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广东省华南师大附中2017届高三综合测试数学文


华南师大附中 2017 届高三综合测试(一) 数学(文科)
第一部分 选择题(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
1.已知 A ? ?1, 2, 4,8,16? , B ? ? y | y ? log 2 x, x ? A? ,则 A ? B ? ( A. ?1, 2? B. ?2, 4,8? C. ?1, 2, 4? D. ?1, 2, 4,8? ) )

2.已知曲线 y ? A.4 B.3

1 2 1 x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 8 2 1 C.2 D. 2


3.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( A. y ? x ? sin x
2

B. y ? x ? cos x
2

C. y ? 2 x ?

1 2x

D. y ? x ? sin 2 x

4.为了得到函数 y ? cos ? 2 x ? A.向左平移 C.向右平移

? ?

2? 3

? ? 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象( ?



? ?
6 6

个单位长度 个单位长度

B.向左平移 D.向右平移

? ?
3 3

个单位长度 个单位长度 )

5.已知 f ? cos x ? ? 4 ? cos 2 x ,则 f ? 0 ? 的值为( A.3 B.4 C.5 D.8

6.已知向量 a, b ,满足 a ? 2b A.

? ?

?

?

? ? ? ? ? ? ? a ? b ? ?6 ,且 a ? 1, b ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为(

??

?



?
4

B.

?
3

C.

?
6

D.

2? 3


7.已知 a ? log 0.7 0.8, b ? log1.1 0.9, c ? 1.10.9 ,则 a, b, c 的大小关系是( A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? a ? c D. c ? a ? b

8.在 ?ABC 中,有一个内角为 30°, “ ?A ? 300 ”是“ sin A ? A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要
·1·

1 ”的( 2

)条件.

D.既不充分也不必要

9.函数 y ?

2x 的图象大致为( ln x



A.

B.

C.

D.

10.对于函数 f ? x ? ? lg x ? 2 ? 1 ,有如下三个命题: ① f ? x ? 2 ? 是偶函数; ② f ? x ? 在区间 ? ??, 2 ? 上是减函数,在区间 ? 2, ?? ? 上是增函数; ③ f ? x ? 2 ? ? f ? x ? 在区间 ? 2, ?? ? 上是增函数; 其中正确命题的序号是( A.①② ) D.①②③

B.①③ C.②③

11.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,若 cos A ?

1 , b ? 3c ,则 sin C ? ( 3



A.

2 2 9

B.

2 2 1 C. 3 3

D.

6 9

12.已知函数 f ? x ? ? ?

2 ? ? x ? 2 x, x ? ? ??, 0 ? , g ? x ? ? x 2 ? 4 x ? 4 ,若存在实数 a ,使得 ? ?? ? ?ln ? x ? 1? , x ? ? 0,

f ? a ? ? g ? x ? ? 0 ,则 x 的取值范围为(
A. ? ?1,5? B. ? ??, ?1? ? ?5, ?? ?

) D. ? ??,5?

C. ? ?1, ?? ?

第二部分 非选择题(共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) ? ? ? ? ? ? 13.已知 a ? ? 3, ?1? , b ? ?1, ?2 ? ,若 ? a ? b / / a ? kb ,则实数 k 的值是____________.

?

? ?

?

14.已知 sin 2? ?

2 ?? ? ,则 cos 2 ? ? ? ? ? ____________. 3 4? ?

·2·

15.已知命题 p : 函数 y ? log a ? ax ? 2a ? ? a ? 0且a ? 1? 的图象必过定点 ? ?1,1? ;命题 q : 如果函数

y ? f ? x ? 3? 的图象关于原点对称,那么函数 y ? f ? x ? 的图象关于点 ? 3, 0 ? 对称,则命题 p ? q 为
__________(填“真”或“假” ) . 16.平面向量 a, b 中,若 a ? ? 4, ?3? , b ? 1 ,且 a ? b ? 5 ,则向量 b ? __________.

? ?

?

?

? ?

?

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 10 分) 设 U ? R ,集合 A ? x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? x | ? x ? m ?? x ? 1? ? 0 ,若 ? CU A ? ? B ? ? ,求 m 的 值. 18.(本小题满分 12 分)

?

?

?

?

b ,其中向量 a ? ? 2 cos x,1? , b ? cos x, 3 sin 2 x , x ? R . 设函数 f ? x ? ? a ?
(1)若 f ? x ? ? 1 ? 3 且 x ? ? ?

? ?

?

?

?

?

? ? ?? ,求 x 的值; , ? 3 3? ? ? ? ?

(2)若函数 y ? 2sin 2 x 的图象按向量 c ? ? m, n ? ? m ? 数 m, n 的值. 19.(本小题满分 12 分)

??

? 平移后得到函数 y ? f ? x ? 的图象,求实 2?

在三角形 ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且三角形的面积为 S ? (1)求角 B 的大小; (2)已知 a 2 ? c 2 ? 4ac ,求 sin A sin C 的值. 20.(本小题满分 12 分)

3 ac cos B . 2

a 2 x ? ? t ? 1? 设函数 f ? x ? ? ? a ? 0且a ? 1? 是定义域为 R 的奇函数. ax
(1)求 t 的值; (2)若 f ?1? ? 0 ,求使不等式 f kx ? x 2 ? f ? x ? 1? ? 0 对一切 x ? R 恒成立的实数 k 的取值范围.

?

?

·3·

21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? ax 2 ? x ? 1 e x ? a ? 0 ? . (1)当 a ? ?1 时,函数 y ? f ? x ? 与 g ? x ? ? 范围; (2)讨论 f ? x ? 的单调性. 选作题:请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲. 如图,直线 AB 过圆心 O ,交圆 O 于 A、B ,直线 AF 交圆 O 于 F (不与 B 重合) ,直线 l 与圆 O 相 切于 C ,交 AB 于 E ,且与 AF 垂直,垂足为 G ,连接 AC .

?

?

1 3 1 2 x ? x ? m 的图象有三个不同的交点,求实数 m 的 3 2

求证: (1) ?BAC ? ?CAG ; (2) AC 2 ? AE ?AF . 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程. 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

?x ? t2 ? y?t
2

( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴正半轴

为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 ? cos ? ? 4 ? 0 . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程 ; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标( ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ) 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? x ? 5 . (1)求函数 y ? f ? x ? 的值域;

·4·

(2)求不等式 f ? x ? ? x ? 8 x ? 15 的解集.
2

参考答案
一、选择题 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 D 5 C 6 B 7 C 8 C 9 B 10 A 11 C 12 A

二、填空题 13. -1 14. 三、解答题: 17.解: A ? ??2, ?1? ,因为 ? ? ? m ? 1? ? 4m ? 0 ,所以 B 非空,由 ? CU A ? ? B ? ? ,得 B ? A ,
2

1 6

15. 真 16. ?

? 4 3? ,? ? ?5 5?

当 m ? 1 时, B ? ??1? ,符合 B ? A ;当 m ? 1 时, B ? ??1, ? m? ,而 B ? A ,所以 ? m ? ?2 ,即

m ? 2 .所以 m ? 1或2 .
18.解: (1)依题设, f ? x ? ? a ? b ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2sin ? 2 x ?

? ?

? ?

??

?, 6?

由 1 ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

?? 3 ? , ? ? 1 ? 3 ,得 sin ? 2 x ? ? ? ? 6? 2 6? ?
·5·

因为 ?

?
3

?x?

?
3

,所以 ?

?
2

? 2x ?

?
6

?

所以 2 x ?

?
6

??

?
3

,即 x ? ?

?
4

5? , 6



19.解: (1)在三角形 ABC 中, S ? 由已知 S ?

1 ac sinB , 2

3 1 3 ac cos B ,可得 ac sin B ? ac cos B , 2 2 2

∴ tan B ? 3 , ∵ B 为三角形内角, ∴ 0 ? B ? ? ,∴ B ?

?
3



(2)∵ a 2 ? c 2 ? 4ac ,又∵ a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2ac cos B ,∴ b 2 ? 2ac cos B ? 4ac ∵B ?

?
3



∴ b 2 ? 3ac . 由正弦定理可得 sin 2 B ? 3sin A sinC , ∵B ?

?
3



∴ sin A sin C ?

1 . 4
x ?x

20.解: (1) 法 1: 因为 f ? x ? 是定义域为 R 的奇函数所以 f ? 0 ? ? 0 , 得 t ? 2 . 此时 f ? x ? ? a ? a 故 f ??x? ? a
?x



? a x ? ? f ? x ? 成立,所以 t 的值为 2.

法 2:因为 f ? x ? 是定义域为 R 的奇函数所以 f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,即

·6·

x ?x x ?x a ? x ? ? t ? 1? a x ? ? ? ? a ? ? t ? 1? a ? ? ,所以 ? 2 ? t ? ? a ? a ? ? 0 对 x ? R 恒成立,所以 2 ? t ? 0 ,

即t ? 2. (2)由(1)得 f kx ? x 2 ? f ? x ? 1? ? 0 ,得 f kx ? x 2 ? ? f ? x ? 1? ,因为 f ? x ? 为奇函数,所 以 f kx ? x 2 ? f ?1 ? x ? . 因为 a ? 1 ,所以 f ? x ? ? a ? a
x ?x

?

?

?

?

?

?

为 R 上的增函数.
2

所以 kx ? x 2 ? 1 ? x 对一切 x ? R 恒成立,即 x ? ? k ? 1? x ? 1 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,故

? ? ? k ? 1? ? 4 ? 0 ,解得 ?3 ? k ? 1 .
2

21.(1)当 a ? ?1 时, f ? x ? ? g ? x ? ? ? x 2 ? x ? 1 e x ? ?

?

?

?1 3 1 2 ? x ? x ? m? , 2 ?3 ?

故 m ? ? x2 ? x ? 1 ex ? ?

?

?

?1 3 1 2? x ? x ?, 2 ? ?3 ?1 3 1 2? x ? x ?, 2 ? ?3

令 h ? x ? ? ? x2 ? x ?1 ex ? ?

?

?

则 h? ? x ? ? ? x 2 ? x e x ? x 2 ? x ? ? x ? x ? 1? e x ? 1 , 故当 x ? ?1 时, h? ? x ? ? 0 ;当 ?1 ? x ? 0 时, h? ? x ? ? 0 ;当 x ? 0 时, h? ? x ? ? 0 ;

?

?

?

?

?

?

3 1 3 1 h ? ?1? ? ? ? , h ? 0 ? ? ?1 ,故 ? ? ? m ? ?1 . e 6 e 6
(2)因为 f ? x ? ? ax 2 ? x ? 1 e x ,所以

?

?

2a ? 1 ? x ? f ? ? x ? ? ? 2ax ? 1? e x ? ? ax 2 ? x ? 1? e x ? ? ax 2 ? ? 2a ? 1? x ? e x ? ax ? x ? ?e . a ? ?
1 时, f ? ? x ? ? 0 恒成立,故函数 f ? x ? 在 R 上单调递减; 2 1 2a ? 1 2a ? 1 当 a ? ? 时,x ? ? 时, f ? ? x ? ? 0, ? 当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 , ? x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 , 2 a a
当a ? ? 故函数 f ? x ? 在 ? ??, ? 时,
·7·

? ?

1 2a ? 1 ? ? 2a ? 1 ? , 0 ? 上递增,在 ? 0, ?? ? 上递减;当 ? ? a ? 0 ? 上递减,在 ? ? 2 a ? a ? ?

x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0, 0 ? x ? ?

2a ? 1 2a ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ; a a

故函数 f ? x ? 在 ? ??, 0 ? 上单调递减,在 ? 0, ? 22.证明: (1)

? ?

2a ? 1 ? ? 2a ? 1 ? , ?? ? 上单调递减. ? 上单调递增,在 ? ? a ? a ? ?

连结 BC , AB 是圆 O 直径,∴ ?ACB ? 900 ,∴ ?ACB ? ?AGC ? 900 ,

GC 切圆 O 于 C ,
∴ ?GCA ? ?ABC ,∴ ?BAC ? ?CAG . (2)连结 CF , EC 切圆 O 于 C , ∴ ?ACE ? ?AFC , 又 ?BAC ? ?CAG ,∴ ?ACF ? ?AEC , ∴

AC AF ,∴ AC 2 =AE ?AF . ? AE AC

23.(1)曲线 C1 的参数方程为 ?

?x ? t2 ? y?t

? t为参数 ? ,普通方程为 y

2

? x,

将?

? x ? ? cos ? 2 ,代入上式化简得 ? sin ? ? cos ? , y ? ? sin ? ?
2

即 C1 的极坐标方程为 ? sin ? ? cos ? ? 0 . (2)曲线 C2 的极坐标方程 ? ? 2 ? cos ? ? 4 ? 0 化为平面直角坐标方程为 x ? y ? 2 x ? 4 ? 0 ,将
2 2 2

. y 2 ? x 代入上式得 x 2 ? 3 x ? 4 ? 0 ,解得 x ? 1, x ? ?4 (舍去) 当 x ? 1 时, y ? ?1 ,所以 C1 与 C2 交点的平面直角坐标为 A ?1,1? , B ?1, ?1? . 因为 ? A ? 1+1= 2,? B ? 1 ? 1 ?

2, tan ? A ? 1, tan ? B ? ?1, ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ,
·8·

所以 ? A ?

?
4

,? B ?

7? ?? ? 7? ? ,故 C1 与 C2 交点的极坐标 A ? 2, ? , B ? 2, 4 4? ? 4 ?

? ?. ?

3, x ? 5 ? ? 24.解: (1)由题, f ? x ? ? ? 2 x ? 7, 2 ? x ? 5 因此,当 2 ? x ? 5 时,函数 y ? f ? x ? 为增函数,因 ? ?3, x ? 2 ?
此 ?3 ? f ? 2 ? ? f ? x ? ? f ? 5 ? ? 3 ;所以,函数 y ? f ? x ? 的值域为 ? ?3,3? . (2)由题,不等式 f ? x ? ? x ? 8 x ? 15 等价于
2

x?5 2? x?5 x?2 ? ? ? 或? 2 或? 2 ; ? 2 ? x ? 8 x ? 15 ? 3 ? x ? 8 x ? 15 ? 2 x ? 7 ? x ? 8 x ? 15 ? ?3
解之得 5 ? x ? 6或5 ? 3 ? x ? 5 或无解; 所以,所求为 ?5 ? 3, 6 ? .

?

?

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·9·


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