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安庆一中、合肥六中2013-2014学年高二下学期期末联试文科数学试题


安庆一中合肥六中联考高二年级 2013-2014 学年度 第二学期期末考试数学(文科)试题
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、已知集合 A ? x x ? 0 ,且 A A. ?1,2,3,4,5? C.

?

?

B ? B ,则集合 B 可以是(



B. y y ?
2
x D. x y ? e

?

x

?

?? x, y ? y ? x , x ? R?
B. 1

?

?
1 4

2、计算 ? log5 4 ? ? ?log16 25 ? ? ( A. 2 C.



3、若 sin ? ? 3cos ? ,则 A.2 B.3

sin 2? ?( cos 2 ?
C.4

1 2
) D.6

D.

4、设 a ? 0 ,则函数 y ? x ? x ? a ? 的图像大致形状是(



y

y

y

y

O
A

a

x

O
B

a

x
O
C

a

x
O
D


a

x

5、设直线 m, n 和平面 ?、? ,下列四个命题中,正确的是( A.若 m // ? , n // ? , 则m // n C.若 ? ? ? , m ? ? , 则m ? ?

B.若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? , 则? // ? D.若 ? ? ? , m ? ? , m ? ? , 则m //?

6、如图, P 是 ?ABC 所在的平面内一点,且满足 BA ? BC ? 点,则( A. BA ? EC C. BA ? BC ? DP ) B. PA ? PC ? 4BD D. PA ? PC ? BC ? BA

2 BP , D, E 是 BP 的三等分 3

7、如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的体积是( A.



64 2 ? 3

B.

32 2 ? 3

C.

8 2 ? 3
1

D. 8?

P A D B
第 6 题图

2

2 1 侧视图

E
2

C

主视图 2

2
俯视图

2

第 7 题图 8、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? pn2 ? n ,其中 p ? R, n ? N ? ,且 a3 ? 4 .则( A. ?an ? 不是等差数列,且 p ? 1 C. ?an ? 不是等差数列,且 p ? ?1 B. )

?an ? 是等差数列,且 p ? 1

D. ?an ? 是等差数列,且 p ? ?1

?x ? y ?1 ? 0 ? 9、已知区域 D : ? x ? y ? 1 ? 0 的面积为 S ,点集 T ? ?? x, y ? ? D | y ? kx ? 1? 在坐标系中 ?3x ? y ? 3 ? 0 ?
对应区域的面积为 A.

1 S ,则 k 的值为( 2
C. 2 D. 3
2



1 3

B.

1 2

10、 已知函数 f ( x ) 与函数 g ? x ? ? ? x ? 1? 的图象关于 y 轴对称, 若存在 a ? R , 使 x ? ?1, m?

? m ? 1? 时, f ( x ? a) ? 4 x 成立,则 m 的最大值为(
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12



第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11、执行如图所示的程序框图,则输出 s 的值为_______________ 12、为了了解雾霾天气对城市交通的影响,调查组对 30 个城市进行了抽样调查,现将所有 城市从 0,1, 2,

, 29 随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本,已知 2 号,8

号,20 号,26 号在样本中,那么样本中还有一个城市的编号应是__________ 13、已知圆 C 的圆心是直线 x ? y ? 1 ? 0 与 x 轴的交点,且圆 C 被直线 x ? y ? 3 ? 0 所截得 的弦长为 4,则圆 C 的方程为 .

14、已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? 3a1 ,且 a4 ? 8 ,则 S10 ? _____________.
2

开始

k ? 1, s ? 1
k ? k ?1

k ? 5?
否 输出 s 结束



s ? 2s ? k

15、对于函数 f ( x) ? 2(sin x ? cos x) , 给出下列四个命题: ① 存在 ? ? ( ?

?

, 0) , 使 f (? ) ? 2 ;② 存在 ? ? (0, ) , 使 f ( x ? ? ) ? f ( x ? ? ) 恒成 2 2

?

立;③存在 ? ? R , 使函数 f ( x ? ? ) 的图象关于坐标原点成中心对称;④ 函数 f(x)的图象 关于直线 x ? ?

3? ? 对称;⑤ 函数 f(x)的图象向左平移 就能得到 y ? ?2cos x 的图象. 4 4

其中正确命题的序号是 . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解 答写在答题卡的指定区域内. 16、 (本题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x ? R? 满足 f (? x) ? f ( x) , f ( x) ? f (4 ? x) ,且

?1? 当 2 ? x ? 6 时, f ( x) ? ? ? ?2?

| x ? m|

?n.

(1)证明:函数 f ? x ? 是周期函数; (2)若 f (4) ? 31 ,求 m, n 的值. 17、 (本题满分 12 分) 某校 50 名学生参加 2013 年全国数学联赛初赛, 成绩全部介于 90 分到 140 分之间.将成绩结果 按如下方式分成五组:第一组 ?90,100? ,第二组
频率 组距

0.038 0.032

?100,110?,?,第五组 ?130,140?.按上述分组
方法得到的频率分布直方图如图所示. (1)若成绩大于或等于 100 分且小于 120 分认为是

0.016

0.008 0.006

良好的,求该校参赛学生在这次数学联赛中成绩良好 的人数;
O 90 100 110 120 130 140 分数

3

(2)若从第一、五组中共随机取出两个成绩,求这两个成绩差的绝对值大于 30 分的概率. 18、 (本题满分 12 分) 在锐角 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 2sin C ? 3sin A , tan A ? (1)求 cos B,cos C 的值; (2)若 2 BA ? BC ? 27 ,求 b 的值.

7 . 3

19、 (本题满分 13 分) 如图, BC 为圆 O 的直径, D 为圆周上异于 B 、 C 的一点,AB 垂直于圆 O 所在的平面,BE ? AC 于 点 E , BF ? AD 于点 F . (1)求证: BF ? 平面 ACD ; (2)若 AB ? BC ? 2 , ?CBD ? 45 , 求四面体 BDEF 的体积.

A

E F B C D

O

x 20 、( 本 题 满 分 13 分 ) 已 知 集 合 A ? x 2 ? 2 ? 8 , B ? ? x ?

?

?

? ? ? x ? 2 ? 0? ? ? , 2 ? ? ?x ? 9 ? ?

C ? ? x x 2 ? ax ? 9 ? 0?
(1)若 A C ? A ,求 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a 使得 B C ? ? ?若存在求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 21、 (本题满分 13 分) 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 5 , a3 ? 7 ,记数列 ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)是否存在正整数 m 、 n ,且 1 ? m ? n ,使得 S1 、 Sm 、 S n 成等比数列?若存在,求 出所有符合条件的 m 、 n 的值;若不存在,请说明理由.

? 1 ? ? 的前 n 项和为 S n . a a ? n n ?1 ?

4

安庆一中合肥六中联考高二年级 2013-2014 学年度 第二学期期末考试数学(文科)参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 B 5 D 6 C 7 C 8 B 9 A 10 C

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11、 ? 10 12、14
2 13、 ? x ? 1? ? y ? 6 2

14、341或80 15、③④ 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解 答写在答题卡的指定区域内. 16、 (1)∵ f ( x) ? f (4 ? x) ,∴ f (? x) ? f (4 ? x) ,又∵ f (? x) ? f ( x) , ∴ f (4 ? x) ? f ( x) ,函数 f ? x ? 是以 4 为周期的周期函数;???6 分

?1? (2)由(1)可知 f (2) ? f (6) ,∴ ? ? ?2?

|2? m|

?1? ?n ?? ? ? 2? ?1? ?2?
| x ? 4|

|6 ? m|

?n

∴ | 2 ? m |?| 6 ? m | ,从而 m ? 4 ,∴ f ( x) ? ? ?

? n ,又 f (4) ? 31 ,

?1? ∴? ? ?2?

|4 ? 4|

? n ? 31,∴ n ? 30 .???12 分

17、 (1)由频率分布直方图知,成绩在 ?100,120?内的人数为:

50 ? 0.16 ? 50 ? 0.38 ? 27 (人)
所以该班成绩良好的人数为 27 人. ???5 分 (2)由频率分布直方图知,成绩在 ?90,100? 的人数为 50? 0.06 ? 3 人,设为 x 、 y 、 z ; 成绩在 ?130,140?的人数为 50? 0.08 ? 4 人,设为 A 、 B 、 C 、 D . 若 m, n ? ?90,100? 时,有 xy , xz , yz 3 种情况; 若 m, n ? ? 130,140?时,有 AB , AC , AD , BC , BD , CD 6 种情况; 若 m , n 分别在 ?90,100? 和 ?130,140?内时,共有 12 种情况.
5

xA, xB, xC, xD, yA, yB, yC, yD, zA, zB, zC , zD
所以基本事件总数为 21 种,事件“ m ? n ? 30 ”所包含的基本事件个数有 12 种. ∴ P ( m ? n ? 30 ) ? 18、 (1)∵ tan A ? ∴ cos C ? ?

12 4 ? .???12 分 21 7

3 7 7 7 , sin A ? ,∵ 2sin C ? 3sin A ,∴ sin C ? , 8 3 4

1 1 ,∵ ?ABC 是锐角三角形, ∴ cos C ? , 8 8

∴ cos B ? ? cos( A ? C ) ? sin A sin C ? cos A cos C ? (2)∵ BA ? BC ? ca cos B ?

7 3 7 3 1 9 ? ? ? ? ;???6 分 4 8 4 8 16

9 27 a c ac ? ? ,∴ ac ? 24 ;又由正弦定理 ,得 16 2 sin A sin C

3 a ,解得 a ? 4 , c ? 6 ,∴ b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 25 , b ? 5 , 2 即边 AC 的长为 5. ???12 分 c?
19、 (1)证明:∵BC 为圆 O 的直径 ∴CD⊥BD ∵AB⊥圆 O 所在的平面 ∴AB⊥CD ∴CD⊥平面 ABD 又∵BF ? 平面 ABD 又∵BF⊥AD 且 AD ∴CD⊥BF CD=D 且 AB BD=B

∴BF⊥平面 ACD

???6 分

(2)法一:∵AB=BC= 2 ,∠CBD=45° ∴BD=CD= 2 ∵BE⊥AC ∴E 为 AC 中点 又∵CD⊥平面 ABD ∴E 到平面 BDF 的距离为

1 2 CD ? 2 2

在 Rt△ABD 中,由于 BF⊥AD

BD2 得 DF ? ? AD

? 2?
6

2

?

6 1 ? AD 3 3

∴ S?BDF ?

1 1 1 2 S?ABD ? ? ? 2 ? 2 ? 3 3 2 3

6

∴ VE ? BDF ?

1 2 2 1 ? ? ? ???13 分 3 3 2 9

法二:∵AB=BC= 2 ,∠CBD=45° ∴BD=CD= 2 ∵BE⊥AC ∴E 为 AC 中点 ∴E 到边 AD 的距离为

1 2 CD ? 2 2

在 Rt△ABD 中,由于 BF⊥AD,得 BF ?

AB ? BD 2 ? 2 2 3 ? ? AD 3 6

BD 2 DF ? ? AD
∴ VB ? DEF ?

? 2?
6

2

?

6 3

,由(1)知 BF⊥平面 DEF

1 ? BF ? S 3

DEF

1 2 3 1 6 2 1 ? ? ( ? ? ? ) ? 3 3 2 3 2 9

???13 分

20、 (1)因为 A

C ? A ,所以 A ? C , A ? ? x 2 ? 2 x ? 8? ? ?1,3? ,

? ? x ? 2 ? 0? ? ? B ? ?x ? 2 ? ? ? 2,3? , ? ? ?x ? 9 ? ?
法一:转化恒成立的不等式 也就是当 x ??1,3? 时,不等式 x ? ax ? 9 ? 0 恒成立,即
2

a ? x?

9 9 恒成立,令 h ? x ? ? x ? ,则 x ??1,3? 时 h ? x ? 为减函数,故 6 ? h ? x ? ? 10 ,所 x x

以 a ? 10 ,即 a ??10, ??? ;???7 分 法二:数形结合 令 f ? x ? ? x ? ax ? 9 ,则 ?
2

? ? f ?1? ? 0 ,得 a ??10, ?? ? ;???7 分 f 3 ? 0 ? ? ? ?
9 x

(2) 因为 B ? ? 2,3? , 所以要使 B 能成立,只要 m ? ? x ?

2 C ? ?, 只要 x ? ax ? 9 ? 0 能成立, 也就是 m ? x ?

? ?

9? ? 即可,由(1)知 a ? 6 ,即 a ??6, ??? .???13 分 x ?min

21、 (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d , 因为 ?

?a1 ? a2 ? 5, ?2a1 ? d ? 5, ?a1 ? 1, 即? 解得 ? ?d ? 3. ?a1 ? 2d ? 7. ?a3 ? 7.
*

所以 an ? 1 ? 3? n ?1? ? 3n ? 2 .数列 ?an ? 的通项为 an ? 3n ? 2 (n ? N ) .???5分

7

(2)因为

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?, an an?1 ? 3n ? 2 ?? 3n ? 1? 3 ? 3n ? 2 3n ? 1 ?
? 1 1 ? an?1an an an?1

所以数列 ?

? 1 ? 1 1 1 ? ? ? ? 的前 n 项和 Sn ? a1a2 a2 a3 a3a4 ? an an ?1 ?

1? 1? 1? 1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 4 ? 3 ? 4 7 ? 3 ? 7 10 ? 1? 1 ? n . ? ?1 ? ?? 3 ? 3n ? 1 ? 3n ? 1

1? 1 1 ? 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? 3 ? 3n ? 5 3n ? 2 ? 3 ? 3n ? 2 3n ? 1 ?

假设存在正整数 m 、 n ,且 1 ? m ? n ,使得 S1 、 Sm 、 S n 成等比数列, 则 Sm
2

n ? m ? 1 . ? S1Sn .即 ? ? ? ? ? 3m ? 1 ? 4 3n ? 1
4m 2 2 2 .因为 n ? 0 ,所以 ?3m ? 6m ? 1 ? 0 .即 3m ? 6m ? 1 ? 0 . 2 ?3m ? 6m ? 1

2

所以 n ?

因为 m ? 1 ,所以 1 ? m ? 1 ?

2 3 ? 3 .因为 m ? N* ,所以 m ? 2 . 3

此时 n ?

4m 2 ? 16 . ?3m2 ? 6m ? 1

所以存在满足题意的正整数 m 、 n ,且只有一组解,即 m ? 2 , n ? 16 . ???13 分

8


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