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二阶矩阵与平面向量 综合检测 (1)


综合检测(一)
?x+3y=4, 1.已知二元一次方程组? 试用矩阵表示它的系数和常数项. ?2x+3y=2, 【解】 ?1 系数矩阵为? ?2 1 0 3? ?4? ?,常数项矩阵为? ?. ?2? 3?

?0 2.写出矩阵? ?0 【解】

2? ?所表示的三角形的各顶点坐标. 1?

设三个顶点分别为 A,B,C,则 A(0,0),B(1,0),C(2,1) . 1??x? ?? ?,试将它写成坐标变换的形式; 2??y?

?x? ?x′? ?0 3.(1)已知? ?→? ?=? ?y? ?y′? ?3

?x? ?x′? ?x-2y? ?,试将它写成矩阵的乘法形式. (2)已知? ?→? ?=? ?y? ?y′? ? y ? 【解】 ?x? ?x′? ? 0+y? ? y ? ?=? ?. (1)? ?→? ?=? ?y? ?y′? ?3x+2y ? ?3x+2y? -2??x? ?? ?. 1 ??y?

?x? ?x′? ?1 (2)? ?→? ?=? ?y? ?y′? ?0

4.设 M 是一个 3×3 矩阵,且规定其元素 aij=i+3j(i=1,2,3;j=1,2,3),试 求 M. 【解】 由题意可知 a11=4,a12=7,a13=10,a21=5,a22=8,a23=11,

a31=6,a32=9,a33=12,所以

?4 M=?5 ?6

7 8 9

10

11 ?. 12? 0 ? ?3 ?,P=? -2? ?1 -3? ?. -4?

?

?3 ?x y ? ?,N=? 5.设 M=? ?z w? ?2

(1)若矩阵 M=N,求 x,y,z,w; (2)若矩阵 M=P,求 x,y,z,w. 【解】 (1)∵M=N,∴x=3,y=0,z=2,w=-2.

(2)∵M=P,∴x=3,y=-3,z=1,w=-4. ?1 6.计算:(1)? ?0 0??x? ?a b??0? ?1 ?? ?;(2)? ?? ?;(3)? ?c d ??0? ?1 1??y? 1??x? ?? ? . 1??y?

【解】

?1 (1)? ?0

0??x? ?1×x+0×y? ?x? ?? ?=? ?=? ?; 1??y? ?0×x+1×y? ?y?

?a b??0? ?a×0+b×0? ?0? ?? ?=? ? =? ? ; (2)? ?c d ??0? ?c×0+d×0 ? ?0? ?1 (3)? ?1 1??x? ?1×x+1×y??x+y? ?? ?=? ?? ?. 1??y? ?1×x+1×y??x+y? 2??0? ?2? ?a 2??c ? ?1? ?? ?=? ?及? ?? ?=? ?成立的实数 a,b,c,d 的值. b??d? ?4? ?3 b??0? ?3? 2??0? ?2? ?? ?=? ?, b??d? ?4?

?a 7.求使? ?3 【解】 ?a ? ?3

?a ∵? ?3

2??c ? ?1? ?? ?=? ?, b??0? ?3? 2d=2,

?bd=4, ∴? ac=1, ?3c=3,
?1 8.如果矩阵? ?1 【解】 ?1 ? ?1

?b=4, 解得? c=1, ?d=1.
a=1, -1? ?对应的变换把点 A 变成点 A′(2,1),求点 A 的坐标. 2 ?

设 A(x,y),由题意知

-1??x? ?2? ?? ?=? ?, 2 ??y? ?1?

?x-y ? ?2? ?=? ?, 即? ?x+2y? ?1? ?x-y=2, ∴? ?x+2y=1, 5 x = ? ? 3, 解得? 1 y =- ? ? 3, 1? ?5 ∴A?3,-3?. ? ? 9.设矩阵 M 对应的变换把点 A(1,6)变成 A′(4,3),把点 B(-1,2)变成点 B′(2,5),求矩阵 M.

【解】

?a b? ?,由已知, 设 M=? ?c d ?

?a b??1? ?4? ?? ?=? ?, 得? ?c d ??6? ?3? ?a+6b=4, ? ?c+6d=3. ① ②

?a b??-1? ?2? ?? ?=? ?, 又由? ?c d ?? 2? ?5? ?-a+2b=2, 得? ?-c+2d=5. 1 a =- ? ? 2, 由①③得? 3 ? ?b=4. ?c=-3, 由②④得? ?d=1. ? 1 -2 ∴M=? ? ? -3 3 ? 4 ?. ? 1? ③ ④

10.在△ABC 中,A(3,2),B(3,-2),C(6,4),若矩阵 M 对应的变换把点 A 变成 A′(2,-3),把点 B 变成 B′(1,2),点 C 变成 C′,求变换后直线 A′C′ 所在直线方程. 【解】 ?a b? ?, 设 M=? ?c d ?

?a b??3? ? 2? ?a b?? 3? ?1? ?? ?=? ?,? ?? ?=? ?. 则? ?c d ??2? ?-3? ?c d ??-2? ?2?

?3c+2d=-3, ∴? 3a-2b=1, ?3c-2d=2.
3a+2b=2,

a= , ? ? 2 1 ?b=4, ∴? 1 c=-6, ? ? ?d=-5 4.

1

? 1 ? 2 ∴M= ?-1 ? 6 ? 1 ? 2 ∴ ?-1 ? 6

1 4? ?. 5? -4?

1 4? 6? ? 4? ?? ? ?=? ?. 5 ?4? ?-6? -4? ?

∴C′(4,-6). ∴直线 A′C′的方程为 y+3= 即 3x+2y=0. -6+3 ×(x-2), 4-2


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