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2018年高考数学(理)仿真押题 专题17圆锥曲线中的热点问题

2018 年高考数学(理)仿真押题 专题 17 圆锥曲线中的热点问题 1. 已知椭圆 C1: A.? - =1 与双曲线 C2: + =1 有相同的焦点, 则椭圆 C1 的离心率 e 的取值范围为( m+2 n m n B.?0, x2 y2 x2 y2 ) ? 2 ? ,1? ?2 ? ? ? 2? ? 2? C.(0,1) ? 1? D.?0, ? ? 2? m+2+n = m+2 m+1 = m+2 1 ? 2 ? ∈? ,1?. m+ 2 ? 2 ? 【解析】由题意知 m>0,n<0,椭圆与双曲线的焦点都在 x 轴上,∵椭圆与双曲线有相同的焦点,∴m+2+n =m-n,n=-1,∴e= 【答案】A 2.椭圆 C: + =1 的左、右顶点分别为 A1、A2,点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取值范围是[-2,-1],那 4 3 么直线 PA1 斜率的取值范围是( ) 1- x2 y2 ?1 3? A.? , ? ?2 4? ?1 ? C.? ,1? ?2 ? ?3 3? B.? , ? ?8 4? ?3 ? D.? ,1? ?4 ? 【答案】B 3.过定点 C(0,p)的直线与抛物线 x =2py(p>0)相交于 A,B 两点,若点 N 是点 C 关于坐标原点的对称点, 则△ANB 面积的最小值为( A.2 2p C.2 2p 2 2 ) B. 2p D. 2p 2 ? ?x =2py 【解析】 依题意, 点 N 的坐标为(0, -p), 可设 A(x1, y1), B(x2, y2), 直线 AB 的方程为 y=kx+p, 由? ? ?y=kx+p 2 2 2 2 , 消去 y 得 x -2pkx-2p =0,由根与系数的关系可得 x1+x2=2pk,x1?x2=-2p ,因为 S△ANB=S△BCN+S△ACN= 1 2 2 2 2 2 2 ?2p|x1-x2|=p|x1-x2|=p ?x1+x2? -4x1x2=p 4p k +8p =2p k +2,所以当 k=0 时,(S△ANB)min= 2 2 2p . 【答案】C 4.若以 F1 (-3,0),F2(3,0)为焦点的双曲线与直线 y=x-1 有公共点,则该双曲线的离心率的最小值为 ( ) 2 A. C. 6 2 3 2 B. 3 5 5 D. 3 y=x-1 ? ? 2 2 x2 y2 2 2 2 2 【解析】 依题意, 设题中的双曲线方程是 2- 2=1(a>0, b>0), 则有 a +b =9, b =9-a .由?x y a b 2- 2=1 ? ?a b x ?x-1? 2 2 2 2 2 2 2 2 消去 y,得 2- =1,即(b -a )x +2a x-a (1+b )=0(*)有实数解,注意到当 b -a =0 时,方程 2 a b (*)有实数解, 此时双曲线的离心率 e= 2; 当 b -a ≠0 时, Δ =4a +4a (b -a )(1+b )≥0, 即 a -b ≤1, 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 a2-(9-a2)≤1(b2=9-a2>0 且 a2≠b2),由此解得 0<a2≤5 且 a2≠ ,此时 e= ≥ = .综上所述,该双 2 a 5 5 3 5 曲线的离心率的最小值是 ,选 B. 5 【答案】B 9 3 3 3 5 x2 y2 5.已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F 且垂直于 x 轴的直线 a b 与双曲线交于 A,B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( A.(1,+∞) C.(2,1+ 2) B.(1,2) D.(1,1+ 2) ) b2 b2 2 2 【解析】 若△ABE 是锐角三角形, 只需∠AEF<45°, 在 Rt△AFE 中, |AF|= , |FE|=a+c, 则 <a+c? b <a a a +ac? 2a -c +ac>0? e -e-2<0? -1<e<2,又 e>1,则 1<e<2,故选 B. 【答案】B 6.已知点 P 是椭圆 + =1(x≠0,y≠0)上的动点,F1,F2 分别为椭圆的左,右焦点,O 是坐标原点,若 M 16 8 → → → 是∠F1PF2 的平分线上一点,且F1M?MP=0,则|OM|的取值范围是( A.[0,3) C.[2 2,3) B.(0,2 2) D.(0,4] ) 2 2 2 x2 y2 【答案】B 7.若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是双曲线上一点且|PF1|=2|PF2|,则此双 曲线离心率的取值范围是________. 【解析】由双曲线定义有|PF1|-|PF2|=2a,而由题意|PF1|=2|PF2|,故|PF2|=2a,|PF1|=4a.又|F1F2|= 2c,由三角不等式有 6a≥2c.又由定义有 c>a,故离心率 e= ∈(1,3]. 【答案】(1,3] 8.已知 P 为抛物线 y =4x 上一个动点,Q 为圆 x +(y-4) =1 上一个动点,那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是________. 2 2 2 x2 y2 a b c a 【答案】 17-1 9.设抛物线 y =6x 的焦点为 F,已知 A,B 为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=60°,过弦 AB 的中点 M |MN| 作抛物线准线的垂线为 MN,垂足为 N,则 的最大值为________. |AB| 【解析】过 A,B 分别向准线作垂线,垂足分别为 A1,B1,设|AF|=a,|BF|=b,如图,根据递形中位线性 质知|MN|= 2 a+b 2 .在△AFB 中,由余弦定理得 |AB| =a +b -2abcos 60°=a +b -ab=(a+b) -3ab≥(a+b)

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