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2013年课标版模拟试卷(10)理科数学试题

2013 年课标版模拟试卷(10)理科数学试题
本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅 笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、 多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知 i 为虚数单位,则复数 i(2 ? 3 i 对应的点位于 A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.已知集合 A ? {0,1,2,3,4} ,集合 B ? {x | x ? 2n, n ? A} ,则 A ? B ? A. {0} B. {0,4} C. {2,4} D. {0,2,4}

3.已知函数 f

? x?

?log x, x ? 0 ? ? 1 ?? , 则 f ? f ? ? ? 的值是 ? ? x 2 ? ? 4 ?? ?3 , x ? 0
B.

A. 9

1 9

C. ?9

D. ?

1 9

4.设向量 a ? 2, x ? 1 , b ? x ? 1, 4 ,则“ x ? 3 ”是“ a // b ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 5.函数 y ? f (x) 的图象向右平移 则 y ? f (x) 的解析式是 A. f B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?

?

?

?

? 单位后与函数 y ? sin 2 x 的图象重合, 6

? x?

? cos( 2 x ?

?
3

)

B. f

? x?

? cos( 2 x ?

?
6

)

·1·

6 6.已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图 1 所示, 则四棱锥 P ? ABCD 的四个侧面中面积最大的是
A. 3 B. 2 5 C. 6

C. f

? x?

? cos( 2 x ?

?

)

D. f

? x?

? cos( 2 x ?
3

?
3

)
3

4

2 侧视图 2

D. 8
2

正视图

7.在区间 ?1,5? 和 ? 2, 4 ? 分别取一个数,记为 a,b , ? ? ? ?

2

x2 y2 3 则方程 2 ? 2 ? 1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的椭圆的概率为 2 a b
A.

俯视图

图1

1 2

B.

15 32

C.

17 32

D.

31 32

8.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y). 若对任意 x ? 2 ,不等式 x ? a ? x ? a ? 2 都成立,则实数 a 的取值范围是 A. ? ?1, 7 ? ? ? B. ??,3? ?

?

?

?

C. ??,7 ? ?

?

D. ??, ?1? ? ? 7, ?? ? ?

?

?

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若 a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则 S7 的值为 10.若 ( ax 2

开始

i ? 1, S ? 0
. .

1 9 ) 的展开式的常数项为 84,则 a 的值为 x

ai ? i cos

i? ?1 2

11.若直线 y ? 2 x ? m 是曲线 y ? x ln x 的切线, 则实数 m 的值为 .

S ? S ? ai
i ? i ?1 i ? 2012
是 _ . .
否 输出 S

12.圆 x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ? 15 ? 0 上到直 线 x ? 2 y ? 0 的距离为 5 的点的个数是 13.图 2 是一个算法的流程图,则输出 S 的值是 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

结束

14.(几何证明选讲选做题) 如图 3,已知 AB 是⊙ O 的一条弦,点 P 为 AB 上一点,
·2·
C A P O

图2
B

PC ? OP , PC 交⊙ O 于 C ,若 AP ? 4 , PB ? 2 , 则 PC 的长是

15. (坐标系与参数方程选讲选做题)

已知圆 C 的参数方程为 ?

? x ? cos ? ,

(? 为参数), 以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极 ? y ? sin ? ? 2,
.

坐标系,直线的极坐标方程为 ? sin ? ? ? cos ? ? 1, 则直线截圆 C 所得的弦长是 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知 V ABC 的内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c ,且 a ? 1,b ? 2, B ? (1) 求 sin A 的值; (2) 求 cos 2C 的值. 17.(本小题满分 12 分) 某市 A, B, C , D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示: 中学 人数

?
3

.

A 30

B 40

C 20

D 10

为了了解参加考试的学生的学习状况,该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四 所中学的学生当中随机抽取 50 名参加问卷调查. (1)问 A, B, C , D 四所中学各抽取多少名学生? (2)从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学 的概率; (3)在参加问卷调查的 50 名学生中,从来自 A, C 两所中学的学生当中随机抽取两名学 生,用 ? 表示抽得 A 中学的学生人数,求 ? 的分布列.
P

18. (本小题满分 14 分) 如图 4,已知四棱锥 P - ABCD ,底面 ABCD 是正方形, PA ^ 面 ABCD , 点 M 是 CD 的中点,点 N 是 PB 的中点,连接 AM , AN , MN .
·3·
A B N

D

M

C

(1) 求证: MN // 面 PAD ; (2)若 MN = 5 , AD ? 3 ,求二面角 N - AM - B 的余弦值.

19.(本小题满分 14 分) 如图 5, 已知抛物线 P : y2 ? x ,直线 AB 与抛物线 P 交于 A, B 两点,

uur uur uuu u r OA ^ OB , OA + OB = OC , OC 与 AB 交于点 M .
(1) 求点 M 的轨迹方程; (2) 求四边形 AOBC 的面积的最小值.

y

A

M O

C x

B

图5 20.(本小题满分 14 分) 在数和 2 之间插入 n 个实数,使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数列,将这 n ? 2 个数 的乘积记为 An ,令 an ? log2 An , n ?N. (1)求数列 An 的前 n 项和 Sn ; (2)求 Tn ? tan a2 ? tan a4 ? tan a4 ? tan a6 ? ? ? tan a2n ? tan a2n ? 2 .

? ?

21.(本小题满分 14 分) 若函数 f ( x ) 对任意的实数 x1 , x2 ? D ,均有 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ,则称函数

f ( x) 是区间 D 上的“平缓函数”.
(1) 判断 g ( x) ? sin x 和 h( x) ? x ? x 是不是实数集 R 上的“平缓函数” ,并说明理由;
2

·4·

(2) 若数列 ?xn ? 对所有的正整数 n 都有 xn ?1 ? xn ? 求证: yn ?1 ? y1 ?

1 ,设 yn ? sin xn , (2n ? 1)2

1 . 4

2013 年课标版模拟试卷(8)理科数学试题 试题解析
一、选择题 1. A 分析: i(2 - 3i)=2i - 3i2 = 2i +3 = 3 + 2i ,其对应的点为 (3, 2) ,位于第一象限 2. D 分析:? A ? {0,1, 2,3, 4} ,? B ? {x | x ? 2n, n ? A} ? {0, 2, 4, 6,8} ,? A ? B ? {0, 2, 4} 3. B 分析: f ? ? ? log 2 4. A 分析:当 a / / b 时,有 2? 4 ( x - 1)( x +1) = 0 ,解得 x ? ?3 ; 所以 x ? 3 ? a / /b ,但 a / /b ? x ? 3 ,故“ x ? 3 ”是“ a / / b ”的充分不必要条件 5. B 分析:逆推法,将 y ? sin 2 x 的图象向左平移

?1? ?4?

1 ? log 2 2?2 ? ?2 , 4

? f? ?

1 ? 1 ?? f ? ? ? ? f ? ?2 ? ? 3?2 ? 9 ? 4 ??

?

?

?

?

?

?

?

?

? 个单位即得 y ? f ( x) 的图象, 6 ? ? ? ? ? ? 即 f ( x) ? sin 2( x ? ) ? sin(2 x ? ) ? cos[ ? (2 x ? )] ? cos( ?2 x ? ) ? cos(2 x ? ) 6 3 2 3 6 6
P
3

6. C

1 分析:三棱锥如图所示, PM ? 3 , S ?PDC ? ? 4 ? 5 ? 2 5 , 2 1 1 S?PBC ? S?PAD ? ? 2 ? 3 ? 3 , S ?PAB ? ? 4 ? 3 ? 6 2 2
7. B

3

5

D A

2 2

N

2 2

C

M

B

·5·

? a 2 ? b2 x y 3 ? 分析:方程 2 + 2 = 1 表示焦点在 x 轴且离心率小于 的椭圆时,有 ? c a 2 ? b2 3 , a b 2 ? ?e ? ? a a 2 ?
2 2

即?

? a 2 ? b2
2 ?a ? 4b

,化简得 ? 2

? a?b ,又 a ? [1,5] , b ? [2, 4] , ?a ? 2b

画出满足不等式组的平面区域,如右图阴影部分所示, 求得阴影部分的面积为 8. C 分 析 : 由 题 意 得 ( x - a) ? x

S 15 15 ,故 P ? 阴影 ? 4 2 ? 4 32

( x - a)(1 - x) , 故 不 等 式

( x - a) ? x ? a 2 化为 ( x - a)(1 - x) ? a + 2 ,
化简得 x2 ? (a ? 1) x ? 2a ? 2… , 0 故原题等价于 x2 ? (a ? 1) x ? 2a ? 2… 在 (2, ??) 上恒成立, 0 由二次函数 f ( x) ? x ? (a ? 1) x ? 2a ? 2 图象,其对称轴为 x ?
2

a ?1 ,讨论得 2

? a ?1 ? a ?1 ? 2 ?2 ?2 ? ? 或 ? ,解得 a? 3 或 3 ? a ? 7 , ? 2 a ?1 ?f( ? f (2) …0 ) …0 ? ? ? 2
综上可得 a? 7 二、填空题 9. 28 分析: 方法一、 (基本量法) a3 + a4 + a5 = 12 得 a1 + 2d + a1 +3d + a1 + 4d = 12 , 3a1 ? d ? 由 即 9 1 2 化简得 a1 + 3d ,

= 4 ,故 S7 = 7a1 +

7? 6 d = 7(a1 + 3d ) = 7 ? 3 28 2

方法二、等差数列中由 a1 + a7 = a3 + a5 = 2a4 可将 a3 + a4 + a5 = 12 化为 即 a1 + a7 10.
·6·

3 (a1 + a7 ) = 12 , 2

= 8 ,故 S 7 =

7(a1 + a7 ) = 28 2

r 分析: C9 (ax 2 )9- r 琪 琪

骣1 桫x

r

6 r = (- 1)r a9- r C9 ?x18- 3r ,令 r ? 6 ,得其常数项为 (- 1)6 a3C9 = 84 ,

即 84a3 ? 84 ,解得 a ? 1 11. ?e 分析:设切点为 ( x0 , x0 ln x0 ) ,由 y? ? ( x ln x)? ? ln x ? x ? ? ln x ?1 得 k ? ln x0 ? 1 , 故切线方程为 y ? x0 ln x0 ? (ln x0 ? 1)( x ? x0 ) ,整理得 y ? (ln x0 ? 1) x ? x0 , 与 y ? 2 x ? m 比较得 ?

1 x

?ln x0 ? 1 ? 2 ,解得 x0 ? e ,故 m ? ?e ? ? x0 ? m

12. 4 分 析 : 圆 方 程 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 15 ? 0 化 为 标 准 式 为
7 5 5

x-2y=0 O
3 5 5

( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 20 ,其圆心坐标 (?1, ?2) ,
2 2

半径 r ? 2 5 ,由点到直线的距离公式得圆心到直线

B(-1,-2)

x ? 2 y ? 0 的距离 d ?

| ?1 ? 2(?2) | 12 ? (?2) 2

?

3 5 ,由右图 5

所示,圆上到直线 x ? 2 y ? 0 的距离为 5 的点有 4 个. 13. 3018 分析:由题意

a1 ? 1? cos

?

2 5? a5 ? 5 ? cos ?1 ? 1 , 2 8? a8 ? 8 ? cos ?1 ? 9 , 2

? 1 ? 1 ,a2 ? 2 ? cos

2? 3? 4? ? 1 ? ?1 ,a3 ? 3 ? cos ? 1 ? 1 ,a4 ? 4 ? cos ?1 ? 5 , 2 2 2 6? 7? a6 ? 6 ? cos ? 1 ? ?5 a7 ? 7 ? cos ?1 ? 1 , , 2 2

?

a2009 ? 1 ,
以上共 503 行,

a2010 ? ?2009 ,
·7·

a2011 ? 1 ,

a2012 ? 2013 ;

输出的 S ? a1 ? a2 ? ? ? a2012

? 503 ? (1 ? 5 ? 9 ? ?2009) ? 503 ? (5 ? 9 ? 13 ? ? ? 2013) ? 3018 ? 503 ? 1 ? 503 ? 2013
14. 2 2 分析:如图,因为 PC ? OP ,所以 P 是弦 CD 中点, 由相交弦定理知 PA?PB ? PC 2 , 即 PC 2 ? 8 ,故 PC ? 2 2 15.

B P D

C O A
y

2

分析:圆 C 的参数方程化为平面直角坐标方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1, 直线的极坐标方程化为平面直角坐标方程为 x ? y ? 1 ,
x+y=1 d 2 1 -1 O 1 2 x

| 0 ? 2 ? 1| 2 如右图所示,圆心到直线的距离 d ? , ? 2 2
故圆 C 截直线所得的弦长为 2 1 ? d ? 2
2 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) (本小题主要考查同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知识,考查化归与转 化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:∵ a ? 1,b ? 2, B ?

?
3

,

依据正弦定理得:

a b ? , sin A sin B
,解得 sin A ?

????? 1 分



1 ? sin A

2 3 2

3 . 4

????? 3 分

(2)解:∵ a ? b , ∴0 ? A ? B ?

?
2

.

????? 4 分

·8·

∴ cos A ?

1 ? sin 2 A ?

13 . 4 39 , 8

????? 5 分

∴ sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

????? 6 分

cos 2 A ? 1 ? 2 sin 2 A ?
∵A ? B ? C ? ? , ∴C ?

5 . 8

????? 7 分

2? ? A. 3

????? 8 分

∴ cos 2C ? cos ?

? 4? ? ? 2A? ? 3 ?

????? 9 分

? cos

4? 4? cos 2 A ? sin sin 2 A 3 3

????? 10 分

? ?

1 5 3 ? ? ? 2 8 2 5 ? 3 13 . 16

39 8
????? 12 分

? ?

17. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识,考查数据处理、推理论 证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想) (1)解:由题意知,四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为 100 名, 抽取的样本容量与总体个数的比值为

50 1 ? . 100 2

∴应从 A, B, C , D 四所中学抽取的学生人数分别为 15, 20,10,5 . ????? 4 分 (2)解:设“从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生,这两名学生来自同一所 中学”为事件 M , 从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生的取法共有 C 50 ? 1225 种,? 5 分
2
2 2 2 2 这两名学生来自同一所中学的取法共有 C 15 ? C 20 ? C 10 ? C 5 ? 350 .

????? 6 分

∴ P?M ? ?

350 2 ? . 1225 7
·9·

答:从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学 的概率为

2 . 7

????? 7 分

(3) 解:由(1)知,在参加问卷调查的 50 名学生中,来自 A, C 两所中学的学生人数分别 为 15,10 . 依题意得, ? 的可能取值为 0,1, 2 , ????? 8 分

P ?? ? 0? ?

2 C2 9 1 7 C10 C1 C1 ? , P ?? ? 1? ? 15 2 10 ? , P ?? ? 2? ? 15 ? . 2 2 2 C25 60 C25 C25 20

????? 11 分 ∴ ? 的分布列为:

?
P


0

2

9 60

1 2

7 20

? ? ? ? ? 12

18. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识,考查空间想象、推理论证、抽象概括和 运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法) (1)证法 1:取 PA 的中点 E ,连接 DE , EN , ∵点 N 是 PB 的中点, ∴ EN // AB, EN ?
P

1 AB . 2

????? 1 分

E

N

∵点 M 是 CD 的中点,底面 ABCD 是正方形,
A

1 AB . ∴ DM // AB, DM ? 2
∴ EN // DM , EN ? DM . ∴四边形 EDMN 是平行四边形.

B

????? 2 分
D M C

·10·

∴ MN // DE .

????? 3 分
P

∵ DE ? 平面 PAD , MN ? 平面 PAD , ∴ MN // 面 PAD . ????? 4 分

N

证法 2:连接 BM 并延长交 AD 的延长线于点 E ,连接 PE , ∵点 M 是 CD 的中点,
A B

∴ DM // AB, DM ? ∴点 M 是 BE 的中点. ∵点 N 是 PB 的中点, ∴ MN // PE .

1 AB , ????? 1 分 2
????? 2 分
E

D

M

C

????? 3 分

∵ PE ? 面 PAD , MN ? 平面 PAD , ∴ MN // 面 PAD . 证法 3: 取 AB 的中点 E ,连接 NE , ME , ∵点 M 是 CD 的中点,点 N 是 PB 的中点, ∴ ME // AD , NE // PA . ∵ AD ? 面 PAD , ME ? 平面 PAD , ∴ ME // 面 PAD . ∵ PA ? 面 PAD , NE ? 平面 PAD , ∴ NE // 面 PAD . ????? 2 分 ????? 1 分 ????? 4 分

∵ ME ? NE ? E , NE ? 平面 MEN , ME ? 平面 MEN , P ∴平面 MEN // 面 PAD . ∵ MN ? 平面 MEN , ∴ MN // 面 PAD . ????? 4 分
·11·
D

????? 3 分
N

A E F M C

B

(2)解法 1:∵ NE // PA , PA ^ 面 ABCD , ∴ NE ^ 面 ABCD . ∵ AM ? 面 ABCD , ∴ NE ? AM . 过 E 作 EF ? AM ,垂足为 F ,连接 NF , ∵ NE ? EF ? E , NE ? 面 NEF , EF ? 面 NEF , ∴ AM ? 面 NEF . ∵ NF ? 面 NEF , ∴ AM ? NF . ∴ ?NFE 是二面角 N - AM - B 的平面角. 在 Rt△ NEM 中, MN = 5 , ME ? AD ? 3 ,得 NE ? ????? 8 分 ????? 9 分 ????? 7 分 ????? 6 分 ????? 5 分

MN 2 ? ME 2 ? 4 ,
????? 10 分

在 Rt△ MEA 中, AE =

3 ,得 AM ? 2

ME 2 ? AE 2 ?

3 5 , 2
????? 11 分

EF =

AE gME 3 5 = . AM 5

在 Rt△ NEF 中, NF ?

NE 2 ? EF 2 ?

445 , 5

????? 12 分

cos ? NFE

EF 3 89 = . NF 89 3 89 . 89

????? 13 分

∴二面角 N - AM - B 的余弦值为

????? 14 分

解法 2:∵ NE // PA , PA ^ 面 ABCD , ∴ NE ^ 面 ABCD .
·12·

在 Rt△ NEM 中, MN = 5 , ME ? AD ? 3 ,得 NE ?

MN 2 ? ME 2 ? 4 ,
????? 5 分

以点 A 为原点, AD 所在直线为 x 轴, AB 所在直线为 y 轴, AP 所在直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系 A ? xyz , 则 A 0,0,0 ,M ? 3, ????? 6 分

?

?

? ?

? 3 ? 3 ? ,0 ? , E ? 0, ,0 ? , N 2 ? ? 2 ? ????

? 3 ? ? 0, ,4 ? . ? 2 ? ? ? 3 ? ,4 ? . ????? 8 分 2 ?

∴ EN ? 0,0,4 , 设平面 AMN 的法向量为 n ?

????

?

?

, AN ? ? 0,

? x, y, z ? ,
z P

由 n ? AM ? 0 , n ? AN ? 0 ,

???? ?

????

? 3 ?3x ? 2 y ? 0, ? 得? ? 3 y ? 4 z ? 0. ?2 ?
令 x ? 1 ,得 y ? ?2 , z ?

N

3 . 4
D x

A E

B y

? 3? ∴ n ? ?1,?2, ? 是平面 AMN 的一个法向量. 4? ? ???? 又 EN ? ? 0,0,4 ? 是平面 AMB 的一个法向量, ???? ? ???? ? 3 89 n?EN . cos n, EN ? ???? ? ? 89 n EN
∴二面角 N - AM - B 的余弦值为

M

C

????? 11 分

????? 12 分 ????? 13 分

3 89 . 89

????? 14 分

19. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识,考查数形结合、函数与方程、 化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) 解法一:

·13·

(1)解:设 M x, y , A y1 , y1 , B y2 , y2 ,
2 2

?

?

?

? ?

?

∵ OA ? OB ? OC , ∴ M 是线段 AB 的中点.
2 y 2 ? y2 ∴x ? 1 ? 2

??? ?

??? ?

??? ?

????? 2 分

?y

1

? y2 ? ? 2 y1 y2
2

,①

????? 3 分

2
② ????? 4 分

y ?

y1 ? y2 . 2
∴ OA ? OB ? 0 .

∵ OA ? OB ,

??? ??? ? ?

2 2 ∴ y1 y2 ? y1 y2 ? 0 .

????? 5 分

依题意知 y1 y2 ? 0 , ∴ y1 y2 ? ?1. 把②、③代入①得: x ? ③ ????? 6 分

1 4 y2 ? 2 2 ,即 y ? ? x ? 1? . 2 2 ? 1 ? x ? 1? . 2

????? 7 分

∴点 M 的轨迹方程为 y

2

????? 8 分

(2)解:依题意得四边形 AOBC 是矩形, ∴四边形 AOBC 的面积为

??? ??? ? ? S ? OA OB ?

?y ?
2 1

2

? y12 ?
2 1 2

?y ?
2 2

2

2 ? y2

????? 9 分

?
? ?

?y

2 1

?1

? ?y

2 2

?1

? ?y y ?

2 2 y12 y2 ? y12 ? y2 ? 1 2 2 ? y12 ? y2 .

????? 11 分

2 2 ∵ y1 ? y2 ? 2 y1 y2 ? 2 ,当且仅当 y1 ? y2 时,等号成立, ????? 12 分

∴S ?

2 ? 2 ? 2.

????? 13 分 ????? 14 分

∴四边形 AOBC 的面积的最小值为 2 . 解法二: (1)解:依题意,知直线 OA,OB 的斜率存在,设直线 OA 的斜率为 k ,
·14·

由于 OA ? OB ,则直线 OB 的斜率为 ?

1 . k

????? 1 分

故直线 OA 的方程为 y ? kx ,直线 OB 的方程为 y ? ?

1 x. k

由?

? y ? kx, ? y ? x.
2

消去 y ,得 k x ? x ? 0 .
2 2

解得 x ? 0 或 x ?

1 . k2

????? 2 分

∴点 A 的坐标为 ?

? 1 1? , ?. 2 ?k k?

????? 3 分

同理得点 B 的坐标为 k ,? k .
2

?

?

????? 4 分

∵ OA ? OB ? OC , ∴ M 是线段 AB 的中点. 设点 M 的坐标为 x, y , ????? 5 分

??? ?

??? ?

??? ?

?

?

? 1 ? k2 ? k2 , ?x ? ? 2 则? 1 ? ?k ? y ? k . ? ? 2
消去 k ,得 y
2

????? 6 分

?

1 ? x ? 1? . 2
2

????? 7 分

∴点 M 的轨迹方程为 y

?

1 ? x ? 1? . 2

????? 8 分

(2)解:依题意得四边形 AOBC 是矩形, ∴四边形 AOBC 的面积为

??? ??? ? ? S ? OA OB ?

? 1 ? ?1? ? 2? ?? ? ? ?k ? ?k?

2

2

?k ?
2

2

? ? ?k ?

2

????? 9 分

·15·

?

2 ? k2 ?

1 k2
1 k2

????? 10 分

?

2 ? 2 k2 ?

????? 11 分 ????? 12 分

? 2.
当且仅当 k
2

?

1 2 ,即 k ? 1 时,等号成立. 2 k

????? 13 分 ????? 14 分

∴四边形 AOBC 的面积的最小值为 2 .

20. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前 n 项和等基础知识,考查合情推理、化归与转化、 特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力) (1)解法 1:设 b1,b2 ,b3 ,? ,bn ? 2 构成等比数列,其中 b1 ? 1,bn ? 2 ? 2 , 依题意, An ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? bn ? 2 , ① ② ????? 1 分 ????? 2 分 ????? 3 分

An ? bn ? 2 ? bn ?1 ? ? ? b2 ? b1 ,

由于 b1 ? bn ? 2 ? b2 ? bn ?1 ? b3 ? bn ? ? ? bn ? 2 ? b1 ? 2 ,

2 n?2 ① ? ②得 An ? b1bn ? 2 ? b2bn ?1 ? ? ? bn ?1b2 ? bn ? 2b1 ? 2 .????? 4 分

?

? ?

?

?

? ?

?

∵ An ? 0 , ∴ An ? 2
n?2 2

.

????? 5 分

n?3

A 2 2 ∵ n ?1 ? n ? 2 ? An 2 2

2,

????? 6 分

∴数列 An 是首项为 A ? 2 2 ,公比为 2 的等比数列. 1
n ? ? 2 2 ?1 ? 2 ? ? ?? 4?2 2 ? ∴ Sn ? ? ? 1? 2

? ?

????? 7 分

? ?

?

?? ?
2
·16·

n

? ? 1? . ?

????? 8 分

解法 2: 设 b1,b2 ,b3 ,? ,bn ? 2 构成等比数列,其中 b1 ? 1,bn ? 2 ? 2 ,公比为 q ,

则 bn ? 2 ? b1qn ?1 ,即 qn ?1 ? 2 . 依题意,得 An ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? bn ? 2

????? 1 分

? b1 ? ? b1q ? ? b1q 2 ? ? ? b1q n ?1

?

?

?

?

????? 2 分 ????? 3 分 ????? 4 分 ????? 5 分

? ? b1 ?

n?2

?q

1? 2 ? 3 ??? ? n ?1?

? q
? 2
n?3

? n ?1?? n ? 2?
2
n?2 2

.

A 2 2 ∵ n ?1 ? n ? 2 ? An 2 2

2,

????? 6 分

∴数列 An 是首项为 A ? 2 2 ,公比为 2 的等比数列. 1
n ? ? 2 2 ?1 ? 2 ? ? ?? 4?2 2 ? ∴ Sn ? ? ? 1? 2

? ?

????? 7 分

? ?

?

?? ?
2

n

? ? 1? . ?

????? 8 分

(2)解: 由(1)得 an ? log2 An ? log 2 2

n?2 2

?

n?2 , 2

????? 9 分

∵ tan 1 ? tan ? n ? 1 ? n ? ? , ? ? 1 ? tan n ? 1 ? tan n

?

?

tan ? n ? 1? ? tan n

?

?

?????10 分

∴ tan n ? tan n ? 1 ?

?

?

tan ? n ? 1? ? tan n tan 1

? 1 , n ?N.

?????11 分

∴ Tn ? tan a2 ? tan a4 ? tan a4 ? tan a6 ? ? ? tan a2n ? tan a2n ? 2

? tan 2 ? tan 3 ? tan 3 ? tan 4 ? ? ? tan ? n ? 1? ? tan ? n ? 2 ?
? tan ? n ? 2 ? ? tan ? n ? 1? ? ? tan 3 ? tan 2 ? ? tan 4 ? tan 3 ? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 1? ? ? tan 1 tan 1 tan 1 ? ? ? ? ? ?

?

tan ? n ? 2 ? ? tan 2 tan 1

? n.

????? 14 分

21.(本小题满分 14 分)
·17·

(本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识,考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的 数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1) 解: g ( x) ? sin x 是 R 上的“平缓函数” ,但 h( x) ? x2 ? x 不是区间 R 的“平缓函数” ; 设 ? ( x) ? x ? sin x ,则 ? ?( x) ? 1 ? cos x ? 0 ,则 ? ( x) ? x ? sin x 是实数集 R 上的增函数, 不妨设 x1 ? x2 ,则 ? ( x1 ) ? ? ( x2 ) ,即 x1 ? sin x1 ? x2 ? sin x2 , 则 sin x2 ? sin x1 ? x2 ? x1 . ① ????? 1 分

又 y ? x ? sin x 也是 R 上的增函数,则 x1 ? sin x1 ? x2 ? sin x2 , 即 sin x2 ? sin x1 ? x1 ? x2 , 由①、②得 ② ????? 2 分

?( x2 ? x1 ) ? sin x2 ? sin x1 ? x2 ? x1 .
????? 3 分

因此, sin x2 ? sin x1 ? x2 ? x1 ,对 x1 ? x2 都成立. 当 x1 ? x2 时,同理有 sin x2 ? sin x1 ? x2 ? x1 成立 又当 x1 ? x2 时,不等式 sin x2 ? sin x1 ? x2 ? x1 ? 0 , 故对任意的实数 x1 , x2 ? R,均有 sin x2 ? sin x1 ? x2 ? x1 . 因此 g ( x) ? sin x 是 R 上的“平缓函数”. 由于 h( x1 ) ? h( x2 ) ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ?1) 取 x1 ? 3 , x2 ? 2 ,则 h( x1 ) ? h( x2 ) ? 4 ? x1 ? x2 , 因此, h( x) ? x ? x 不是区间 R 的“平缓函数”.
2

????? 5 分 ????? 6 分 ????? 7 分 ????? 8 分

(2)证明:由(1)得: g ( x) ? sin x 是 R 上的“平缓函数” , 则 sin xn ?1 ? sin xn ? xn ?1 ? xn , 所以 yn?1 ? yn ? xn?1 ? xn . 而 xn ?1 ? xn ? ????? 9 分

1 , (2n ? 1)2 1 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? ). 2 (2n ? 1) 4n ? 4n 4 n n ? 1
·18·

∴ yn ?1 ? yn ?

????? 10 分

∵ yn ?1 ? y1 ? ( yn ?1 ? yn ) ? ( yn ? yn ?1) ? ( yn ?1 ? yn ?2 ) ? ? ? ( y2 ? y1) ,??? 11 分 ∴ yn?1 ? y1 ? yn?1 ? yn ? yn?1 ? yn?2 ? ?? y2 ? y1 . ∴ yn ?1 ? y1 ? ????? 12 分

1 1 1 1 1 1 [( ? )?( ? ) ? ? ? (1 ? )] 4 n n ?1 n ?1 n 2

?

1 4

? 1 ? ?1 ? ? n ? 1? ?

????? 13 分

?

1 . 4

????? 14 分

·19·


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