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等比数列求和教案


课题:等比数列的前 n 项和(一课时) 教材:浙江省 职 业 学 校 文 化 课 教 材《数学》下册 (人民教育出版社) 一、教材分析 ● 教学内容
《等比数列的前 n 项和》是中职数学人教版(基础模块) (下)第六章《数 列》第四节的内容。是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看, 它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型,在现实生活中有着广泛 的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类 比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中 必备的数学素养.就内容的人文价值来看,等比数列的前 n 项和公式的探究与推 导需要学生观察、归纳、猜想、证明,这有助于培养学生的创新思维和探索精神, 同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体.

二、学情分析 ● 知识基础:前几节课学生已学习了等差数列求和,等比数列的定义及通项
公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.

● 认知水平与能力: 高二学生具有自主探究的能力,能在教师的引导下独
立、合作地解决一些问题,但从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数 列前 n 项和公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导.不 利因素是:本节公式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导有所不同,这对学生 的思维是一个突破,另外,对于 q ? 1 这一特殊情况,学生也往往容易忽略,尤 其是在后面使用的过程中容易出错.

三、目标分析
依据教学大纲的教学要求,渗透新课标理念,并结合以上学情分析,我制 定了如下教学目标:

1.教学目标
1

● 知识与技能目标
理解用错位相减法推导等比数列前 n 项和公式的过程,掌握公式的特点,并 在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题.

● 过程与方法目标
通过对公式的研究过程,提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、 分析的能力和协作、竞争意识。

● 情感、态度与价值目标
通过学生自主对公式的探索,激发学生的求知欲,鼓励学生大胆尝试、勇于 探索、 敢于创新, 磨练思维品质, 培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神, 感受数学的美。

2.教学重点、难点 ● 重点:等比数列前 n 项和公式的推导及公式的简单应用. ● 难点:错位相减法的生成和等比数列前 n 项和公式的运用.
突破难点的手段:“抓两点,破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点, 激发他们的兴趣,鼓励学生大胆猜想、积极探索,并及时给予肯定;二抓知识的 切入点, 从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手,教师在学生主体下给予 适当的提示和指导.

四、教学模式与教法、学法
根据学生的认知特点,本着学生为主体教师为主导的原则采用多元教学法,让学生至于 情景中。学生动手操作实践分组讨论探究,而教师重在启发,引导。基于教学平台和数学软 件让学生可观,可感,可交流的环境中轻松的学习。

五、教学过程
教学过程
教学 环节 一、 课前 成果 展示 教学内容 一、 课前学生展示: (1)庄子语录:一尺之捶,日取其半,万世不竭 问 8 天去多少? (2)微商:1 人发朋友圈,3 人转发,3 人之后又 学生活动 学生分组派代表 展示, 并在辅助黑板 上转换成两个求和 的式子 设计意图 让学生带着问题进入 课堂, 激发学生求知欲 望, 而就身边的事例引 入课堂激发学生兴趣。

2

分享

9 人转发,那么依次转发到 n 次,问有多少人转发 了朋友圈。 动手实验的引入, 引出 课题的同时激发学生 的兴趣, 调动学生主动 性. 实验内容紧扣本节 课的主题与重点. 留出时间让学生充分 地思考、讨论.用错位 相减法推导等比数列 前 n 项和公式的关键 是变“加”为“减”, 在教师看来这是 “天经 地义”的,但在学生看 来却是 “不可思议” 的, 因此教学中应着力在 这儿下功夫, 让学生经 过思考讨论, 教师引导 类比倒序相加求和的 本质, 运用数学中重要 的转化思想, 通过构造 法发现上述解法, 让学 生在探索过程中, 充分 感受到成功的乐趣, 从 而增强学习数学的兴 趣和学好数学的信心, 同时这也是培养学生 辩证思维能力的良好 契机.

二、 探 究 归 纳 10mi n

1、问题探究 【撕纸实验】 课前每位同学人手准备一张报纸,第一小组不 撕。其他组同学将报纸第一次对折,每组中一名同 学不撕,其他组员对折撕开,第二次对折,还是每 一组中一名组员不再撕了,其他组员对折撕开,重 复上面循环到最后组里第五个。 那么每组有多少片 纸? 探究:如何求和 第一组: 1+1+1+1+1=5 其他每组有: 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? 31 问题延伸: 如果全班 30 人一起做这样的实验那么我们能得 到多少张纸片? 共有: 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? ? ? 229 ? S30 【教师提问】 (1)能否逐一相加得结果? (2)那有什么简单方法? 引导学生回忆: 等差数列求和的重要方法是倒 序相加法,剖析倒序相加法的本质即整体设元,构 造等式,利用方程的思想化繁为简,把不易求和的 问题转化为易于求和的问题, 从而求和的实质是减 少了项.那现在用这种办法还行吗?若不行,那该 怎样简化运算?能否类比倒序相加的本质, 根据等 比数列项之间的特点,也构造一个式子,通过两式 运算来解决问题? 探讨 1、 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? ? ? 229 ? S30 ,

课堂中学生动手实 验参与其中。

学生积极探究, 解决 情境

记为(1)式,注意观察每一项的特征,有何联系? (学生会发现,后一项都是前一项的 2 倍) 探讨 2: 如果我们把每一项都乘以 2,就变成了它的后一 项 , ( 1 ) 式 两 边 同 乘 以 2 则 有 2 ? 22 ? 23 ? ? ? ? ? 229 ? 230 ? S30 ,记为(2) 学生观察、思考 式.比较(1)(2)两式,你有什么发现? 老师强调指出:这就是错位相减法,并要求学生纵观全过 程,反思:为什么(1)式两边要同乘以 2 呢? 解决情境问题: 经过 比较、研究,学生发 现:(1)、(2)两 式有许多相同的项, 把两式相减, 相同的 项就可以消去了. 2、归纳 这时我再顺势引导学生将结论一般化, 设等比 数列为 在教师的指导下,让学生从 特殊到一般,从已知到未 知,步步深入,让学生自己 探究公式,从而体验到学习 的愉快和成就感。

学生推导公式

二、 探 究 归 纳 形

?an ?,公比为 q,如何求它的前 n 项和?

让学生自主完成,然后对个别学生进行指导。 一 般 等 比 数 列 前 n 项 和 :

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? L L ? an?1 ? an ? ?
即 S n ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ?a1q n?2 ? a1q n?1 ? ? 错位相减法

突破重点,达成课堂初

3

成 公 式 7min

2 n?2 ? ? a1q n?1 ?S n ? a1 ? a1q ? a1q ? ? a1q ? 2 3 n ?1 ? ? a1q n ?qSn ? a1q ? a1q ? a1q ? ? a1q

步目标

a1 (1 ? q n ) 1? q 这里的 q 能不能等于 1?等比数列中的公比能 不能为 1?q=1 时是什么数列?此时 sn=? ? (1 ? q) S n ? a1 ? a1q n ?

? a1 (1 ? q n ) ? ? Sn ? ? 1 ? q ? na ? ? 1

q ?1 q ?1

在学生推导完成之后,老师再问:由

(1 ? q)Sn ? a1 ? a1q n 得 S n ?
三、 性 质 探 究 8min 当 时 1. 等比数列的前 n 项和公式:

a1 ? a1q n 1? q
以疑导思, 激发学生的 学生分组讨论, 得出 探索欲望, 营造一个让 学生主动观察、思考、 讨论的氛围.对学生的 思维发展有促进作用。 认知数学的严谨性, 。 成果汇总, 师生再得 出公式特征

当 q=1 时,

2.公式特征: ⑴等比数列求和时,应考虑 情况。 ⑵当 时, 等比数列前 n 项和公式有两种形式, 与 两种

分别都涉及四个量,四个量中“知三求一” 。 ⑶等比数列通项公式结合前 n 项和公式涉及五个 量, ,

五个量中“知三求二”(方程思想) 。 3.等比数列前 n 项和公式推导方法:错位相减法。

四、 尝 试 应 用 11mi n

再次呈现生活实例 庄子语录:一尺之捶,日取其半,万世不竭 问 n 天取共取多少?

解决预设问题增强 学习激情, 解决问题 更增强学习信心, 同

【多媒体动画演示】 时课堂反馈。 宰相西萨曾发明了象棋, 国王十分高兴, 决定重重的奖赏他。国王说; “无论你说出 什么要求,我都想法满足你。 ”他回答说; “我想请您在有 64 个格子的棋盘的第 1 个 给我 1 粒麦子, 在第 2 个格子上赐给我 2 粒, 第 3 个格子上赐给我 4 粒, 第 4 个格子上赐 给我 8 粒, 第 5 格 16 粒....照这样,每一格 是前面一格的 2 倍,赐给我满 64 格的麦子, 臣就心满意足了。 ”那么西萨一共可以得多
4

三个实例“知三求一” 数学源于生活服务于 生活,对事例的解决, 即解答了学生课前的 疑惑, 促进学生的学习 欲望, 使得内容更加衔 接紧密。

情景剧是同学们课前 精心准备的, 并拍成了 视频, 视频的拍摄培养 了学生的课堂参与积

少麦子呢?
【播放情景剧】 (2)话说八戒自西天取经回到高老庄,从高原外 手里接下高老庄集团,摇身变成了 CEO。可是好景 不长,因资金周转不灵而陷入窘境,需要大量资金 投入,于是就找送悟空帮忙。悟空一口答应: “行! 我每天投资 100 万元,连续一个月(30 天) ,但是 有一个条件作为回报, 从投资的第一天起必须返还 我 1 元,第二天返还 2 元,第三天返还 4 元…即后 一天返还数是前一天的 2 倍。 ”八戒听了,心里打 起了小算盘: “第一天:支出 1 元,收入 100 万; 第二天:支出 2 元,收入 100 万;第三天:支出 4 元,收入 100 万…哇,发财了! ”他越想越美。再 看看悟空的表情,心里又嘀咕了: “这猴子老是欺 负我,会不会又在耍我。 ”

极性团队合作, 同时更 能直观的体现问题出 处。 本题的设计是初步 对公式的应用。

“知三求一” 的解题思 路。 采用变式教学设计 题组, 深化学生对公式 的认识和理解, 通过直 接套用公式、 变式运用 公式、 研究公式特点这 三个层次的问题解决, 促进学生新的数学认 知结构的形成. 通过以 上形式, 让全体学生都 参与教学, 以此培养学 生自主学习的意识. 解 题时,以学生分析为 主,教师适时给予点 拨。

拓展延伸: 微商:1 人发朋友圈,3 人转发,3 人之后又 9 人转 发,那么依次转发到 8 次,问共有多少人发了朋友 圈,第 8 次有多少人同时在转发?

例题:若 a1 =—15, a4 =96,求 q 及 S 4 , 若 a3

1 1 ? 1 , S3 ? 4 2 2

,求 a1 及 q

学生自主完成, 教师 反馈。

拓展延伸是对问题的 升华, 同时是“知三求 二”的解题演练。

引导学生从知识、方法、思想三个方面进行总 五、 总 结 归 纳 加 深 理 解 3min 结. 本环节由学生自主归纳、总结,教师加以补充、 强调.(多媒体演示)

学生: (1)回顾从特殊到 一般,一般到 特殊的探究方 法. ( 2 )体会等比数列 前 n 项和公式 的基本元表示 方法、错位相 减的算法。 ( 3 )掌握等比数列

剖析公式中的基本 量及结构特征, 识记公 式, 同时也培养学生分 类讨论的数学思想.

5

的求和公式及 简单应用.

八、 分 层 作 业 强 化 知 识 1min

课后作业: 1、 “远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请 问尖头几盏灯?”这首中国古诗的答案是多少? 2、观看讨论群中有几何画板绘制的等比数列公式 和的图像,和函数有着怎么样的关联。

自主完成作业

作业进一步巩固了本节 课知识,拓展了学生数 学视野,而 1 和 2 设计 体现了不同的人在数学 上得到不同的发展的新 课标教学理念.

板书设计:

等比数列的前 n 项和
一、公式的推导 错位相减法

学生小组评分:

生活实例

Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ?? a1qn?1

qSn ?

a1q ? a1q2 ? a1q3 ? ?? a1qn

学生板演

?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1) ?

(主板书)

辅助板

六、教学反思
根据教学经历和学生的反馈信息,我对本课有如下几点反思: (1) 在教学过程中,我重点突出了学生活动,设计了四个活动环节:(1) 公式的探究活动;(2)公式的应用;(3)方法的拓展;(4)学生课后 的拓展学习.根据实际教学情况,学生掌握本课知识较好. (2) 本节课处处站在学生的立场上去对待问题的发现和处理,在富有启 发性的问题下,学生通过积极的思维,完成了对公式的自主探究, 同时注意对重、难点知识采用“欲扬先抑”的方法,让学生在错误 中感悟,在争论中抓住问题的本质;在公式的应用后,学生的思维 又得到了进一步的发展和提高.
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(3) 本节课特别强调对学生数学思想、方法的渗透贯彻了新课程的理念. (4) 本节课充分利用了多媒体技术的强大功能,把现代信息技术作为学 生学习、解决问题的强有力工具,使学生乐意投入其中. (5) 在推导等比数列前 n 项公式过程中,大多数学生忽略了对 q =1 的讨 论,这反映出学生的思维严谨性还有待在以后的教学中注意加强.本 节课实例的讲解是数学建模的引入。

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