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2017届江西省抚州市七校高三上学期联考数学(理)试题


第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1.若集合 M ? ? x ? N | x ? 6? , N ? x | x 2 ? 11x ? 18 ? 0 ,则 M ? N 等于( A. ?3, 4,5? B. ? x | 2 ? x ? 6? C. ? x | 3 ? x ? 5? D. ?2,3, 4,5?

?

?



2. A , B , C 三个学生参加了一次考试, A , B 的得分均为 70 分, C 的得分为 65 分.已 知命题 p :若及格分低于 70 分,则 A , B , C 都没有及格.在下列四个命题中,为 p 的 逆否命题的是( )

A.若及格分不低于 70 分,则 A , B , C 都及格 B.若 A , B , C 都及格,则及格分不低于 70 分 C.若 A , B , C 至少有 1 人及格,则及格分不低于 70 分 D.若 A , B , C 至少有 1 人及格,则及格分高于 70 分 3.设 f ( x) ? g ( x) ? A. x 3

?

x ?1

x

2tdt ,x ? R , 若函数 f ( x) 为奇函数, 则 g ( x) 的解析式可以为 (
B. 1 ? x C. cos x D. xe x



4.在△ ABC 中,A ,B ,C 的对边分别是 a ,b ,c , 若 b cos A ? a cos B ? c 2 ,a ? b ? 2 , 则△ ABC 的周长为( A. 7.5 ) B. 7 C. 6 D. 5 )

5. 在正项等差数列 ?an ? 中, a12 ? 2a5 ? a9 ,且 a5 ? a6 ? a7 ? 18 ,则( A. a1 , a2 , a3 成等比数列 C. a3 , a4 , a8 成等比数列 6.若 sin( x ? B. a4 , a6 , a9 成等比数列 D. a2 , a3 , a5 成等比数列 )

?

1 ? ) ? ,则 tan(2 x ? ) ? ( 6 3 3
B. ?

A.

7 9

7 9
??? ?

C.

4 2 7
??? ?

D. ?

4 2 7

7.在 Rt △ AOB 中, OA ? OB ? 0 , | OA |? 5 , | OB |? 2 5 , AB 边上的高线为 OD ,

??? ? ??? ?

???? ??? ? 3 ,则向量 EA 在向量 OD 上的投影为( ) 4 3 1 1 3 A. B. 1 C. 1 或 D. 或 2 2 2 2 f ( x) 8.已知函数 f ( x) 与 f '( x) 的图象如下图所示,则函数 g ( x) ? 的递减区间( ) ex 4 4 A. (0, 4) B. (??,1) , ( , 4) C. (0, ) D. (0,1) , (4, ??) 3 3
点 E 位于线段 OD 上,若 OE ? EA ?

??? ? ??? ?

9.将函数 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) 的图象向左平移

?
12

个单位, 再向上平移 1 个单位, 得到 g ( x) )

的图象.若 g ( x1 ) g ( x2 ) ? 9 ,且 x1 , x2 ? ? ?2? , 2? ? ,则 2 x1 ? x2 的最大值为( A.

17? 4 1 10.若数列 ?an ? 满足 (2n ? 3) an ?1 ? (2n ? 5) an ? (2n ? 3)(2n ? 5) lg(1 ? ) ,且 a1 ? 5 ,则数 n 49? 12
B.

35? 6

C.

25? 6

D.

列?

? an ? ? 的第 100 项为( ? 2n ? 3 ?
B.3
x

) C. 1 ? lg 99
2

A.2

D. 2 ? lg 99

11.已知函数 f ( x) ? 2 ? 5 , g ( x) ? 4 x ? x ,给出下列 3 个命题:

p1 :若 x ? R ,则 f ( x) f (? x) 的最大值为 16. p2 :不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集为集合 ? x | ?1 ? x ? 3? 的真子集. p3 :当 a ? 0 时,若 ?x1 , x2 ? ? a, a ? 2? , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,则 a ? 3 .
那么,这 3 个命题中所有的真命题是( A. p1 、 p2 、 p3 B. p2 、 p3 ) C. p1 、 p2 D. p1

? x 2 ? x ? a, x ? 0, ? 12.已知函数 f ( x) ? ? 1 的图象上存在不同的两点 A , B ,使得曲线 ?? , x ? 0, ? x

y ? f ( x) 在这两点处的切线重合,则实数 a 的取值范围是(
A. (??, )

) D. (??, 2) ? ( , ??)

1 4

B. (2, ??)

C. (?2, )

1 4

1 4

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. sin 63? cos18? ? cos 63? cos108? ? 14.设函数 f ( x) ? ? . .

?1 ? log 6 x, x ? 4,
2 ? f ( x ), x ? 4,

则 f (3) ? f (4) ?

15.在△ ABC 中, D 为线段 BC 上一点(不能与端点重合), ?ACB ?

?
3

, AB ?

7,

AC ? 3 , BD ? 1 ,则 AD ?


2 2 2 2

an ?1 ? an ? bn ? an ? bn , bn ?1 ? an ? bn ? an ? bn , 16.在数列 ?an ? 及 ?bn ? 中, a1 ? 1 ,
b1 ? 1 .设 cn ? 2n (
1 1 ? ) ,则数列 ?cn ? 的前 n 项和为 an bn


三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17.已知 m ? 0 ,向量 a ? (m,3m) ,向量 b ? (m ? 1, 6) ,集合

?

?

A ? ? x | ( x ? m 2 )( x ? m ? 2) ? 0? .
(1)判断“ a / / b ”是“ | a |? 10 ”的什么条件; (2)设命题 p :若 a ? b ,则 m ? ?19 .命题 q :若集合 A 的子集个数为 2,则 m ? 1 .判 断 p ? q , p ? q , ?q 的真假,并说明理由. 18.已知△ ABC 的面积为 (1)求

?

?

?

?

?

? ???? 3 ??? AB ? AC ,且 AC ? 2 , AB ? 3 . 2

sin A ; sin B

(2)若点 D 为 AB 边上一点,且△ ACD 与△ ABC 的面积之比为 1:3. (i)求证: AB ? CD ; (ii)求△ ACD 内切圆的半径 r . 19.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的

危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入 200 万元,搭建了甲、乙两个 无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入 20 万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根 据以往的种菜经验,发现这种西红柿的年收入 P 、种黄瓜的年收入 Q 与投入 a (单位:万 元)满足 P ? 80 ? 4 2a , Q ?

1 a ? 120 .设甲大棚的投入为 x (单位:万元),每年能 4

两个大棚的总收益为 f ( x) (单位:万元). (1)求 f (50) 的值; (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益 f ( x) 最大? 20.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? n 2 ? an ? 1 ,且 a1 , a4 是等比数列 ?bn ? 的前两项,记 bn 与 bn ?1 之间包含的数列 ?an ? 的项数为 cn ,如 b1 与 b2 之间包含 ?an ? 中的项为 a2 , a3 ,则

c1 ? 2 .
(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?an cn ? 的前 n 项和. 21.已知函数 f ( x) ? ( x ? a )e ,其中 a ? R .
x

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 A(0, a ) 处的切线 l 与直线 y ?| 2a ? 2 | x 平行,求 l 的方程; (2)若 ?a ? ?1, 2? ,函数 f ( x) 在 (b ? e , 2) 上为增函数,求证: e 2 ? 3 ? b ? e a ? 2 .
a

22.记 max ?m, n? 表示 m , n 中的最大值,如 max 3, 10 ? 10 .已知函数

?

?

1 ? ? f ( x) ? max ? x 2 ? 1, 2 ln x? , g ( x) ? max ? x ? ln x, ? x 2 ? (a 2 ? ) x ? 2a 2 ? 4a ? . 2 ? ?
(1)设 h( x) ? f ( x) ? 3( x ? )( x ? 1) 2 ,求函数 h( x) 在 (0,1] 上零点的个数; (2)试探讨是否存在实数 a ? (?2, ??) ,使得 g ( x) ? 若存在,求 a 的取值范围;若不存在,说明理由.

1 2

3 x ? 4a 对 x ? (a ? 2, ??) 恒成立? 2

江西省抚州市高三七校联考数学试卷(理科)答案
一、选择题
题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 D 5 B 6 D 7 D 8 D 9 A 10 B 11 A 12 C

二、填空题 13.

2 2

14.4

15. 7

16. 2

n?2

?4

三、解答题 17.解:(1)若 a / / b ,则 6m ? 3m(m ? 1) ,∴ m ? 1 ( m ? 0 舍去), 此时, a ? (1,3) , | a |? 10 .

?

?

?

?

则 m 2 ? 2 ? m ,∴ m ? 1 或 m ? ?2 ,故 q 为假命题. ∴ p ? q 为真命题, p ? q 为假命题, ?q 为真命题. 18.解:(1)∵△ ABC 的面积为

1 3 ? bc sin A ? bc cos A ,∴ tan A ? 3 ,∴ A ? . 2 2 3

由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? 9 ? 6 ? 7 ,∴ a ?

7,

∴由正弦定理得

sin A a 7 . ? ? sin B b 2

(2)(i)∵△ ACD 与△ ABC 的面积之比为 AD : AB ? 1: 3 ,∴ AD ? 1 , 由余弦定理得 CD ?

3,

∴ AD 2 ? CD 2 ? AC 2 ,∴ AD ⊥ CD ,即 AB ⊥ CD . (ii)在 Rt △ ADC 中, r ?

AD ? CD ? AC 3 ?1 . ? 2 2

19.解:(1)因为甲大棚投入 50 万元,则乙大棚投入 150 万元,

1 ?150 ? 120 ? 277.5 . 4 1 1 (2) f ( x) ? 80 ? 4 2 x ? (200 ? x) ? 120 ? ? x ? 4 2 x ? 250 , 4 4
所以 f (50) ? 80 ? 4 2 ? 50 ? 依题意得 ?

? x ? 20, 1 解得 20 ? x ? 180 ,故 f ( x) ? ? x ? 4 2 x ? 250 4 ?200 ? x ? 20,

( 20 ? x ? 180 ). 令t ?

? x ?? ? 2 5, 6 5 ? ,
1 2 1 t ? 4 2t ? 250 ? ? (t ? 8 2) 2 ? 282 , 4 4

则 f ( x) ? ?

当 t ? 8 2 ,即 x ? 128 时, f ( x) max ? 282 , 所以投入甲大棚 128 万元,乙大棚 72 万元时,总收益最大,且最大收益为 282 万元. 20.解:(1)由题意知, S n ? n 2 ? an ? 1 , S n ?1 ? (n ? 1) 2 ? an ?1 ? 1 ( n ? 2 ), 两式作差得 an ? 2n ? 1 ? an ? an ?1 ,即 an ?1 ? 2n ? 1 ( n ? 2 ), 所以 an ? 2n ? 1 ,则 a1 ? 3 , a4 ? 9 , 所以 b1 ? 3 , b2 ? 9 , q ?

b2 ? 3 ,所以 bn ? b1 ? q n ?1 ? 3n . b1

(2) bn ? 3n , bn ?1 ? 3n ?1 ,因为数列 ?an ? 是由连续的奇数组成的数列,而 bn 和 bn ?1 都是奇 数,所以 bn 与 bn ?1 之间包含的奇数个数为

3n ?1 ? 3n ? 1 ? 3n ? 1 ,所以 cn ? 3n ? 1 . 2

an cn ? (2n ? 1)(3n ? 1) ? (2n ? 1)3n ? (2n ? 1) .设 ?(2n ? 1)3n ? 的前 n 项和为 Tn , Tn ? 3 ? 31 ? 5 ? 32 ? 7 ? 33 ? … ? (2n ? 1)3n ,① 3Tn ?
① ? ②,得

3 ? 32 ? 5 ? 33 ? … ? (2n ? 1)3n ? (2n ? 1)3n ?1 ,②

?2Tn ? 9 ? 2 ?

9 ? 3n ?1 ? (2n ? 1)3n ?1 ? ?2n ? 3n ?1 ,则 Tn ? n ? 3n ?1 , 1? 3

所以数列 ?an cn ? 的前 n 项和为 Tn ? S n ? n ? 3n ?1 ? n 2 ? 2n . 21.解:(1)∵ f '(0) ? a ? 1 ?| 2a ? 2 | ,∴ a ? 3 或
x

1 . 3

当 a ? 3 时, f ( x) ? ( x ? 3)e , f (0) ? 3 ,所以 l 的方程为 y ? 4 x ? 3 . 当a ?

1 1 1 4 1 时, f ( x) ? ( x ? )e x , f (0) ? ,所以 l 的方程为 y ? x ? . 3 3 3 3 3
x a

(2)由题意可得 f '( x) ? ( x ? a ? 1)e ? 0 对 x ? (b ? e , 2) 恒成立, ∵ e x ? 0 ,∴ x ? a ? 1 ? 0 ,即 x ? ? a ? 1 对 x ? (b ? e , 2) 恒成立,
a

∴ ? a ? 1 ? b ? e a ,即 b ? e a ? a ? 1 对 a ? ?1, 2? 恒成立, 设 g (a ) ? e ? a ? 1 , a ? ?1, 2? ,
a

则 g '(a ) ? e ? 1 ? 0 ,
a

∴ g ( a ) 在 ?1, 2? 上递增,∴ g (a ) max ? g (2) ? e 2 ? 3 ,∴ b ? e 2 ? 3 . 又 b ? e a ? 2 ,∴ e 2 ? 3 ? b ? e a ? 2 . 22.解:(1)设 F ( x) ? x ? 1 ? 2 ln x , F '( x) ? 2 x ?
2

2 2( x ? 1)( x ? 1) , ? x x

令 F '( x) ? 0 ,得 x ? 1 , F ( x) 递增;令 F '( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 , F ( x) 递减. ∴ F ( x) min ? F (1) ? 0 ,∴ F ( x) ? 0 ,即 x 2 ? 1 ? 2 ln x ,∴ f ( x) ? x ? 1 .
2

设 G ( x) ? 3( x ? )( x ? 1) 2 ,结合 f ( x) 与 G ( x) 在 (0,1] 上图象可知,这两个函数的图象在

1 2

(0,1] 上有两个交点,即 h( x) 在 (0,1] 上零点的个数为 2.
(2)假设存在实数 a ? (?2, ??) ,使得 g ( x) ?

3 x ? 4a 对 x ? (a ? 2, ??) 恒成立, 2

3 ? x ? ln x ? x ? 4a, ? ? 2 则? 对 x ? (a ? 2, ??) 恒成立, 1 3 2 2 2 ? ? x ? ( a ? ) x ? 2a ? 4a ? x ? 4a , ? ? 2 2

1 ? ?ln x ? x ? 4a, 即? 对 x ? (a ? 2, ??) 恒成立, 2 ?( x ? 2)( x ? a 2 ) ? 0 ?
(i)设 H ( x) ? ln x ?

1 1 1 2? x , x , H '( x) ? ? ? 2 x 2 2x

令 H '( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 2 , H ( x) 递增;令 H '( x) ? 0 ,得 x ? 2 , H ( x) 递减. ∴ H ( x) max ? h(2) ? ln 2 ? 1 . 当 0 ? a ? 2 ? 2 ,即 ?2 ? a ? 0 时, 4a ? ln 2 ? 1 ,∴ a ? ∵ a ? 0 ,∴ a ? ( 故当 a ? (

ln 2 ? 1 1 , 0) 时, ln x ? x ? 4a 对 x ? (a ? 2, ??) 恒成立. 4 2

ln 2 ? 1 , 0) . 4

ln 2 ? 1 , 4

当 a ? 2 ? 2 ,即 a ? 0 时, H ( x) 在 (a ? 2, ??) 上递减,

1 a ?1 . 2 1 1 1 ∵ (ln(a ? 2) ? a ? 1) ' ? ? ? 0 ,∴ H (a ? 2) ? H (0) ? ln 2 ? 1 ? 0 2 a?2 2 1 故当 a ? 0 时, ln x ? x ? 4a 对 x ? (a ? 2, ??) 恒成立. 2
∴ H ( x) ? H ( a ? 2) ? ln( a ? 2) ? (ii)若 ( x ? 2)( x ? a ) ? 0 对 x ? (a ? 2, ??) 恒成立,则 a ? 2 ? a 2 ,∴ a ? ? ?1, 2? .
2

ln 2 ? 1 , 2] . 4 3 故存在实数 a ? (?2, ??) ,使得 g ( x) ? x ? 4a 对 x ? (a ? 2, ??) 恒成立, 2 ln 2 ? 1 且 a 的取值范围为 ( , 2] . 4
由(i)及(ii)得, a ? (


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