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2016北京西城区高三一模数学理(含解析)


北京市西城区 2016 高三一模试卷数学(理科) 第Ⅰ卷(选择题共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项.
2 1.设集合 A ? x x ? 4 x ? 0 ,集合 B ? n n ? 2k ? 1, k ? Z ,则 A ? B ? () .

?

?

?

?

A. ??1,1?

B. ?1,3?

C. ??3, ?1?

D. ??3, ?1,1,3? ( ? 为参数) ,则 C 曲线是() .

2.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? A.关于 x 轴对称的图形 C.关于原点对称的图形

? ? x ? 2 ? 2 cos ? ? ? y ? 2 sin ?

B.关于 y 轴对称的图形 D.关于 y ? x 对称的图形

3.如果 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是() . A. y ? x ? f ? x ? B. y ? xf ? x ? C. y ? x ? f ? x ?
2

D. y ? x f ? x ?
2

4.在平面直角坐标系 xOy 中,向量 OA ? ? ?1, 2 ? , OB ? ? 2, m ? ,若 O , A , B 三点构成的三角形,则() . A. m ? ? 4 B. m ? ? 4 C. m ? 1 D. m ? R

??? ?

??? ?

开始 输入A,S k=1 A=A+k S=S?A k>4 是 输出S 结束 否 k=k+2

5.执行如图所示的程序库按图,若输入的 A 、 S 分别为 0 , 1 则输出的 S ? () . A. 4 B. 16 C. 27 D. 36

6.设 x ? ? 0, ? ,则“ a ? ? ??,0? ”是“ log 1 x ? x ? a ”的() .
2

? ?

1? 2?

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 / 19

7.设函数 f ? x ? ? Asin ??x ? ? ? ( A , ? , ? 是常数, A ? 0 , ? ? 0 ) ,且函数 f ? x ? 的部分图像如图 所示,则有() .
y

O π
12

5π 6

x

A. f ? ?

? 3? ? ? 5? ? ? 7? ? ?? f ? ?? f ? ? ? 4 ? ? 3 ? ? 6 ?
? ? 7? ?? f ? ? ? 6 ? ? 3? ? ? ? f ?? ? ? ? 4 ?

B. f ? ?

? 3? ? ? 7? ? ? 5? ? ?? f ? ?? f ? ? ? 4 ? ? 6 ? ? 3 ?
? 5? ? 3 ? ? 3? ? ? f ?? ? ? 4 ? ? 7? ? ?? f ? ? ? ? 6 ?

C. f ?

? 5? ? 3

D. f ?

8.如图,在棱长为 a ? a ? 0? 的正四面体 ABCD 中,点 B , C , D 分别在棱 AB , AC , AD 上,且平面

B1C1D1 ∥平面 BCD , A1 为 △BCD 内一点,记三棱锥 A1 ? B1C1D1 的体积为 V ,设
函数 V ? F ? x ? ,则() .

AD1 ? x ,对于 AD

2 A.当 x ? 时,函数 f ? x ? 取得最大值 3
B.函数 f ? x ? 在 ?

A B1 B A1 C C1 D D1

?1 ? ,1? 上是减函数 ?2 ?
1 对称 2

C.函数 f ? x ? 的图像关于直线 x ?

D. 存在 x0 , 使得 f ? x0 ? ? VA? BCD(其中 VA? BCD 为四面体 ABCD 的体积)

1 3

第Ⅱ卷(非选择题共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.在复平面内,复数 z1 与 z2 对应的点关于虚轴对称,且 z1 ? ?1 ? i ,则

z1 ? __________. z2

10.已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 , a3 ? ?3 , a2 a4 ? 5 ,则 an ? ________;记 ?an ? 的前项和为 Sn ,则

Sn 的最小值为________.
2 / 19

2 11.若圆 ? x ? 2 ? ? y ? 1 与双曲线 C : 2

x2 ? y 2 ? 1? a ? 0 ? 的渐近线相切,则 a ? ________;双曲线 C 的渐 a2

近线方程是________. 12.一个棱长为 4 的正方体,被一个平面截去一部分后,所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积是 ________.

2 正(主)视图

2 侧(左)视图

俯视图
13.在冬奥会志愿者活动中,甲、乙等 5 人报名参加了 A , B , C 三个项目的志愿者工作,因工作需要, 每个项目仅需 1 名志愿者工作,且甲不能参加 A , B 项目,乙不能参加 B , C 项目,共有种不同的志愿者 分配方案________. (用数字作答) 14.一辆赛车在一个周长为 3km 的封闭跑道上行驶,跑道由几段直道和弯道组成,图1 反映了赛车在“计时 赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系.

根据图 1 ,有一些四个说法: ①在这第二圈的 2.6km 到 2.8km 之间,赛车速度逐渐增加; ②在整个跑道中,最长的直线路程不超过 0.6km ; ③大约在这第二圈的 0.4km 到 0.6km 之间,赛车开始了那段最长直线路程的行驶; ④在图 2 的四条曲线(注: s 为初始记录数据位置)中,曲线 B 最能符合赛车的运动轨迹. 其中,所有正确说法的序号是________.
3 / 19

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 在 △ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,设 A ? (Ⅰ)若 a ?

?
3

, sin B ? 3sin C .

7 ,求 b 的值;

(Ⅱ)求 tan C 的值.

4 / 19

16. (本小题满分 13 分) 某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试,现从中随机抽取 40 名学生的测试成绩,整理数据并 按分数段 ? 40,50? , ?50,60? , ?60,70? , ?70,80? , ?80,90? , ?90,100? 进行分组,假设同一组中的每个 数据可用该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图(如下) .

(Ⅰ) 体育成绩大于或等于 70 分的学生常被成为“体育良好”. 已知该校高一年级有 1000 名学生, 试估计, 高一全年级中“体育良好”的学生人数; (Ⅱ) 为分析学生平时的体育活动情况, 现从体育成绩在 ?60,70? 和 ?80,90? 的样本学生中随机抽取 2 人, 至少有 1 人体育成绩在 ?60,70? 的概率; (Ⅲ)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为 a , b , c ,且分别在 ?70,80? , ?80,90? , ?90,100? 三组 中,其中 a , b , c ? N ,当数据 a , b , c 的方差 s 最小时,写出 a , b , c 的值. (结论不要求证明)
2

2 (注: s ?

1? x ?x ? 1 n?

?

? ??x
2

2

?x

?

2

2 ? ??? ? xn ? x ? ,其中 x 为数据 x1 , x2 , ???, xn 的平均数) ? ?

?

?

5 / 19

17. (本小题满分 14 分) 如图,四边形为梯形 ABCD , DAD ∥ BC , ?BAD ? 90? ,四边形 CC1D1D 为矩形,已知 AB ? BC1 ,

AD ? 4 , AB ? 2 , BC ? 1 .
(Ⅰ)求证: BC1 ∥ 平面 ADD1 ; (Ⅱ)若 DD1 ? 2 ,求平面 AC1D1 与平面 ADD1 所成的锐二面角的余弦值; (Ⅲ)设 P 为线段 C1D 上的一个动点(端点除外) ,判断直线 BC1 与直线 CP 能否垂直?并说明理由.

D1 C1

A B C

D

6 / 19

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? xe x ? ae x ?1 ,且 f ' ?1? ? e . (Ⅰ)求 a 的值及 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ? x ? ? kx ? 2 ? k ? 2? 存在两不相等的正实数根 x1 , x2 ,证明: x1 ? x2 ? ln
2

4 . e

7 / 19

19. (本小题满分 14 分)
2 2 已知椭圆 C : mx ? 3my ? 1? m ? 0? 的长轴长为 2 6 , O 为坐标原点

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程和离心率; (Ⅱ)设点 A?3,0? ,动点 B 在 y 轴上,动点 P 在椭圆 C 上,且 P 在 y 轴的右侧,若 BA ? BP ,求四边 形 OPAB 面积的最小值.

8 / 19

20. (本小题满分 13 分) 设数列 ?an ? 和 ?bn ? 的项均为 m ,则将数列和的距离定义为 (Ⅰ)该出数列 1,3,5, 6 和数列 2,3,10, 7 的距离 (Ⅱ)设 A 为满足递推关系 an ?1 ?

? a ?b
i ?1 i

m

i



1 ? an 的所有数列 ?an ? 的集合,?bn ? 和 ?cn ? 为 A 中的两个元素,且项数 1 ? an

均为 m ,若 b1 ? 2 , c1 ? 3 , ?bn ? 和 ?cn ? 的距离小于 2016 ,求 m 得最大值; (Ⅲ)记 S 是所有 7 项数列 an 1 ≤ n ≤ 7, an ? 0 或 1? 的集合,T ? S ,且 T 由任何两个元素的距离大于或 等于 3 ,证明:中的元素个数小于或等于 16 .

?

9 / 19

北京市西城区 2015-2016 学年度第二学期高三年级统一考试 数学答案(理工类)2016.4 一、选择题: (满分 40 分) 1 题号 C 答案 二、填空题: (满分 30 分) 题号 答案 9 10 2 A 3 B 11 4 B 5 D 12
3 x 3
6

6 A 13

7 D

8 A

i

an ? 2n ? 9 , ?16

3,
y??

21

①④

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分)

三、解答题: (满分 80 分) 15. (本小题满分 13 分) (1)解:因为 sin B ? 3sin C , 由正弦定理
a b c ,得 b ? 3c , ? ? sin A sin B sin C
π , a ? 7 ,得 7 ? b2 ? c 2 ? bc 3

由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 及 A ?

b b2 所以 b2 ? ( )2 ? ? 7 ,解得 b ? 3 . 3 3
(2)解:由 A ? 所以 sin( 即
π 2π ,得 B ? ?C, 3 3

2π ? C) ? 3sin C . 3

3 1 cos C ? sin C ? 3sin C , 2 2

所以

3 5 cos C ? sin C , 2 2
3 . 5

所以 tan C ?

16. (本小题满分 13 分) (1)解:由折线图,知样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 30 人, 所以该校高一年级学生中,“体育良好”的学生人数大约有 1000 ? (2)解:设“至少有 1 人体育成绩在 [60, 70) ”为事件 A ,
30 ? 750 人. 40

10 / 19

由题意,得 P( A) ? 1 ?

C32 3 7 ?1? ? , 2 C5 10 10

因此至少有 1 人体育成绩在 [60, 70) 的概率是

7 . 10

(3)解: a , b, c 的值分别为 79,84,90 ;或 79,85,90 .

17. (本小题满分 14 分) 解: (1)证明:由为 CC1D1D 矩形,得 CC1 //DD1 , 又因为 DD1 ? 平面 ADD1 , CC1 ? 平面 ADD1 , 所以 CC1 // 平面 ADD1 , 同理 BC // 平面 ADD1 , 又因为 BC ? CC1 ? C , 所以平面 BCC1 // 平面 ADD1 , 又因为 BC1 ? 平面 BCC1 , 所以 BC1 // 平面 ADD1 . (2)解:由平面 ABCD 中, AD //BC , ?BAD ? 90? ,得 AB ? BC . 又因为 AB ? BC1 , BC ? BC1 ? B , 所以 AB ? 平面 BCC1 所以 AB ? CC1 , 又因为四边形 CC1D1D 为矩形,且底面 ABCD 中 AB 与 CD 相交一点, 所以 CC1 ? 平面 ABCD , 因为 CC1 //DD1 所以 DD1 ? 平面 ABCD 过 D 在底面 ABCD 中作 DM ? AD , 所以 DA , DM , DD1 两两垂直, 以分 DA , DM , DD1 别为 x 轴,y 轴和 z 轴, 如图建立空间直角坐标系, 则 D(0,0,0) , A(4,0,0) , B(4, 2,0) , C (3, 2,0) , C1 (3, 2, 2) , D1 (0, 0, 2) , ???? ? ???? ? 所以 AC1 ? (?1,2,2) , AD1 ? (?4,0, 2) 设平面 AC1 D1 的一个法向量为 m ? ( x, y, z)

???? ? ???? ? ?? x ? 2 y ? 2 z ? 0, 由 m ? AC1 ? 0 , m ? AD1 ? 0 ,得 ? ??4 x ? 2 z ? 0,
令 x ? 2 ,得 m ? (2, ?3, 4) 易得平面 ADD1 的法向量 n ? (0,1,0) .
11 / 19

所以 cos ? m, n ??

m?n 3 29 . ?? m n 29
3 29 29

即平面 AC1 D1 与平面 ADD1 所成的锐二面角的余弦值为 (3)结论:直线 BC1 与 CP 不可能垂直. ??? ? ???? ? 证明:设 DD1 ? m(m ? 0) , DP ? ? DC1 (? ? (0,1)) .

由 B(4, 2,0) , C (3, 2,0) , C1 (3, 2, m) , D(0,0,0) ???? ? ???? ? ??? ? ???? ? 得 , , BC1 ? (?1,0, m) DC1 ? (3,2, m) DP ? ? DC1 ? (3?,2?, ?m) ??? ? ??? ? ??? ? CP ? CD ? DP ? (3? ? 3,2? ? 2, ?m) , ???? ? ??? ? 若 BC1 ? CP ,则 BC1 ? CP ? ?(3? ? 3) ? ?m2 ? 0 ,即 (m2 ? 3)? ? ?3 . 因为 ? ? 0 所以 m2 ? ?
3



??? ? CD ? (?3, ?2,0)



?

? 3 ? 0 ,解得 ? ? 1 ,这与 0 ? ? ? 1 矛盾.

所以直线 BC1 与 CP 不可能垂直.

18. (本小题满分 14 分) (1)解:对 f ( x) 求导,得 f '( x) ? (1 ? x)e x ? ae x ?1 , 所以 f '(1) ? 2e ? a ? e ,解得 a ? e . 故 f ( x) ? xe x ? e x , f '( x) ? xe x . 令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 0 . 当 x 变化时, f '( x) 与 f ( x) 的变化情况如下表所示:
x
f '( x) f ( x)
(??,0)
?
0

(0, ??)

0

?
?

?

所以函数 f ( x) 的单调减区间为 (??,0) ,单调增区间为 (0, ??) . (2)解:方程 f ( x) ? kx2 ? 2 ,即为 ( x ? 1)e x ? kx2 ? 2 ? 0 . 设函数 g ( x) ? ( x ? 1)e x ? kx2 ? 2 . 求导,得 g '( x) ? xe x ? 2kx ? x(e x ? 2k ) . 由 g '( x) ? 0 ,解得 x ? 0 ,或 x ? ln(2 x) . 所以当 x ? (0, ??) 变化时, g '( x) 与 g ( x) 的变化情况如下表所示:
x
(0, ln(2k )) ln(2k )
(ln(2k ), ??)
12 / 19

g '( x) g ( x)

?

0

?

?

?

所以函数 g ( x) 在 (0, ln(2k )) 单调递减,在 (ln(2k ), ??) 上单调递增. 由 k ? 2 ,得 ln(2k ) ? ln 4 ? 1 . 又因为 g (1) ? ?k ? 2 ? 0 , 所以 g (ln(2k )) ? 0 . 不妨设 x1 ? x2 (其中 x1 , x2 为 f ( x) ? kx2 ? 2 的两个正实数根) . 因为函数 g ( x) 在 (0, ln(2k )) 单调递减,且 g (0) ? 1 ? 0 , g (1) ? ?k ? 2 ? 0 , 所以 0 ? x1 ? 1 . 同理根据函数 g ( x) 在 (ln 2k , ??) 上单调递增,且 g (ln(2k )) ? 0 . 可得 x2 ? ln(2k ) ? ln 4 ,
4 所以 x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? ln 4 ? 1 ? ln , e 4 即 x1 ? x2 ? ln . e

19. (本小题满分 13 分) (1)解:由题意,椭圆
C: x2 y 2 ? ?1 1 1 m 3m

2 所以 a ?

1 1 2 ,b ? , m 3m 1 1 ? 2 6 ,解得 m ? , m 6

故 2a ? 2

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 6 2

因为 c ? a2 ? b2 ? 2 , 所以离心率 e ?
c 6 ? . a 3

(II)解:设线段 AP 的中点为 D , 因为 BA ? BP , 所以 BD ? AP , 由题意,直线 BD 的斜率存在,设点 P( x0 , y0 )( y0 ? 0) ,

13 / 19

则点 D 的坐标为 (

x0 ? 3 y0 , ), 2 2
y0 . x0 ? 3 3 ? x0 1 ? , k AP y0

且直线 AP 的斜率 k AP ?

所以直线 BD 的斜率为 ?

所以直线 BD 的方程为: y ? 令 x ? 0 ,得 y ?

y0 3 ? x0 x ?3 ? (x ? 0 ) 2 y0 2

2 2 2 2 x0 ? y0 ?9 x0 ? y0 ?9 B (0, ), ,则 2 y0 2 y0



2 x0 y2 2 2 ? 6 ? 3 y0 ? 0 ? 1 ,得 x0 . 6 2

化简,得 B(0,

2 ?2 y0 ?3 ). 2 y0

2 2 ?2 y0 ?3 3 ?2 y0 ?3 1 1 ? ( y0 ? ) 所以四边形 OPAB 的面积 SOPAB ? S△OAP ? S△OAB ? ? 3 ? y0 ? ? 3 ? 2 2 2 y0 2 2 y0

?

3 3 3 3 (2 y0 ? ) ? ? 2 2 y0 ? ?3 3, 2 2 y0 2 2 y0

当且仅当 2 y0 ?

3 3 ? [? 2, 2] 时等号成立. ,即 y0 ? ? 2 y0 2

所以四边形 OPAB 面积的最小值为 3 3 .

20. (本小题满分 13 分) (1)解:由题意,数列 1,3,5, 6 和数列 2,3,10,7 的距离为 7 . (2)解:设 a1 ? p ,其中 p ? 0 ,且 p ? ?1 . 由 an ?1 ?
1? p 2 p ?1 1 ? an ,得, a2 ? , a3 ? ? , a4 ? , a5 ? p 1? p p p ?1 1 ? an

所以 a1 ? a5 , 因此 A 中数列的项周期性重复,且每隔 4 项重复一次.
1 1 所以 {bn } 中, b4k ?3 ? 2 , b4 k ? 2 ? ?3 , b4k ?1 ? ? , b4k ? ( k ? N* ) 2 3 1 1 所以 {cn } 中, c4k ?3 ? 3 , c4 k ? 2 ? ?2 , c4 k ?1 ? ? , c4 k ? ( k ? N* ) 3 2

由 ? bi ? ci ? ? bi ? ci ,得项数 m 越大,数列 {bn } 和 {cn } 的距离越大.
i ?1 i ?1

k ?1

k

14 / 19

由 ? bi ? ci ?
i ?1

4

3456 4?864 7 7 ,得 ? bi ? ci ? ? bi ? ci ? ? 864 ? 2016 . 3 3 i ?1 i ?1 m

所以当 m ? 3456 时, ? bi ? ci ? 2016 .
i ?1

故 m 的最大值为 3455 . (3)证明:假设 T 中的元素个数大于或等于 17 个. 因为数列 {an } 中, ai ? 0 或 1 , 所以仅由数列前三项组成的数组 (a1 , a2 , a3 ) 有且只有 8 个:
(0,0,0) , (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1) , (1,1,0) , (1,0,1) , (0,1,1) , (1,1,1) .

那么这 17 个元素(即数列)之中必有三个具有相同的 a1 , a2 , a3 . 设这三个数列分别为 {cn } : c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , c7 ; {dn } : d1 , d2 , d3 , d4 , d5 , d6 , d7 ; { f n } : f1 , f 2 , f3 , f 4 , f5 , f6 , f7 ,其中 c1 ? d1 ? f1 , c2 ? d 2 ? f 2 , c3 ? d3 ? f3 . 因为这三个数列中每两个的距离大于或等于 3 . 所以 {cn } 与 {dn } 中, ci ? di (i ? 4,5,6,7) 中至少有 3 个成立. 不妨设 c4 ? d4 , c5 ? d5 , c6 ? d6 . 由题意,得 c4 , d 4 中一个等于 0 ,而另一个等于 1 . 又因为 f 4 ? 0 或 1 , 所以 f 4 ? c4 和 f 4 ? d 4 中必有一个成立. 同理,得 f5 ? c5 和 f5 ? d5 中必有一个成立, f6 ? c6 和 f6 ? d6 中必有一个成立, 所以“ fi ? ci (i ? 4,5,6) 中至少有两个成立”,或“ fi ? di (i ? 4,5,6) 中至少有两个成立” 中必有一个成立. 所以 ? f i ? ci ? 2 和 ? f i ? d i ? 2 中必有一个成立.
i ?1 i ?1 7 7

这与题意矛盾, 所以 T 中的元素个数小于或等于 16 .

15 / 19

选填解析 一、选择题 1.【答案】C 【解答】解:由 x 2 ? 4 x ? 0 ,解得 ?4 ? x ? 0 ∴ A ? {x | ?4 ? x ? 0} 又∵ B ? {n | n ? 2k ? 1, k ? Z} ∴ A I B ? {?3, ?1} 故选:C 2.【答案】A
? ? x ? 2 ? 2 cos? 【解答】解:由 ? ? ? y ? 2 sin ? 2 2 得 ( x ? 2) ? y ? 2

表示圆心为 (2, 0) ,半径为 2 的圆 所以曲线 C 是关于 x 轴对称的图形. 故选:A

3.【答案】B 【解答】∵ y ? x 是奇函数, y ? f ( x) 为奇函数 ∴ y ? xf ( x) 是偶函数. 故选:B 4.【答案】B 【解答】∵ O , A , B 三点能构成三角形 uur uuu r ∴ OA 与 OB 不共线 uur uu u r 又 OA ? (?1, 2) , OB ? (2, m) ∴ ?m ? 4 ? 0 ∴ m ? ?4 故选:B

5.【答案】D 【解答】 解:由程序框图知,
A ? 0, S ? 1, k ? 1 第 1 次循环, A ? 0 ? 1 ? 1 , S ? 1 ? 1 ? 1 , k ? 3 . 第 1 次循环, A ? 1 ? 3 ? 4 , S ? 1 ? 4 ? 4 , k ? 5 . 第 1 次循环, A ? 4 ? 5 ? 9 , S ? 4 ? 9 ? 36 此时 k ? 5 ? 4 ,跳出循环. 输出 S ? 36

故选:D 6.【答案】A 【解析】由 log 1 x ? x ? a ,得 log 1 x ? x ? a
2 2

∵ y ? log 1 x 是减函数, y ? ?x 是减函数
2

16 / 19

∴ y ? log 1 x ? x 是减函数
2

又∵ 0 ? x ?

1 2
2

∴ log 1 x ? x ? log 1
2

1 1 1 ? ? 2 2 2

1 ∴a? . 2
1 1 即“ x ? (0, ), log 1 x ? x ? a ”等价于“ a ? ” 2 2 2 1 又∵ (??,0) ? (??, ] 2 ∴“ a ? (??,0) ”是“ log 1 x ? x ? a ”的充分不必要条件.
2

故选:A

7.【答案】D 【解答】
3 5 π 3 解:由函数的图象可知, T ? π ? ? π 4 6 12 4 ∴T ? π . 3 3 π ∴ f (? π) ? f (? π ? π) ? f ( ) 4 4 4 5 5 2 f ( π) ? f ( π ? π) ? f ( π) 3 3 3 7 7 1 f ( π) ? f ( π ? π) ? f ( π) 6 6 6 π π π π 7π 7 结合图象知, f ( x) 在 [ , ? ] 即 [ , ] 上单调递减,且 f ( x) 关于 x ? π 对称. 12 12 2 12 12 12 2 7π 2 π ∴ f ( π) ? f (2 ? ? π) ? f ( ) 12 3 2 3 5 π ∴ f ( π) ? f ( ) 3 2 π π π π 7π 又∵ ? ? ? ? 12 6 4 2 12 π π π ∴ f( )? f( )? f( ) 6 4 2 7 3 5 ∴ f ( π) ? f (? π) ? f ( π) 6 4 3 故选:D

A

8.【答案】A 【解答】 解:设四棱锥 A1 ? B1C1 D1 的高为 h ' ,四棱锥 A ? BCD 的高为 h . ∵面 B1C1 D1 // 平面 BCD ∴ △B1C1 D1 ~△BCD , △AC1 D1 ~△ACD AD ∵ 1 1 ?x AD
17 / 19

B1 C1 B h' A1 C

h

D1

D

C1 D1 h' ? x , ?1? x CD h 2 ∴ S△B1C1D1 ? x ? S△BCD , h ' ? (1 ? x)h



1 1 ∴ V ? S△B1C1D1 ? h ' ? x2 (1 ? x) ? S△BCD ? h ? x2 (1 ? x) ? VA? BCD 3 3 即 f ( x) ? x2 (1 ? x) ? VA? BCD

令 g ( x) ? x2 (1 ? x)

g '( x) ? 2 x(1 ? x) ? x2 ? ?3x2 ? 2 x 2 令 g '( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 3 2 x ? (0, ) 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 单增, 3 2 x ? ( ,1) 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 单减. 3 2 ∴当 x ? 时, g ( x) 有最大值,即 f ( x) 有最大值. 3 故选:A.

二、填空题 9. 【答案】 i 【解答】∵复数 z1 与 z 2 对应的点关于虚轴对称,且 z1 = - 1 + i , ∴ z2 = 1 + i , ∴
z1 - 1 + i (- 1 + i) ?(1 i) - 1 + 2i - i 2 = = = = i. z2 1+ i (1 + i ) ?(1 i ) 2

故答案为 i . 10. 【答案】 an ? 2n ? 9 ; ?16 . 【解答】设数列 {an } 的首项为 a1 ,

\ a1 + 2d = - 3 , (- 3 - d ) ?( 3 + d ) = 5 , 解得 d = 2, a1 = - 7 , ∴ an = - 7 + (n - 1)2 = 2n - 9 ; ∴ a4 < 0 , a5 > 0 , ∴ Sn 的最小值为 S4 = - 7 - 5 - 3 - 1 = - 16 .
故答案为: an ? 2n ? 9 ; ?16 . 11. 【答案】 3 , y ? ?
3 x. 3

1 【解答】双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ,即 x ? ay ? 0 , a ∵圆与双曲线的渐近线相切,



2 1 ? a2

? 1 ,由 a ? 0 ,解得 a ? 3 ,
3 x. 3
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故双曲线的渐近线方程为 y ? ?

故答案为: 3 , y ? ?

3 x. 3

12. 【答案】 6 【解答】该几何体的直观图如图所示: 因此截面为 △PBC , 由题可知 PB = PC = 2 5, BC = 2 2 , ∴ △PBC 中 BC 边上的高等于 PD = 1 所以截面面积为 创2 2 3 2 = 6 2 故答案为: 6 13. 【答案】 21
1 【解答】若甲、乙二人都参加了,则有 A3 种分配方案;
1 2 若甲、乙二人中只有一个人参加,则有 C2 种分配方 ? A3

20 - 2 = 3 2 ,

P

B D C

A

案;

若甲、乙二人都不参加,则有 A 种分配方案;
1 1 2 3 ∴共有 A3 ? A3 ? 3 ? 12 ? 6 ? 21 种分配方案. ? C2 ? A3

3 3

故答案为: 21. 14. 【答案】①④. 【解答】 由图看,在 2.6 km 到 2.8 km 之间,赛车速度从 100 逐渐增加到 140 km / h ,①对; 从 0.4 km 到 1.2 km 这段,赛车应该是直道加速到平稳行驶,最长直线路程超过 0.6 km ,②错; 从 1.4 km 到 1.8 km 之间,赛车开始最长直线路程行驶,③错; 从图 1 看,赛车先直线行驶一小段,然后减速拐弯,然后直线行驶一大段距离,再减速拐弯,再直线行 驶一大段,拐弯后行驶一中段距离,曲线 B 最符合,④对. 故答案为:①④.

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