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2015-2016学年高中数学 3.2.1 立体几何中的向量方法课件 新人教A版选修2-1


3.2 立体几何中的向量方法

第一课时

用向量方法解决平行问题

课程目标 1.理解直线的方向向量与 平面的法向量的意义,会用 待定系数法求平面的法向 量. 2.能用向量方法解决线线, 线面,面面的平行关系问题.

学习脉络

1.直线的方向向量与平面的法向量 (1)空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点以及一个向量确 定.这个向量叫做直线的方向向量. (2)直线 l 垂直于平面 α,取直线 l 的方向向量 a,则向量 a 叫做平面 α 的 法向量.

思考 1 一条直线的方向向量和一个平面的法向量各有多少
个? 提示:一条直线的方向向量有无数多个,它们都是共线向量;一个平面的 法向量也有无数多个,它们也都是共线向量.

思考 2 设 A,B,C 是平面 α 内不共线的三点,那么向量 a(a≠0)
是平面 α 的法向量的充要条件是什么? 提示:a⊥且 a⊥ .这一点可以由直线与平面垂直的判定定理来说 明.

2.空间中平行关系的向量表示
线线 平行 线面 平行 面面 平行 设两条不重合的直线 l,m 的方向向量分别为 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2), 则 l∥m? a∥b? (a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2),k∈R 设直线 l 在平面 α 外,且 l 的方向向量为 a=(a1,b1,c1),α 的法向量为 u=(a2,b2,c2),则 l∥α? a· u=0? a1a2+b1b2+c1c2=0 设两个不重合的平面 α,β 的法向量分别为 u=(a1,b1,c1),v=(a2,b2,c2),则 α∥β? u∥v?(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2),k∈R

探究一

探究二

探究三

探究四

探究一求平面的法向量
求平面的法向量一般用待定系数法,其方法步骤如下: (1)选向量:在平面内选两相交向量, . (2)设法向量的坐标:设平面法向量 n=(x,y,z). ·AB = 0, (3)解方程:联立方程组 并解答. ·AC = 0 (4)定结论:设定某个坐标为常数而得到其他坐标. 【典型例题 1】四边形 ABCD 是直角梯形,∠ABC=90° ,SA⊥平面 ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,求平面 SCD 和平面 SAB 的法向量. 思路分析:解答本题可先建立空间直角坐标系,写出每个平面内不共线 的两个向量的坐标,再利用待定系数法求出平面的法向量.

探究一

探究二

探究三

探究四

解:∵ AD,AB,AS 是三条两两垂直的线段, ∴ 以 A 为原点,以 , , 的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间 直角坐标系如图所示,则 A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2). ∴ =(1,0,0)是平面 SAB 的法向量.

探究一

探究二

探究三

探究四

设平面 SCD 的法向量为 n=(1,y,z), 则 n·=(1,y,z)·(1,2,0)=1+2y=0, ∴ y=-2. 又 n·=(1,y,z)·(-1,0,2)=-1+2z=0, ∴ z=2. ∴ n= 1,- 2 , 2 即为平面 SCD 的法向量.
1 1 1 1

探究一

探究二

探究三

探究四

探究二利用空间向量处理线线平行问题
1.证明空间两直线平行的思路 (1)把证明空间两直线平行的问题转化为判断空间两直线的方向向量 共线的问题. (2)在建立空间直角坐标系后,主要问题是求出空间两直线的方向向量 的坐标. 2.利用空间向量证明线线平行的方法步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标. (2)求出直线的方向向量. (3)证明两向量共线. (4)证明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线 上,即表示方向向量的有向线段不共线,即可得证.

探究一

探究二

探究三

探究四

【典型例题 2】在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=4,AD=3,AA1=2,P,Q,R,S 分别是 AA1,D1C1,AB,CC1 的中点. 求证:PQ∥RS.

证法一:以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如 图所示的空间直角坐标系 Dxyz. 则 P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1). =(-3,2,1),=(-3,2,1), 即 = ,故 ∥ . 又 P? RS,因此 PQ∥RS.

探究一

探究二

探究三

探究四

证法二:∵ = + = 2 ? + 2 1, = 1 + 1 Q = 2 1 + 2 ? , ∴ = .∴ ∥ . 又 P? RS,∴ RS∥PQ.
1 1

1

1

探究一

探究二

探究三

探究四

探究三利用空间向量处理线面平行与面面平行的问题
1.利用空间向量证明线面平行的方法 方法一:证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即 可用平面内的一组基底表示. 方法二:证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行, 利用线面平行判定定理得证. 方法三:先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向 量与平面的法向量垂直. 2.利用空间向量证明两个平面平行的思路方法 (1)直接证明法:建立空间直角坐标系,分别求出两个平面的法向量,证 明两个法向量平行. (2)间接证明法:根据两个平面平行的判定定理,把证明两个平面平行转 化为证明线面平行或线线平行,再利用空间向量证明.

探究一

探究二

探究三

探究四

【典型例题 3】 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 C1C,B1B 的中点. (1)求证:MN∥平面 A1BD; (2)求证:平面 A1BD∥平面 CB1D1.

探究一

探究二

探究三

探究四

证明:(1)以 D 为原点,分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建 立如图所示的空间直角坐标系,

设正方体的棱长为 1, N
1 ,1,1 2

则可求得 M 0,1, 2 , ,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),
1 1 , 0 , 2 2

1

于是 =

, 1 =(1,0,1),=(1,1,0).

探究一

探究二

探究三

探究四

设平面 A1BD 的法向量 n=(x,y,z),则 n·1 =0 且 n·=0, + = 0, 得 取 x=1,得 y=-1,z=-1. + = 0, 故 n=(1,-1,-1).又·n=
1 1 ,0, 2 2

·(1,-1,-1)=0,故⊥n.

又 MN? 平面 A1BD,因此 MN∥平面 A1BD.

探究一

探究二

探究三

探究四

(2)由(1)知 D1(0,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0), 则1 1 =(1,1,0),1 C=(0,1,-1). 设平面 CB1D1 的一个法向量为 m=(x',y',z'). ' + ' = 0, ·D1 B1 = 0, 则 即 '-' = 0, ·D1 C = 0, 令 x'=1,则 y'=z'=-1,故 m=(1,-1,-1). 从而 n=m,即 n∥m.又 D1? 平面 A1BD,故平面 A1BD∥平面 CB1D1.

探究一

探究二

探究三

探究四

探究四易错辨析
易错点:混淆直线与平面平行和向量与平面平行的含义致误 【典型例题 4】已知 u 是平面 α 的一个法向量,a 是直线 l 的一个方向 向量,若 u=(4,1,5),a=(2,-8,0),则 l 与 α 的位置关系是 . 错解:∵ u·a=4×2-1×8+5×0=0,∴ u⊥a.∴ l∥α. 错因分析:忽略了直线与平面平行和向量与平面平行的区别,直线与平 面平行,直线一定在平面外,向量与平面平行,向量对应的直线可在平面内. 正解:∵ u·a=4×2+1×(-8)+5×0=8-8=0, ∴ u⊥a.∴ l∥α 或 l? α. 答案:l∥α 或 l? α

1

2

3

4

5

1.若 A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线 l 上,则直线 l 的一个方向向量为(
A.(1,2,3)

)

B.(1,3,2)

C.(2,1,3) D.(3,2,1) 解析:与向量共线的向量都是直线 l 的方向向量. ∵ A(-1,0,1),B(1,4,7),∴ =(2,4,6). 选项中与共线的向量只有向量(1,2,3).故选 A. 答案:A

1

2

3

4

5

2.设平面 α 的法向量为(1,2,-2),平面 β 的法向量为(-2,-4,k),若 α∥β,则 k 等于 ( )
A.2

B.-4 D.-2
1 -2 2 -4

C.4 解析:∵ α∥β,∴ = 答案:C

= ,∴ k=4.

-2

1

2

3

4

5

3.直线 l 的一个方向向量和平面 β 的一个法向量分别是 m=(-1,1,3),n=
A.l∥β
1 1 , 0 , 3 9

,则直线 l 与平面 β 的位置关系是(

)

C.l∥β 或 l? β
1

B.l⊥β D.无法判断
1

解析:∵ m·n=-3+0+3=0,∴ m⊥n. ∴ l∥β 或 l? β. 答案:C

1

2

3

4

5

4.已知直线 l,m 的方向向量分别为 a=(2,-1,5),b=(-4,2,x),若 l∥m,则 x= . 解析:∵ l∥m,∴ a∥b.∴ a=λb. 2 = -4, ∴ -1 = 2,解得 x=-10. 5 = , 答案:-10

1

2

3

4

5

5.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,各棱对应的向量可作为面 A1B1C1D1 的法向 量的个数为 . 解析:可以作面 A1B1C1D1 的法向量的有 1 A, 1 B, 1 C, 1 D, 1 , 1 , 1 , 1 共 8 个. 答案:8


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