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江西省新余一中、宜春一中2017届高三7月联考理数试题Word版含答案.doc


数学(理)试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.复数

2?i 的共轭复数为( 1 ? 2i

) D. i

3 3 B. i C. ? i 5 5 2. “ p ? q 是假命题”是“ ? p 为真命题”的( )
A. ? i A.充分不必要条件 C.充要条件
1 2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.给定函数① y ? x ② y ? log 1 ? x ? 1? ③ y ? x ?1 ④ y ? 2x?1 ,其中在区间 ? 0,1? 上单调
2

递减的函数序号是( A.①②

) B.②③ C.③④ D.①④ )

4. a , b 是两个向量, a ? 1, b ? 2 且 ? a ? b? ? a ,则 a 与 b 的夹角为( A. 30 ? B. 60 ? C. 120?

D. 150?

5.若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,其中左视图是一个边长为 2 的正三角形, 则这个几何体的体积是( A. 2cm
2

) B. 3cm
3

C. 3 3cm

3

D. 3cm

3

6 . 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 Sn , 且 a1 ? a2 ?10, a3 ? a4 ? 26, 则 过 点 P ? n, an ? 和

Q ? n ? 1, an ? 2 ? ? n ? N * ? 的直线的一个方向向向量是(
A. ? ? , ?2 ?

)

? 1 ? 2

? ?

B. ? ?1, ?2?

C. ? 2,

? ?

1? ? 4?

D. ? ? , ?4 ?

? 1 ? 2

? ?

7.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果是( A. ? 3 B.0 C. 3

) D. 336 3

8.某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢 4 个红包,每人最多抢一个,且红包被 全部抢光,4 个红包中有两个 2 元,两个 3 元(红包中金额相同视为相同的红包) ,则甲乙 两人都抢到红包的情况有( A.35 种 9.设函数 f ) C.18 种 D.9 种

B.24 种

? x? ? sin?? x? ?? ?
)

?? cos ? ? x? ?? ? ? ?? 0,?? ? 的 最 小 正 周 期 为 ? , 且 2? ?

f ? ? x? ? f ? x ? ,则(
A. f ? x ? 在 ? 0, C. f ? x ? 在 ? 0,

? ?

?? ??

? 单调递减 2?

B. f ? x ? 在 ?

? ? 3? , ?4 4

? ? 单调递减 ?

? ?

? ? 3? ? 单调递增 D. f ? x ? 在 ? , 2? ?4 4

? ? 单调递增 ?

10.把周长为 1 的圆的圆心 C 放在 y 轴,顶点 A ? 0,1? ,一动点 M 从 A 开始逆时针绕圆运 动一周,记走过的弧长 ? AM ? x ,直线 AM 与 x 轴交于点 N ?t,0? ,则函数 t ? f ? x ? 的大 致图像为( )

A.

B.

C.

D.

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 11.设 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by (其中 a ? 0, b ? 0 ) ?y ? 0 ?
的最大值为 3,则 A.1 12.点 F ? c,0? 为双曲线

1 2 ? 的最小值为( a b
B.2

) C .3 D.4

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点,点 P 为双曲线左支上一点, a 2 b2
)

2 ??? ? ??? ? c? b2 ? 线段 PF 与圆 ? x ? ? ? y 2 ? 相切于点 Q ,且 PQ ? 2QF ,则双曲线的( 3? 9 ?

A. 2

B. 3

C. 5

D.2

二、填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分 13.已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ??? 单调递减, f ? 2? ? 0 ,若 f ? x ?1? ? 0 ,则 x 的取值集合 是______.
a ? a ? ? x ? 展开式的常数项为 15,则 ? x2 ? x ? 1 ? x2 dx ? ______. 14.已知 a ? 0, ? ?a ? x ?
6

?

?

15.把半径为 2 的圆分成相等的四弧,再将四弧围成星形放在半径为 2 的圆内,现在往该圆 内任投一点,此点落在星形内的概率为______.

16.已知函数 f ? x ? ? x ? ln x ? ax ? 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是______. 三、解答题(解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. ) 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别为内角 A 、 B 、 C 的对边,且满足

cos 2 A ? 2sin 2 B ? 2sin 2 C ? 2 3 sin B sin C ? 1 .
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 b ? 3, c ? 4 ,求 ?ABC 的外接圆的面积. 18. (本小题满分 12 分) 下图为某校语言类专业 N 名毕业生的综合测评成绩(百分制)分布直方图,已知 80 ? 90 分 数段的学员数为 21 人. (Ⅰ)求该专业毕业总人数 N 和 90 ? 95 分数段内的人数 n ; (Ⅱ)现欲将 90 ? 95 分数段内的 6 名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校,若向学校甲分配 两名毕业生,且其中至少有一名男生的概率为 数均至少两人) . (Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下,设随机变量 ? 表示 n 名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生 的人数,求 ? 的分布列和数学期望 E ?? ? .

3 ,求 n 名毕业生中男、女各几人(男、女人 5

19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,且 AC ? BD ,平面 PAD ? 平面

ABCD , E 为 PD 的中点.
(Ⅰ)证明: PB ? 平面 AEC ; (Ⅱ)在 ?PAD 中, AP ? 2, AD ? 2 3, PD ? 4 ,三棱锥 E ? ACD 的体积是 3 ,求二 面角 D ? AE ? C 的大小.

20. (本小题满分 12 分)

已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 右焦点为 F ? 2,0? , M 为椭圆的上顶点, O 为坐标原点, a 2 b2

且 ?MOF 是等腰直角三角形. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过点 M 分别作直线 MA, MB 交椭圆于 A, B 两点,设两直线的斜率分别为 k1 , k2 ,且

? 1 ? k1 ? k2 ? 8 ,证明:直线 AB 过定点 ? ? , ?2 ? . ? 2 ?
21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ?

ab ln x 1 , g ? x ? ? ? x ? ? a ? b ? (其中 e 为自然对数的底数, a, b ? R 且 x 2

a ? 0) ,曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线方程为 y ? ae ? x ?1? .
(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)若对任意 x ? ? , ?? ? , f ? x ? 与 g ? x ? 有且只有两个交点,求 a 的取值范围. 请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清 题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,一直曲线

?1 ?e

? ?

? ? x ? ?2 ? ? 2 C : ? sin ? ? 2a cos? ? a ? 0? ,过点 P ? ?2, ?4? 的直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ?
为参数) , l 与 C 分别交于 M , N . (Ⅰ)写出 C 的平面直角坐标系方程和 l 的普通方程; (Ⅱ)若 PM , MN , PN 成等比数列,求 a 的值. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ?

2 t 2 ( t 2 t 2

4 ? x ? m ? m ? 0? . m

(Ⅰ)证明: f ? x ? ? 4 ;

(Ⅱ)若 f ? 2 ? ? 5 ,求 m 的取值范围.

江西省新余一中、宜春一中 2017 届高三 7 月联考数学(理)试题 参考答案
1-5.CABCB 13. ? ?1,3? 6-10.DBCAD 14. 11-12.CC 15.

2 ? ? 3 2
2

4

?

?1
2

16. ? 0, ?

? ?

1? 2?

17.解: (Ⅰ)∵ cos 2 A ? 2sin B ? 2sin C ? 2 3 sin B sin C ? 1 , ∴ sin B ? sin C ? sin A ? 3 sin B sin C
2 2 2

由正弦定理得 b ? c ? a ? 3bc
2 2 2

由余弦定理得 cos A ? 又 ∵

b2 ? c 2 ? a 2 3 , ? 2bc 2
0? A??
, ∴

A?

?
6

?????????????????????????????????6 分

(Ⅱ)∵ a ? b ? c ? 2bc cos A ? 3 ? 16 ? 2 ? 3 ? 4 ?
2 2 2

3 ?7, 2

∴a ?

7
a 7 ? ?2 7, 1 sin A 2

由正弦定理得 2 R ?

18.解: (Ⅰ) 80 ? 90 分数段的毕业生的频率为 P 1 ? ? 0.04 ? 0.03? ? 5 ? 0.35 , 此分数段的学员总数为 21 人,所以毕业生的总人数 N ?

21 ? 60 0.35

P 2 ? 1 ? ? 0.01 ? 0.04 ? 0.05 ? 0.04 ? 0.03 ? 0.01? ? 5 ? 0.1 ,
所 以

9 ?

0

分 9

数5











n ? 60 ? 0.1 ? 6 .????????????????????????4 分
(Ⅱ) 90 ? 95 分数段内共 6 名毕业生,设其中男生 x 名,则女生 6 ? x 名. 设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件 A ,
2 C6 3 x 则 P ? A? ? 1 ? ? , ? ,解得 x ? 2 或 9(舍去) 2 C6 5



6

















2









4

人.???????????????????????????8 分 (Ⅲ) ? 表示 n 名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数, 所以 ? 的取值可以为: 0,1, 2 . 当 ? ? 0 时, P ?? ? 0 ? ?
3 C4 1 ? ; 3 C6 5

当 ? ? 1 时, P ?? ? 1? ?

1 2 C2 C4 3 ? ; 3 C6 5 2 1 C2 C4 1 ? . 3 C6 5

当 ? ? 2 时, P ?? ? 2 ? ? 所以 ? 的分布列为

?
P ?? ? k ?
所 以 随

0

1

2

1 5
机 变 量

3 5

1 5

?













1 3 1 E ?? ? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 .????????????????12 分 5 5 5
19.解: (Ⅰ)连结 BD 交 AC 于点 O ,连结 EO . 因为 ABCD 是平行四边形,所以 O 为 BD 的中点. 又 E 为 PD 的中点,所以 EO ? PB .

EO ?





AEC



PB ?





AEC







PB ?





AEC .?????????????????5 分
(Ⅱ)因为在 ?PAD 中, AP ? 2, AD ? 2 3, PD ? 4 ,

2 2 2 所以 AP ? AD ? PD ,所以 ?PAD ? 90? ,∴ PA ? AD .

又因为平面 PAD ? 平面 ABC ,所以 PA ? 平面 ABC , 在平行四边形 ABCD 中, AC ? BD ,所以 ABCD 为矩形,所以 AB, AD, AP 两两垂直.

如图,以 A 为坐标原点, AB 的方向为 x 轴的正方向, AP 为单位长,建立空间直角坐标 系 A ? xyz , 因为 E 为 PD 的中点,所以三棱锥 E ? ACD 的高为

??? ?

??? ?

1 , 2 1 1 ? ? 2 3 ? m ?1 ? 3 , 解 得 3 2

设 AB ? m ? m ? 0? , 三 棱 锥 E ? A C D 的体积V ?

m?3? AB .
则 A ? 0, 0, 0 ? , D 0, 2 3, 0 , E 0, 3,1 , AE ? 0, 3,1 , 设 B ?3,0,0? ,则 C 3, 2

?

?

? ? ? ? ? 3, 0 ? , AC ? ? 3, 2 3, 0 ? .

??? ?

设 n1 ? ? x, y, z ? 为平面 ACE 的法向量,

???? ?3x1 ? 2 3 y1 ? 0, ? n1 ? AC ? 0, ?2 3 ? ? ? , ? 1, 3 则? ,即 ? 可取 n1 ? ? ??? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? n1 ? AE ? 0 ? 3 y1 ? z1 ? 0,
又 n2 ? ?1,0,0? 为平面 DAE 的法向量,

2 3 n1 ? n2 1 ? 3 ? , 由题设 cos n1 , n2 ? n1 n2 4 3 2 3
即 二 面 角

D?

? A

E 的

大C





60 ? .????????????????????????????12 分
20.解: (Ⅰ)由 ?MOF 是等腰直角三角形,得 c ? b ? 4, a ? 8 ,
2 2 2













x2 y 2 ? ? 1 .???????????????????????????????? 4 8 4
分 (Ⅱ) (1)若直线 AB 的斜率存在,设 AB 方程为 y ? kx ? m ,依题意 m ? ?2 . 设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 由? 8 得 ?1 ? 2k ? x ? 4kmx ? 2m ? 8 ? 0 . 4 ? y ? kx ? m ?
则 x1 ? x2 ? ?

4km 2m 2 ? 8 , x x ? . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

由已知 k1 ? k2 ? 8 ,可得

y1 ? 2 y2 ? 2 ? ?8, x1 x2

所以

mk 1 kx1 ? m ? 2 kx2 ? m ? 2 ? 4 ,整理得 m ? k ? 2 . ? ? 8 .所以 k ? m?2 2 x1 x2

故直线 AB 的方程为 y ? kx ?

1 1? ? k ? 2 ,即 y ? k ? x ? ? ? 2 . 2 2? ?

所以直线 AB 过定点 ? ? , ?2 ? . (2)若直线 AB 的斜率不存在,设 AB 方程为 x ? x0 , 设 A? x0 , y0 ? , B ? x0 , ? y0 ? ,由已知

? 1 ? 2

? ?

1 y0 ? 2 ? y0 ? 2 ? ? 8 ,得 x0 ? ? , 2 x0 x0

此时 AB 方程为 x ? ? 综 上

1 ? 1 ? ,显然过点 ? ? , ?2 ? . 2 ? 2 ?
直 线



AB







? 1 ? ? ? , ?2 ? .????????????????????????????12 分 ? 2 ?
21 . 解 : ( Ⅰ ) 由

f ? x? ?

ab ln x x





f ?? x? ?


ab ?1 ? ln x ? ,?????????????????1 分 x2
题 意 得

f ? ?1? ?
?2 分 ∵

?

,??????????????????????????????? a b

a

a?0





b ? e ;??????????????????????????????????? 3
分 (Ⅱ) 令 h ? x? ? x f ? x? ? g ? x? ?

?

?

1 2 ?1 ? x ? ? a ? e ? x ? ae ln x , 则任意 x ? ? , ?? ? , f ? x ? 2 ?e ?

与 g ? x ? 有 且 只 有 两 个 交 点 , 等 价 于 函 数 h ? x ? 在 ? , ?? ? 有 且 只 有 两 个 零 点 , 由 ?e ?

?1

?

h ? x? ?

1 2 x ? ? a ? e ? x ? ae ln x 2





h? ? x ? ?

? x ? ??
x

?

a x ? ,????????????????????????????

e

?????5 分 ①当 a ?

1 1 时,由 h? ? x ? ? 0 得 x ? e ,由 h? ? x ? ? 0 得 ? x ? e , e e

此时 h ? x ? 在 ? , e ? 上单调递减,在 ? e, ??? 上单调递增, ∵ h ?e? ?

?1 ?e

? ?

1 2 1 e ? ? a ? e ? e ? ae ln e ? ? e 2 ? 0 , 2 2

1 1 1 2? ? (或 h ? e2 ? ? e4 ? ? a ? e ? e2 ? ae ln e ? ? e ? e ? 2 ? ? e2 ? 2a ? ? e ? e ? 2 ? ? e2 ? ? ? 0 , 2 2 2 e? ?
当 x ??? 时, h ? x ? ? 0 亦可) ,∴要使得 h ? x ? 在 ? , ?? ? 上有且只有两个零点,则只需
2 2 1 a?e 1 ?1 ? 2e ? ? 2e ?1 ? e ? a ?1? h? ? ? 2 ? ? ae ln ? ?0 e e 2e 2 ? e ? 2e

?1 ?e

? ?





1 ? 2e 2 a? ,????????7 分 2e ?1 ? e 2 ?

②当

1 1 ? a ? e 时, 由 h? ? x ? ? 0 得 ? x ? a 或 x ? e , 由 h? ? x ? ? 0 得 a ? x ? e , 此时 h ? x ? e e

在 ? a, e ? 上单调递减,在 ? , a ? 和 ? e, ??? 上单调递增. 此时 h ? a ? ? ? ∴ 此 时

?1 ?e

? ?

1 2 1 1 a ? ae ? ae ln a ? ? a 2 ? ae ? ae ln e ? ? a 2 ? 0 , 2 2 2

h ? x? 在

?1 ? , ?? ? ? ?e ?

至 多 只 有 一 个 零 点 , 不 合 题

意,????????????????????9 分 ③当 a ? e 时,由 h? ? x ? ? 0 得

1 ? x ? e 或 x ? a ,由 h? ? x ? ? 0 得 e ? x ? a ,此时 h ? x ? 在 e

1 2 ?1 ? ? , e ? 和 ? a, ??? 上单调递增,在 ? e, a ? 上单调递减,且 h ? e ? ? ? 2 e ? 0 , ?e ?


h ? x?



?1 ? , ?? ? ? ?e ?

























意,?????????????????????11 分 综 上 所 述 ,

a













? 1 ? 2e2 ? ? ??, ? .???????????????????????12 分 2 ? 2 e 1 ? e ? ? ? ? ?
22.解: (Ⅰ)曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 2ax ? a ? 0? ;
2



线

l













x ? y ? 2 ? 0 .?????????????????????????????4 分
(Ⅱ)将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立,得

t 2 ? 2 ? 4 ? a ? 2t ? 8 ? 4 ? a ? ? 0 ? ??

? ? 8a ? 4 ? a ? ? 0 .
设点 M , N 分别对应参数 t1 , t2 ,恰为上述方程的根. 则 PM ? t1 , PN ? t2 , MN ? t1 ? t2 . 由题设得 ? t1 ? t2 ? ? t1t2 ,即 ? t1 ? t2 ? ? 4t1t2 ? t1t2 .
2 2

由(*)得 t1 ? t2 ? 2 ? 4 ? a ? 2, t1t2 ? 8 ? 4 ? a ? ? 0 ,则有

?4 ? a?


2

? 5 ? 4 ? a ? ? 0 ,得 a ? 1 ,或 a ? ?4 .


a?0







a ? 1 .?????????????????????????????????10 分
23.解: (Ⅰ)由 m ? 0 ,有 f ? x ? ? x ? 当 且 仅 当

4 4? 4 ? ? x ? m ? ?? x ? ? ? x ? m ? ? m ? 4 , m m? m ?
m?2
时 取 “ = ” . 所 以

4 ?m m





f ? x ? ? 4 .???????????????????4 分
(Ⅱ) f ? 2 ? ? 2 ?

4 ? 2?m . m



4 4 1 ? 17 ? 2 ,即 m ? 2 时, f ? 2 ? ? m ? ? 4 ,由 f ? 2? ? 5 ,得 m ? . m m 2

当 综

4 4 ? 2 ,即 0 ? m ? 2 时, f ? 2 ? ? ? m ,由 f ? 2? ? 5 ,得 0 ? m ? 1 . m m
上 ,

m













? 0,1? ? ? ?

? 1 ? 17 ? , ?? ? ? .??????????????????????10 分 ? 2 ?


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