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2018年新课标1卷数学(文)科含答案


2018 年普通高等学校招生全国统一考试 ( 新课标Ⅰ卷 ) 文科数学
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. )

2? , B ? ??2 , ? 1, 0, 1, 2? ,则 A ? B ? ( 1.已知集合 A ? ?0 ,



2? A. ?0 ,
2.设 z ?

2? B. ?1,

C. ?0?

? 1, 0, 1, 2? D. ??2 ,

1? i ) ? 2i ,则 z ? ( 1? i 1 A.0 B. C. 1 D. 2 2 3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农

村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:

则下面结论中不正确的是(



A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4.已知椭圆 C : A.
1 3

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点为 ? 2, 0 ? ,则 C 的离心率( a2 4
B.
1 2


2 2 3

C.

2 2

D.

5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1 , O2 ,过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积 为 8 的正方形,则该圆柱的表面积为( A. 12 2? B. 12? ) C. 8 2? D. 10?

0? 处的切线方程 6.设函数 f ? x ? ? x3 ? ? a ? 1? x2 ? ax .若 f ? x ? 为奇函数,则曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,
为( ) A . y ? ?2 x B. y ? ?x C. y ? 2 x D. y ? x )

??? ? 7.在 △ ABC 中, AD 为 BC 边上的中线, E 为 AD 的中点,则 EB ? ( ? 1 ???? ? 3 ???? 3 ??? 1 ??? A. AB ? AC B. AB ? AC 4 4 4 4

C.

? 1 ???? 3 ??? AB ? AC 4 4

D.

? 3 ???? 1 ??? AB ? AC 4 4
1

8.已知函数 f ? x ? ? 2cos x ? sin x ? 2 ,则(
2 2



A. f ? x ? 的最小正周期为 ? ,最大值为 3 B. f ? x ? 的最小正周期为 ? ,最大值为 4 C. f ? x ? 的最小正周期为 2? ,最大值为 3 D. f ? x ? 的最小正周期为 2? ,最大值为 4 9.某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如图所示,圆柱表面上的 点 M 在正视图上的对应点为 A , 圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点 为B, 则在此圆柱侧面上, 从 M 到 N 的路径中, 最短路径的长度为 ( A. 2 17 B. 2 5 C. 3 ) D.2

AB ? BC ? 2 , AC1 与平面 BB1C1C 所成的角为 30 ? ,则该长 10.在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
方体的体积为( A. 8 ) B. 6 2 C. 8 2 D. 8 3

11.已知角 ? 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边上有两点 A ?1, a ? , B ? 2, b? , 且 cos 2? ? A.

2 ,则 a ? b ? ( 3
B.
5 5

) C.

1 5

2 5 5

D. 1

?2? x ,x ≤ 0 12.设函数 f ? x ? ? ? ,则满足 f ? x ? 1? ? f ? 2 x ? 的 x 的取值范围是( ) ?1 ,x ? 0 1? ? ?? 0? A. ? ?? , B. ? 0 , C. ? ?1,0 ? D. ? ?? ,
二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知函数 f ? x ? ? log2 x2 ? a ,若 f ? 3? ? 1 ,则 a ? ________.
?x ? 2 y ? 2 ≤ 0 ? 14.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1≥ 0 ,则 z ? 3x ? 2 y 的最大值为________. ?y ≤0 ?

?

?

15.直线 y ? x ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 2 y ? 3 ? 0 交于 A ,B 两点,则 AB ? ________.
B ? b, c , 已 知 b s i nC ? c s i n 16 . △ ABC 的 内 角 A , B, C的 对 边 分 别 为 a , 4 a s iB n s, C in

b ? c ? a ? 8 ,则 △ ABC 的面积为________.
2 2 2

三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 ) (一)必考题:共 60 分。
2

17. (12 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , nan?1 ? 2 ? n ? 1? an ,设 bn ? ⑴求 b1 , b2 , b3 ; ⑵判断数列 ?bn ? 是否为等比数列,并说明理由; ⑶求 ?an ? 的通项公式.

an . n

18. (12 分)如图,在平行四边形 ABCM 中, AB ? AC ? 3 ,∠ACM ? 90? ,以 AC 为折痕将 △ ACM 折起,使点 M 到达点 D 的位置,且 AB ⊥DA . ⑴证明:平面 ACD ⊥ 平面 ABC ; ⑵ Q 为线段 AD 上一点, P 为线段 BC 上一点,且
BP ? DQ ? 2 DA ,求三棱锥 Q ? ABP 的体积. 3

19. (12 分)某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据,得到频数分布表如下: 未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用 水量 频数 日用 水量 频数

?0 ,0.1?
1

?0.1,0.2? ?0.2 ,0.3?
3 2

?0.3 ,0.4?
4

?0.4 ,0.5?
9

?0.5 ,0.6?
26

?0.6 ,0.7?
5

使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表

?0 ,0.1?
1

?0.1,0.2?
5

?0.2 ,0.3?
13

?0.3 ,0.4?
10

?0.4 ,0.5?
16

?0.5 ,0.6?
5

⑴在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天的日用水 量数据的频率分布直方图: ⑵估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于 0.35m3 的概率; ⑶估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少 水?(一年按 365 天计算,同一组中的数据以这组 数据所在区间中点的值作代表. )

0? , 20. (12 分)设抛物线 C:y 2 ? 2 x ,点 A ? 2 ,

3

B ? ?2 ,0 ? ,过点 A 的直线 l 与 C 交于 M , N 两点.
⑴当 l 与 x 轴垂直时,求直线 BM 的方程; ⑵证明: ∠ABM ? ∠ABN .

21. (12 分)已知函数 f ? x ? ? aex ? ln x ? 1 . ⑴设 x ? 2 是 f ? x ? 的极值点.求 a ,并求 f ? x ? 的单调区间; 1 ⑵证明:当 a ≥ , f ? x ? ≥ 0 . e

(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计 分。 22.[选修 4—4:坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的方程为 y ? k x ? 2 .以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 3 ? 0 . ⑴求 C2 的直角坐标方程; ⑵若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点,求 C1 的方程.

23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分) 已知 f ? x ? ? x ? 1 ? ax ? 1 . ⑴当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? ? 1 的解集;

1? 时不等式 f ? x ? ? x 成立,求 a 的取值范围. ⑵若 x ∈? 0 ,

4

2018 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标Ⅰ卷)文 数 答 案
1.A【解析】 A ? B ? {0, 2},故选 A. 2.C【解析】∵ z ?

1? i ? 2i ? i ,∴ z ? 1,∴选 C 1? i

3.A【解析】由图可得, A 选项, 设建设前经济收入为 x ,种植收入为 0.6 x .建设后经济收入则为 2 x , 种植收入则为 0.37 ? 2 x ? 0.74 x ,种植收入较之前增加. 4.C【解析】知 c ? 2 ,∴ a 2 ? b2 ? c 2 ? 8 , a ? 2 2 ,∴离心率 e ? 5.B【解析】截面面积为 8 ,所以高 h ? 2 2 ,底面半径 r ?
2

2 . 2

2 ,所以表面积为

S ? ? ? ( 2) ? 2 ? 2? ? 2 ? 2 2 ? 12? . 6.D【解析】∵ f ( x ) 为奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) ,即 a ? 1 ,∴ f ( x) ? x3 ? x ,∴ f '(0) ? 1 ,∴ 切线方程为: y ? x ,∴选 D.
? ? ??? ? ??? ? 3 ??? ? 1 ??? ? 1 ???? ??? 1 1 ??? AD ? AB ? ? [ ( AB ? AC )] ? AB ? AB ? AC . 2 2 2 4 4 2 2 2 8.B【解析】 f ( x) ? 2cos x ? (1 ? cos x) ? 2 ? 3cos x ? 1 ,∴最小正周期
7.A【解析】由题可 EB ? EA ? AB ? ? 为 ? ,最大值为 4 . 9.B 【解析】 三视图还原几何体为一圆柱, 如图, 将侧面展开, 最短路径为 M , N 连线的距离,所以 MN ? 4 ? 2 ? 2 5 ,所以选 B.
2 2

??? ?

??? ?

??? ?

? 10.C 【 解 析 】 连 接 AC1 和 BC1 , ∵ AC1 与 平 面 BB1C1C 所 成 角 为 30 , ∴ ?AC1B ? 30? ,



AB ? tan 30? , BC1 ? 2 3 ,∴ CC1 ? 2 2 ,∴ V ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 8 2 . BC1

2 11.B【解析】由 cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ?

5 cos2 ? 1 2 2 ? 可得 cos ? ? ? ,化简可 2 2 2 3 6 sin ? ? cos ? tan ? ? 1

5

5 5 a 5 b 5 5 2 5 ;当 tan ? ? 时,可得 ? , ? ,即 a ? ,b ? ,此时 5 5 1 5 2 5 5 5 5 5 ;当 tan ? ? ? 时,仍有此结果. a?b ? 5 5 1 1 12.D【解析】取 x ? ? ,则化为 f ( ) ? f ( ?1) ,满足,排除 A,B; 2 2 取 x ? ?1 ,则化为 f (0) ? f (?2) ,满足,排除 C,故选 D.
得 tan ? ? ? 二、填空题 13. ?7 【解析】可得 log 2 (9 ? a) ? 1 ,∴ 9 ? a ? 2 , a ? ?7 . 14. 6【解析】 画出可行域如图所示, 可知目标函数过点 (2,0) 时取得最大值,zmax ? 3 ? 2 ? 2 ? 0 ? 6 . 15. 2 2 【解析】由 x2 ? y 2 ? 2 y ? 3 ? 0 ,得圆心为 (0, ?1) ,半径为 2 , ∴圆心到直线距离为 d ? 16.

2 ? 2 .∴ AB ? 2 22 ? ( 2) 2 ? 2 2 . 2

2 3 【解析】根据正弦定理有: sin B sin C ? sin C sin B ? 4sin A sin B sin C , 3 1 2 2 2 ∴ 2sin B sin C ? 4sin A sin B sin C ,∴ sin A ? .∵ b ? c ? a ? 8 , 2 b2 ? c 2 ? a 2 4 3 8 3 1 2 3 ∴ cos A ? ,∴ bc ? ,∴ S ? bc sin A ? . ? ? 2bc bc 2 3 2 3
1 (2 ? 3 ? a2 ) ? 12 , 2

三、解答题 17.解: (1)依题意, a2 ? 2 ? 2 ? a1 ? 4 , a3 ? ∴ b1 ?

a a1 a ? 1 , b2 ? 2 ? 2 , b3 ? 3 ? 4 . 1 2 3 a 2a (2)∵ nan?1 ? 2(n ? 1)an ,∴ n ?1 ? n ,即 bn?1 ? 2bn , n ?1 n ∴ {bn } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列. a n ?1 n ?1 (3)∵ bn ? b1q ? 2 ? n ,∴ an ? n ? 2n?1 . n
? 18.解: (1)证明:∵ ABCM 为平行四边形且 ?ACM ? 90 ,∴ AB ? AC ,

又∵ AB ? DA ,∴ AB ? 平面 ACD , ∵ AB ? 平面 ABC ,∴平面 ABC ? 平面 ACD . (2)过点 Q 作 QH ? AC ,交 AC 于点 H , ∵ AB ? 平面 ACD ,∴ AB ? CD , 又∵ CD ? AC ,∴ CD ? 平面 ABC , ∴

HQ AQ 1 ? ? ,∴ HQ ? 1, CD AD 3

∵ BC ? 3 2, BC ? AM ? AD ? 3 2 , ∴ BP ? 2 2 ,又∵ ?ABC 为等腰直角三角形,

6

∴ S?ABP ?

1 1 1 2 ? 3? 2 2 ? ? 3 ,∴ VQ ? ABD ? ? S ?ABD ? HQ ? ? 3 ? 1 ? 1 . 3 3 2 2

19.解: (1)如图; (2)由题可知用水量在 [0.3, 0.4] 的频数为 10 ,所以可估计在 [0.3, 0.35) 的频数为 5 ,故用水量小 于 0.35m3 的频数为 1 ? 5 ? 13 ? 5 ? 24 ,其概率为 P ?

24 ? 0.48 . 50

(3)未使用节水龙头时, 50 天中平均每日用水量为:

1 (0.05 ?1 ? 0.15 ? 3 ? 0.25 ? 2 ? 0.35 ? 4 ? 0.45 ? 9 ? 0.55 ? 26 ? 0.65 ? 7) ? 0.506m3 , 50
一年的平均用水量则为 0.506 ? 365 ? 184.69m3 . 使用节水龙头后, 50 天中平均每日用水量为:

1 (0.05 ?1 ? 0.15 ? 5 ? 0.25 ?13 ? 0.35 ? 10 ? 0.45 ? 16 ? 0.55 ? 5) ? 0.35m3 , 50
一年的平均用水量则为 0.35 ? 365 ? 127.75m3 , ∴一年能节省 184.69 ? 127.75 ? 56.94m .
3

(1)当 l 与 x 轴垂直时, l 的方程为 x ? 2 ,代入 y 2 ? 2 x , 20. 解: ∴ M (2, ?2), N (2, 2) 或 M (2, 2), N (2, ?2) ,∴ BM 的方程为: 2 y ? x ? 2 ? 0, 或 2 y ? x ? 2 ? 0 . (2)设 MN 的方程为 x ? my ? 2 ,设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,联立方程 ?

? x ? my ? 2
2

? y ? 2x 2 得 y ? 2my ? 4 ? 0 ,∴ y1 ? y2 ? 2m, y1 y2 ? ?4 , x1 ? my1 ? 2, x2 ? my2 ? 2 , y1 y y1 y2 ? 2 ? ? ∴ kBM ? kBN ? x1 ? 2 x2 ? 2 my1 ? 4 my2 ? 4 2my1 y2 ? 4( y1 ? y2 ) ? ? 0, (my1 ? 4)(my2 ? 4) ∴ kBM ? ?kBN ,∴ ?ABM ? ?ABN .
1 . x



x 21.解: (1) f ( x ) 定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? ae ?

2 ∵ x ? 2 是 f ( x ) 极值点,∴ f ?(2) ? 0 ,∴ ae ?

1 1 ?0?a ? 2 . 2 2e

x x ∵ e 在 (0, ??) 上增, a ? 0 ,∴ ae 在 (0, ??) 上增.



1 在 (0, ??) 上减,∴ f ?( x ) 在 (0, ??) 上增.又 f ?(2) ? 0 , x 1 ,单调增区间为 (2, ??) ,单调减区间为 (0, 2) . 2e 2
7

∴当 x ? (0, 2) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 减;当 x ? (2, ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 增. 综上, a ?

(2)∵ e x ? 0 ,∴当 a ?

1 1 x x x ?1 时有 ae ? ? e ? e , e e

∴ f ( x) ? aex ? ln x ?1 ? ex?1 ? ln x ?1 . 令 g ( x) ? e x?1 ? ln x ? 1, x ? (0, ??) .

g ?( x) ? e x ?1 ?

1 1 1?1 ,同(1)可证 g ?( x ) 在 (0, ??) 上增,又 g ?(1) ? e ? ? 0 , x 1

∴当 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 减;当 x ? (1, ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 增. ∴ g ( x)min ? g (1) ? e1?1 ? ln1 ?1 ? 1 ? 0 ?1 ? 0 , ∴当 a ?

1 时, f ( x) ? g ( x) ? 0 . e

22.解: (1)由 ? 2 ? 2? cos? ? 3 ? 0 可得: x2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,化为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 . (2)C1 与 C2 有且仅有三个公共点, 说明直线 y ? kx ? 2(k ? 0) 与圆 C2 相切,圆 C2 圆心为 (?1, 0) ,

半径为 2 ,则

?k ? 2

4 4 ? 2 ,解得 k ? ? ,故 C1 的方程为 y ? ? x ? 2 . 3 3 k 2 ?1

?2 ? 23.解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1|? ?2 x ??2 ?
∴ f ( x) ? 1 的解集为 {x | x ? } .

x ?1 ?1 ? x ? 1 , x ? ?1

1 2

(2)当 a ? 0 时, f ( x) ?| x ? 1| ?1 ,当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? x 不成立. 当 a ? 0 时, x ? (0,1) ,∴ f ( x) ? x ? 1 ? (1 ? ax) ? (a ? 1) x ? x ,不符合题意. 当 0 ? a ? 1 时, x ? (0,1) , f ( x) ? x ? 1 ? (1 ? ax) ? (a ? 1) x ? x 成立.

1 ? (a ? 1) x, ? 1 ? x ? ? ? a 当 a ? 1 时, f ( x) ? ? ,∴ (1 ? a) ?1 ? 2 ? 1 ,即 a ? 2 . ?(1 ? a ) x ? 2, x ? 1 ? a ?
综上所述, a 的取值范围为 (0, 2] .

8


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