

? x ? 1是f ( x)的一个极值点
? n ? 3m ? 6

? f ' (1) ? 0

··· 分 ···5

(II) f ' ( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 ? 3m( x ? 1) ? x ? ?1 ?

? ?

? ?

2 ?? ? m ?? ?

? m ? 0,?1 ? 1 ?

2 m
(1 ? 2 ,1) m

列表若下:
x
f ' ( x) f (x)
( ?? ,1 ? 2 ) m
1? 2 m

1 0 极大值

(1,??)



0 极小值





由上表知:
函数的递增区间为( 1 ? 2 ,1)···················13 分 . ·················· m

20.(本小题满分 12 分,(I)小问 6 分,(II)小问 6 分。) 【解法一】(I)? 侧棱 PA 、 PB 、 PC 与底面 ABC 所成的角相等, ? 点 P 在平面 ABC 内的射影是 Rt ?ABC 的外心,即斜边 BC 的中点 O ……2 分 取 AC 的中点 D ,连 PD , DO , PO ,则 VP ? ABC ? 1 1 ? AC ? AB ? OP ? 1 1 ? 4 ? 4 3 ? OP ? 16 3 , 3 2 3 2 ? OP ? 6 . ? OP ? 平面 ABC ,? OD 是 PD 在平面 ABC 内的射影, ? AC ? OD , ? AC ? PD . ……4 分 ? ?PDO 为二面角 P ? AC ? B 的平面角. 在 Rt ?POD 中, tan ?POD ? OP ? 3 ,??PDO ? ? , OD 3 ? . 故二面角 P ? AC ? B 的大小为 ……6 分 3 (II)? AC ? 4 , PD ? OP2 ? OD2 ? 4 3 ,? S?APC ? 1 AC ? PD ? 8 3 . 2 1S ? h ? 16 3 设点 B 到平面 PAC 的距离为 h ,则由 VP ? ABC ? ……9 分 3 ?APC 解方程得 h ? 6 ,? 点 B 到平面 PAC 的距离等于 6 . ……12 分 【解法二】? 侧棱 PA 、 PB 、 PC 与底面 ABC 所成的角相等, ……2 分 ? 点 P 在平面 ABC 内的射影是 Rt ?ABC 的外心,即斜边 BC 的中点 O . 取 AC 中点 D ,连 PD , DO , PO ,则 DO ? AB , VP? ABC ? 1 1 ? AC ? AB ? OP 3 2

?

?

?

?

?

?

第 8 页 共 12 页

? 1 1 ? 4 ? 4 3 ? OP ? 16 3 , PO ? 6 . 3 2
以 O 为原点, OC 、 OP 分别为 x 轴、 z 轴正向,以 BC 的 垂直平分线为 y 轴,建立空间直角坐标系(如图) .

?

?

P

z

B

O y ? B ? ?4, 0, 0? , C ? 4, 0, 0 ? , A ? 2, ?2 3, 0? , P ? 0, 0, 6 ? . A ??? ? ??? ? ……4 分 ? AC ? ? 2, 2 3, 0? , PC ? ? 4, 0, ?6? xC ?? ???? ? ?? ? ?n? ?AC ? 0 1 ? 设平面 PAC 的法向量为 n1 ? ? x, y, z ? ,则 ? ?? ??? , ?n1 ?PC ? 0 ?x ? 3 ?? ? ? ……6 分 ? 2x ? 2 3 y ? 0 ,令 y ? ? 3 得 ? y ? ? 3 , ? n1 ? ?3, ? 3, 2? 4x ? 6z ? 0 ?z ? 2 ? ?? ? (I)? 平面 ABC 为 xoy 面法向量为 n2 ? ? 0, 0,1? ,二面角 P ? AC ? B 为锐角,记为 ? , ?? ?? ? ? n1 ?n2 ?? ?? ? ? 0?0?2 ?1, 则 cos ? ? cos ? n1 , n2 ? ? ?? ?? ? ? ? 9 ? 3 ? 4 ?1 2 n ?n

?

1

2

? 所求二面角 P ? AC ? B 的大小 ? . 3 ?? ? ??? ? (II)? BC ? ?8, 0, 0? ,平面 PAC 的法向量 n1 ? ?3, ? 3, 2? ??? ?? ? ? BC ?n1 24 ? 0 ? 0 ?6. ? 点 B 到平面 PAC 的距离 d ? ?? ? ? 9?3? 4 n1
21.(本小题满分 12 分, (I)小问 6 分,(II)小问 6 分。) 方法一: 解:(I)当 AB 垂直于 x 轴时,显然不符合题意, 2 所以可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? b ,代入方程 y ? 4 x 得:

……9 分

……12 分

k 2 x 2 ? (2kb ? 4) x ? b 2 ? 0
∴ x1 ? x2 ? 得: b ?

4 ? 2kb ?2 k2

…………………………2 分

2 ?k k 2 k 2 k
………………4 分

∴直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ?

∵ AB 中点的横坐标为 1,∴ AB 中点的坐标为 (1, ) ∴ AB 的中垂线方程为 y ? ?

1 2 1 3 ( x ? 1) ? ? ? x ? k k k k 3 3 ∵ AB 的中垂线经过点 P (0, 2) ,故 ? 2 ,得 k ? k 2 3 1 ∴直线 AB 的方程为 y ? x ? ………………6 分 2 6 1 3 (II)由(I)可知 AB 的中垂线方程为 y ? ? x ? ,∴ M 点的坐标为 (3, 0) ……7 分 k k 2 2 因为直线 AB 的方程为 k x ? ky ? 2 ? k ? 0
第 9 页 共 12 页

∴ M 到直线 AB 的距离 d ?

| 3k 2 ? 2 ? k 2 | k4 ? k2

?

2 k 2 ?1 |k|

………8 分

?k 2 x ? ky ? 2 ? k 2 ? 0 k 2 2 由? 得 y ? ky ? 2 ? k 2 ? 0 , 2 4 ? y ? 4x
4 8 ? 2k 2 y1 ? y2 ? , y1 ? y2 ? k k2
| AB |? 1 ? 1 4 1 ? k 2 k 2 ?1 | y1 ? y2 |? k2 k2
…………………10 分

∴ S ?AMB ? 4(1 ?

1 1 ) 1? 2 , 2 k k

设 1?

1 ? t ,则 0 ? t ? 1 , k2
6 3

S ? 4t (2 ? t 2 ) ? ?4t 3 ? 8t , S ' ? ?12t 2 ? 8 ,由 S ' ? 0 ,得 t ?
16 6 9

即 k ? ? 3 时 S max ?

此时直线 AB 的方程为 x ? 3 y ? 3 ? 0 (本题若运用基本不等式解决,也同样给分) 法二: (I)根据题意设 AB 的中点为 Q (1, t ) ,则 k AB ?

…………12 分

y2 ? y1 y ?y 2 ? 22 12 ? x2 ? x1 y2 y1 t ? 4 4

………2 分

由 P 、 Q 两点得 AB 中垂线的斜率为 k ? t ? 2 ,

2 4 ? ?1 ,得 t ? t 3 3 1 ∴直线 AB 的方程为 y ? x ? 2 6
由 (t ? 2) ? (II)由(I)知直线 AB 的方程为 y ? t ?

………………4 分 ……………6 分

2 ( x ? 1) t

…………7 分

t AB 中垂线方程为 y ? t ? ? ( x ? 1) ,中垂线交 x 轴于点 M (3, 0) 2
点 M 到直线 AB 的距离为 d ?

t2 ? 4 t ?4
2

? t2 ? 4

………8 分

2 ? ? y ? t ? ( x ? 1) 2 2 2 由? 得: 4 x ? 8 x ? (t ? 2) ? 0 t ? y2 ? 4x ?
第 10 页 共 12 页

?| AB |? 1 ?

4 | x1 ? x2 |? (t 2 ? 4)(4 ? t 2 ) 2 t

x1 ? x2 ? 2, x1 x2 ?

(t 2 ? 2) 2 4

?S ?

1 1 | AB | ?d ? (t 2 ? 4) 2 (4 ? t 2 ) 2 2 2 2 16 3 16 6 ? (t 2 ? 4)(t 2 ? 4)(8 ? 2t 2 ) ? ( ) ? 4 4 3 9
当 t2 ?

16 6 4 时, S 有最大值 ,此时直线 AB 方程为 3 x ? 3 y ? 1 ? 0 ……12 分 9 3

22.(本小题满分 12 分, (I)小问 5 分,(II)小问 7 分。) 解:(I)因为 f ?( x) ? 2 x ? 1 ,所以 an?1 ? 2an ? 1, an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) 。 所以数列 {an ? 1} 为等比数列, an ? 1 ? (a1 ? 1) ? 2n?1 , 从而 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分

1 1 1 ? ? ( )n?1 ,所以 an ? 1 (a1 ? 1) 2

1 2? 9 1 1 1 1 1 1 1 2 ? 1 ? 1 。┄┄4 分 ? ? ??? ? ? ? (1 ? ? 2 ? ??? ? 10?1 ) ? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? a10 1 ? a1 2 2 2 1 ? a1 210
所以 a1 ? 1 。 (II)因为 bn ?1 ? f (bn ) ? bn (bn ? 1), cn ? 又因为 bn?1 ? bn (bn ? 1), 得 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分

b b b b 1 1 。 ? n , Tn ? 1 ? 2 ? ? n ? ??? 1 ? bn bn?1 b2 b3 bn ?1 bn ?1

1 1 1 1 1 1 。┄┄┄7 分 ? ? , cn ? ? , Sk ? 1 ? bn?1 bn bn ? 1 bn bn?1 bk ?1 1 1 ? 2. bk ?1 bk
┄┄┄┄8 分

因为 bk ?1 ? bk (bk ? 1), 所以 bk ?1 ? bk 2 ,
n

由 b1 ? 1, b2 ? 2, b3 ? 6 ,且 2 ? n(n ? 1) 得

Tn T1 T2 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? 2 ? 22 ? ??? ? 2n?2 S1 ? T1 S2 ? T2 Sn ? Tn 2 6 6 6 6

?

1 1 1 1 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? ?n? 2 ? 2 6 6 6 6

1 1 6 ? ? 2 ?1 1 6

7 ? 10

综上所述,结论得证。 ┄┄┄┄┄┄┄12 分

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