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深圳市南山区2013年高二下学期期末考试数学(理)试题及答案.doc 2


高 二 期 末 考 试 数 学(理科)
2013.07.03

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分, 考试时间 120 分钟. 注意事项:
1、答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损.之后务必用黑色签字笔 在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号,在右上角的信 息栏填写自己的考号,并用 2B 铅笔填涂相应的信息点. 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷 上. 不按要求填涂的,答案无效. 3、非选择题必须用黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排。如需改动,先划 掉原来的答案,然后再写上新的答案。不准使用铅笔和涂改液. 不按以上 要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁,不折叠,不破损.考试结束后,将答题卡 交回. 5、考试不可以使用计器.

第Ⅰ卷(选择题共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案的编号用铅笔涂在 .............. 答题卡上 . .... 1、已知函数 f(x)=ax2+c,且 f′(1)=2,则 a 的值为 A.1 B. 2 C.-1

D.0

2?i = a + bi (a,b∈ 2、若 R,i 为虚数单位) 则 a+b= i
A.1 B.2 C.-1 D.-2 3、今有 5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个 小组,则不同的报名方法共有 A.10 种 B. 32 种 C. 25 种 D. 20 种
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4、在极坐标系中,圆 ρ=2sinθ 的圆心的极坐标是 A. (1, )

? 2

B. (1,?

? ) 2

C.(1,0)

D. (1,π )

? 3 x = 3+ t ? ? 2 5、直线 ? (t 为参数)的倾斜角是 1 ? y = 1+ t ? ? 2
A.

? 6
ξ P

B.

? 3
1 a

C.

?? 6
2 b

D.

?? 3
3 0.1

6、随机变量 ξ 的分布列为 0 0.1

且 Eξ=1.5,则 a-b 的值为 A.-0.2 B. 0.2 C. 0.4 7、已知直线 y=kx 是曲线 y=lnx 的切线,则 k 的值为 A.e B.-e C.

D. 0 D. ?

1 e

1 e

8、定义在 R 上的函数 f(x)满足(x+2)· f′(x)<0(其中 f′(x)是函数 f(x)的导数), 又 a = f(log 1 3) , b = f[( ) ] ,c=f(ln3),则
2

1 3

0.1

A. a<b<c

B. b<c<a

C. c<a<b

D. c<b<a

第Ⅱ卷(非选择题共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.请把答案填在答 ...... 题卡上 . ... 9、 (x ?

1 4 ) 的二项展开式中 x2 的系数是________.(用数字作答) x

10、由曲线 y=x2 和直线 y=2x 围成的封闭区域的面积为______. 11、把 4 名男生和 4 名女生排成一排,女生要在排在一起,不同排法的种 数为______.(用数字作答) 12、在平面上,若两个正三角形的边长比是 1:2,则它们的面积比是 1: 4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为 1:2,则它们的体积 比为_____.

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3 1 4 1 1 3 1 1 , ? ? ? 2 ? 1? ? ? 1? 2 , 1? 2 2 2 ? 3 2 3 ? 22 1? 2 2 2 3 1 4 1 5 1 1 ,…,由以上等式推测一个一 ? ? ? 2? ? 3 ? 1? 1? 2 2 2 ? 3 2 3 ? 4 2 4 ? 23 3 1 4 1 n?2 1 般的结论:对于 n∈N*, ? ? ? 2 ? ... ? ? n ? ______. 1? 2 2 2 ? 3 2 n(n ? 1) 2
13、观察下列等式:

? 1 x ?( ) ? 1,(x ? 0) 14、已知函数 f(x) = ? 2 ,对于下列命题: ?? x 2 ? 2x, (x ? 0) ?
①函数 f(x)的最小值为 0;②函数 f(x)在 R 上是单调递减函数; ③若 f(x)>1,则 x<-1; ④若函数 y=f(x)-a 有三个零点,则 a 的取值范 围是 0<a<1. 其中正确命题 的序号是______. .... 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明或演算步 骤. 15、(本小题满分 12 分) 复数 z=(3m-2)+(m-1)i,m∈R. (1)m 为何值时,z 是纯虚数? (2)若 ( x +

3 n ) (m∈N*)的展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数 x

和之比为 64,求 m 的值并指出此时复数 z 在复平面上对应的点位于第几 象限.

16、(本小题满分 12 分) 为了研究玉米品种对产量的影响,某农科院对一块试验田种植的一批玉米 共 10000 株的生长情况进行研究,现采用分层抽样方法抽取 50 株为样本, 统计结果如下: 高茎 圆粒 皱粒 合计 11 13 24 矮茎 19 7 26 合计 30 20 50

(1)现采用分层抽样方法,从这个样本中取出 10 株玉米,再从这 10 株玉米 中随机选出 3 株,求选到的 3 株之中既有圆粒玉米又有皱粒玉米的概率; (2)根据对玉米生长情况作出的统计,是否能在犯错误的概率不超过 0.050 的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关?(下面的临界值表和公式可 供参考):
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P(K2≥k) k

0.15 2.072

0.10 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.001 10.828

K2 =

n(ad ? bc)2 ,其中 n=a+b+c+d 为样本容量. (a + b)(c + d)(a + c)(b + d)

17、(本小题满分 14 分) 袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球. (1)采取放回抽样方式,从中依次摸出两个球,求两球颜色不同的概率; (2)采取不放回抽样方式,从中依次摸出两个球,记 ξ 为摸出两球中白球的 个数,求 ξ 的期望和方差.

18、(本小题满分 14 分) 数列{an}中,an>0,an≠1,且 a n+1 = (1)证明:an≠an+1; (2)若 a1 = 3 ,计算 a2,a3,a4 的值,并求出数列{an}的通项公式.

3a n (n∈ N*). 2a n +1

4

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19、(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=ax3-bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值 ?

4 . 3

(1)求 f(x)的表达式; (2)若关于 x 的方程 f(x)=k 有三个不同的零点,求实数 k 的取值范围.

20、(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x) = lnx ?

a . x
3 ,求实数 a 的值; 2

(1)当 a>0 时,判断 f(x)在定义域上的单调性; (2)若 f(x)在[1,e]上的最小值为

(3)若 f(x)<x2 在(1,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围.

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高二数学(理科)参考答案及评分标准
2013.07.03
一、选择题:(10×5′=50′) 1 2 题 号 B A 答 案 二、填空题:(4×5′=20′) 9、4; 10、 3 C 4 B 5 D 6 B 7 D 8 D

4 1 11、2880; 12、108;13、 1 ? ; 14、3,4. 3 (n ? 1) ? 2n

三、解答题:(80′) 15、(本小题满分 12 分) 解:(1)3m-2=0 且 m-1≠0 时,即 m ? (2)∵ ( x ?

2 ,z 是纯虚数. 3

……4 分

3 m 4m ) (m∈ N*)的展开式中,各项系数的和为 2n,则 m ? 64 , x 2

即 m=6,此时复数 z=16+5i 在复平面上对应的点位于第一象限. ……12 分 16、(本小题满分 12 分) 解:(1)现采用分层抽样的方法,从样本中取出的 10 株玉米中圆粒的有 6 株,皱粒的有 4 株,所以从中再次选出 3 株时,既有圆粒又有皱粒的概率 为P ?
2 2 1 C1 4 6 C 4 ? C6 C 4 ? . 3 C10 5

……6 分 高茎 矮茎 19 7 26 合计 30 20 50

(2)根据已知列联表: 圆粒 皱粒 合计 ∴ K2 =

11 13 24

50 ? (11 ? 7 ? 13 ? 19) 2 ? 3.860 ? 3.841 ,又 P(K2≥3.841)=0.050,因 30 ? 20 ? 24 ? 26 此能在犯错误的概率不超过 0.050 的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎 有关. ……12 分 17、(本小题满分 14 分) 解:(1) 记“摸出一球,放回后再摸出一个球,两球颜色不同” ,位事件 A,

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2 3 ;摸出一球得黑球的概率为 ; ……3 分 5 5 2 3 3 2 12 12 所以 P(A) = ? ? ? ? ,答:两球颜色不同的概率是 . ……6 分 5 5 5 5 25 25
摸出一球得白球的概率为 (2)由题设知,ξ 可取 0,1, 2,依题意得, P(? = 0) =

3 2 3 ? ? , 5 4 10
……10 分 ……12 分

3 2 2 3 3 2 1 1 P(? = 1) = ? ? ? ? , P(? = 2) = ? ? , 5 4 5 4 5 5 4 10 3 3 1 4 +1? + 2 ? = , 则 E? = 0 ? 10 5 10 5 4 3 4 3 4 1 9 D? = (0 ? ) 2 ? + (1 ? ) 2 ? ? (2 ? ) 2 ? ? , 5 10 5 5 5 10 25 4 9 答:摸出白球个数 ξ 的期望和方差分别为 , . 5 25
18、(本小题满分 14 分) (1)证明: (反证法)若 an=an+1, 则由 a n+1 =

……14 分

3a n 3a n (n∈ N*), 得 an = , 2a n ? 1 2a n ? 1
……4 分

得 an=1,这与已知 an≠1 相悖,故 an≠an+1. (2)方法一:(举例 -猜想 -证明 ) .. .. .. 若 a1 =

3 9 3a n ,由 a n+1 = (n∈ N*)得, a 2 = , 4 10 2a n ? 1
……8 分

a3 =

27 81 3n , a4 = ,猜想: a n = n (n∈ N*), 28 82 3 ?1

以下用数学归纳法证明: ①当 n=1 时, a1 =

3 31 ? 1 ,所以当 n=1 时命题成立; 4 3 ?1 3k , 3k ? 1

……9 分

②假设当 n=k 时,命题成立,即 a k = 则当 n=k+1 时,

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3k+1 k+1 3a k a k+1 = ? 3 k ?1 ? 2a k ? 1 2 ? 3 ?1 3k ? 1

3k+1 k+1 3k+1 ? 1 ? 3 , 3k+1 ? 1 3k+1 ? 1 3k ? 1

……12 分

所以,当 n=k+1 时,命题也成立,故 a n =

3n (n∈ N*), ……13 分 3n ? 1 3n (n∈ N*). ……14 分 3n ? 1

由①、②可知,对所有的自然数 n,都有 a n = (说明:其它方法请相应给分) 方法二:(利用数列递推 关系 求通项 公式 ) ...... .. ... ..

3a n 2a ? 1 1 1 2 1 (n∈ N*),取倒数得 = n ? ? ? , 2a n ? 1 a n+1 3a n 3 an 3 1 1 1 2 1 1 又 + t ? ? ? ? t = ( ? 2 ? 3t) ,令 2+3t=t,解得 t=-1, a n+1 3 an 3 3 an 1 1 1 ∴ ? 1 ? ( ? 1) , a n+1 3 an 1 1 1 4 1 ∴{ ? 1} 是以 ? 1 ? ? 1 ? 为首项, 为公比的等比数列, 3 an a1 3 3
由 a n+1 =

3n 1 1 1 n ?1 1 n 1 1 n 1 ? 3n ∴ ? 1 = ? ( ) ? ( ) ,∴ ? ( ) ? 1 ? ,∴a n ? n . 3 +1 an 3 3 3 an 3 3n
19、(本小题满分 14 分) 解:(1)∵f′(x)=3ax2-b, ……1 分 ……2 分 ……4 分 ……5 分 ……6 分

4 f′(2)=12a-b 且 f(2) = 8a ? 2b ? 4 ? ? , 3 1 ∴a ? ,b=4, 3 1 3 ∴f(x) ? x ? 4x ? 4 . 3
(2)由 f′(x)= x2-4=0,得 x=-2 或 x=2, 则当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,此时 f(x)是增函数; 当 x∈(-2,2)时,f′(x)<0,此时 f(x)是减函数; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,此时 f(x)是增函数,
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……9 分

所以 f(x)在 x=-2 时,取得极大值 f( ?2) ? 所以 f(x)在 x=2 时,取得极小值 f(2) ? ?

28 , 3

……10 分 ……11 分 ……12 分 ……14 分

4 , 3

又 x→-∞时,f(x)→-∞;x→+∞时,f(x)→+∞,

4 28 所以,方程 f(x)=k 有三个不同零点时, ? ? k ? . 3 3
20、(本小题满分 14 分)

(x) ? 解:(1) f′

1 a x?a ? ? 2 , x x2 x
……3 分 ……4 分

当 a>0 时,f′(x)>0,则 f(x)在定义域(0,+∞)上是增函数,

(x) ? (2) f′

x?a ? 0 ,解得 x=-a, x2

则 ①当-a <-1 时,即 a>1,f′(x)>0? f(x)在[1,e]上是增函数, 此时,f(x)min= f(1)=-a=1.5,而 a=-1.5 不符合题意; ……5 分 ②当 1≤-a ≤e 时,即-e≤a≤-1 时, 当 x∈[1,-a]时,f′(x)<0,此时,f(x)是减函数; 当 x∈(-a,e]时,f′(x)>0,此时,f(x)是增函数,所以 f(x)在 x=-a 时, 取得极小值且极小值为 f(-a)=ln(-a)+1, 由题意得, f(-a)=1.5 得 a ? ? e 符合题意; ……6 分 ③当-a >e 时,即 a<-e 时,f′(x)<0? f(x)在[1,e]上是减函数, 此时, f(x) min = f(e) ? 1 ?

e a 3 ? ,则 a ? 不符合题意, 2 e 2

……7 分 ……8 分

所以,所求 a 的值为 a ? ? e . (3)若 f(x)<x2 在(1,+∞)上恒成立<=>

a ? ln x ? x 2 在(1,+∞)上恒成立 x
……10 分

<=>a>xlnx-x3 在(1,+∞)上恒成立, 设 g(x)= xlnx-x3,h(x)= g′(x)=1+lnx-3x2,则

h′ (x) ?

1 1 ? 6x 2 ? 6x ? ? 0 (x>1), x x

∴h(x)在(1,+∞)上是减函数,∴h(x)< h(1)=-2,即 g′(x)<0, ∴g(x) 在(1,+∞)上是减函数,∴g(x)< g(1)=-1, ……13 分
高三数学(理)第 9 页(共 5 页)

故 a≥-1 为所求 a 的取值范围.

……14 分

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