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福建省泉州市泉港区2016


福建省泉州市泉港区 2016-2017 学年高一数学下学期期中试题
(考试时间:120分钟 总分:150分)

★友情提示:要把所有答案都写在答题卷上,写在试卷上的答案无效。 一、选择题(每题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的) 1.在空间直角坐标系中,A(0,2,4),B(1,4,6),则|AB|等于 ( A.2 B.2 2 C. 7 ) D.3 ( )

2.直线 l 过点 P(-1,2),倾斜角为 135°,则直线 l 的方程为 A.x+y-1=0 C.x+y-3=0 3. 下列命题正确的是( ) B.x-y+1=0 D.x-y+3= 0

A.若两个平面平行于同一条直线,则这两个平面平行 B.若有两条直线与两个平面都平行,则这两个平面平行 C. 若有一条直线与两个平面都垂直,则这两个平面平行 D. 若有一条直线与这两个平面所成的角相等,则这两个平面平行 4.已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中

B′O′=C′O′=1,A′O′=
A.等边三角形

3 ,那么原△ABC 是一个 2

(

)

B.直角三角形 D.三边互不相等的三角形 )
2

C.三边中只有两边相等的等腰三角形

5.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的侧面积等于 ( A.12π cm
2

B.15π cm

2

C.24π cm

2

D.30π cm

6.若三棱锥P-ABC 的三个侧面与底面 ABC 所成角都相等, 则顶点P在底面的射影为 △ ABC 的( A.外心 B.重心 C. 内心 D.垂心 )

)

7. 圆 C 1 : x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 与圆 C 2 : x2 ? y 2 ? 4x ? 8 y ? 11 ? 0 的位置关系为( A.相交
2

B.相离
2

C.外切

D.内切 )

8. 若 P(2,-1)为圆 x ? y ? 2x ? 24 ? 0 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( A.x-y-3=0 C.x+y-1=0
2 2

B.2x+y-3=0 D.2x-y-5=0

9.已知点 P 是圆 x +y =1 上动点,定点 Q(6,0),点M是线段 PQ 靠近 Q 点的三等分点, 则点 M 的轨迹方程是( )

1

A.(x+3) +y =4 C.(2x-3) +4y =1
2 2

2

2

B.(x-4) +y =
2 2

2

2

1 9

D.(2x+3) +4y =1

10.若圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 上恰有四个点到直线 2 x ? y ? m ? 0 的距离等于 1, 则实数 m 的取值范围是 方程是 A. C. ( B. )

? ?2 ? 5, ?2 ? 5 ? ? ?4 ? 3 5, ?4 ? 5 ?
B. 10

? ?4 ? ?

5, ?4 ? 5

D. ?4 ? 5, ?4 ? 3

? 5?
) D. 5

2 2 11. 已知实数 x,y 满足方程 2x+y+5=0,那么 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 5 的最小值为(

A. 2 10

C.2 5

12.函数 y ?

sin ? ? 3 ? ? ?? ,? ? ?? , ? 的值域为( cos ? ? 2 ? 2 2?
2 3 2 3? , ?2 ? ? 3 3 ? ? ?

)

A. ? ?2 ?

? ?

B. ? ?2, ?2 ?

4 3? ? 3 ? 2 3? ? 3 ?

D1

A1
E A D F

H
B1

C1

C. ? ?2, ?1?

D. ? ?2, ?2 ?

? ?

G

C
B

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E,F,G,H 分别为 AA1 , AB , BB1 , B1C1 的中点,则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于 14. 已知直线 l1 : y ? 3x ? 4 和直线 l 2 : 关于点M(2,1)对称,则 l 2 的方程为 15. 如果直线

y ? ax ? 2 与直线 y ? 3x ? b 关于直线 y ? x 对称,那么 a ? b ?
2 2

16. 已知⊙M: x ? ( y ? 2) ? 1, Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两点,求动弦 AB 的 中点 P 的轨迹方程为

三、解答题。(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明,推理过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)求经过直线 l1 : 3x ? 4 y ? 1 ? 0 与直线 l 2 : x ? 2 y ? 8 ? 0 的交点 M ,且满 足下列条件的直线 l 的方程: (1)与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 平行; 垂直。
2

(2)与直线 2 x ? y ? 5 ? 0

18. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是直角梯形 ABCD,其中 AD⊥AB,CD∥AB, AB=4,CD=2,侧面 PAD 是边长为 2 的等边三角形,且与底面 ABCD 垂直,E 为 PA 的中点. (1)求证:DE∥平面 PBC (2)求PB与平面ABCD所成角的正弦值;

3

19. (本小题满分 12 分)已知 ? ABC 的顶点 A(2,3) ,B(-2,1) ,重心G(1,2) (1)求 BC 边中点 D 的坐标; (3)求 ? ABC 的面积; (2)求 AB 边的高线所在直线的方程;

20. (本小题满分 12 分)已知圆 C: (x-2) +(y-3) =16 及直线 l: (m+2)x+(3m+1)y=15m+10(m ∈R). (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交; (2)当直线 l 被圆 C 截得的弦长的最短时,求此时直线 l 方程.

2

2

4

21、 (本小题满分 12 分)如图,已知四边形 ABCD 是正方形, EA ? 平面 ABCD,

PD // EA , AD ? PD ? 2 EA ? 2 , F , G , H 分别为 BP , BE , PC 的中点.
(1)求四棱锥 P—BCD 外接球(即P,B,C,D四点都在球面上)的表面积; (2)求证:平面 FGH ? 平面 AEB ; (3)在线段 PC 上是否存在一点 M ,使 PB ? 平面 EFM ?若存在,求出线段 PM 的长;若不存在,请 说明理由.

22、(本小题满分 12 分)如图,已知圆 C:x +y -4x-14y+45=0 及点 Q(-2,3) (1)若点 P(m,m+1)在圆 C 上,求直线 PQ 的斜率以及直线 PQ 与圆 C 的相交弦 PE 的长度; (2) 若N(x,y)是直线 x ? y ? 1 ? 0 上任意一点,过N作圆 C 的切线,切点为A,当切线长 NA 最 小时,求N点的坐标,并求出这个最小值. (3) 若 M(x,y)是圆上任意一点,求

2

2

y-3 的最大值和最小值. x+2

5

高一数学科试题参考答案 一、选择题

1—5:DACAB

6—10:CCABB

11—12:CD

二 、 13.

60 °
2

14

.

3x ? y ? 6 ? 0

15.

19 3

7? 1 ? 16. x ? ? y ? ? ? (y ? 2) 4 ? 16 ?
2

三、解答 题 17:解: (1) ? 交点M(-3,-2.5) ????3 分 ????6 分

? 4 x ? 2 y ? 17 ? 0
(2) ? x ? 2 y ? 2 ? 0

????10 分

18.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是直角梯形 ABCD,其中 AD⊥AB,CD∥AB,AB=4,CD=2,侧面 PAD 是边长为 2 的等边三角形,且与底面 ABCD 垂直,E 为 PA 的中点. (1)求证:DE∥平面 PBC (2)求PB与平面ABCD所成角的余弦值; (3)求点 D 到平面 PBC 的距离; 18: (1)解: 取 PB 中点 F,连 EF,CF,

?四边形 DEFC 为平行四边形 ? DE ∥CF????2 分
又∵ DE ? 平面 PBC , CF ? 平面 PBC ∴DE∥现面 PBC ????4 分

(2)作 PO⊥AD 于 O,连 BO ∵侧面 PAD 是边长为 2 的等边三角形,且与底面 ABCD 垂直 ∴AO=DO 又∵侧面 PAD 与底面 ABCD 垂直,且交线为 AD ∴PO⊥底面 ABCD ∴∠PBO 就是PB与平面ABCD所成角 ∵在直角 ? PBO 中, PO ? 3 , BO ? 17, PB ? 2 5 ????6 分

6

∴ sin ?PBO ?

15 10

????8 分

19.解: (1)∵ ? ABC 的重心为 G ∴ AG ? 2GD ????1 分 设 D(a,b) ,则 a=0.5 (2) ? C(3,2) , b=1.5 ????4 分 ????5 分

????

????

?K

AB

?

1 2

? y ? 2 ? ?2( x ? 3)
即 2x ? y ? 8 ? 0 ∴AB 边的高线所在直线的方程为 2 x ? y ? 8 ? 0 ????8 分 (3) AB ? 2 5 直线 AB 方程: x ? 2y ? 4 ? 0 ??11 分 ????9 分 ????10 分 点 C 到直线 AB 的距离 d ?

3 5 5

??

S? ABC ? 3

????12 分

20:解:(1)证明:直线 l 可化为 2x+y-10+m(x+3y-15)=0, 即不论 m 取什么实数,它恒过两直线 2x+y-10=0 与 x+3y-15=0 的交点.两方程联立,解 得交点为(3,4). 又有(3-2) +(4 -3) =2<16, ∴点(3,4)在圆内部, ∴不论 m 为何实数,直线 l 与圆恒相交.????6 分
2 2

(2)解: 从(1)的结论和直线 l 过定点 M(3,4)且与过此点的圆 C 的半径垂直时, l 被圆所截的弦长|AB| 最短, 此时,kl=- 1 ????8 分 P

kCM

,从而 kl=-

1 =-1,??10 分 4-3 3-2 F E D G A

H M

∴l 的方程为 y-4=-(x-3),即 x+y=7. ???12 分

21 证明:(Ⅰ) ? 四棱锥 P—BCD 外接球半径 R ? 3 ????2 分

C

?四棱锥 P—BCD 外接球的表面积为 12?

????4 分

B

7

(Ⅱ)因为 EA ? 平面 ABCD ,所以 EA ? CB . 又因为 CB ? AB , AB ? AE ? A , 所以 CB ? 平面 ABE . ????6 分

由已知 F , H 分别为线段 PB , PC 的中点, 所以 FH // BC . 则 FH ? 平面 ABE . 而 FH ? 平面 FGH , 所以平面 FGH ? 平面 ABE ???.8

(Ⅲ)在线段 PC 上存在一点 M , 使 PB ? 平面 EFM . 证明如下 :

在直角三角形 AEB 中 , 因为

AE ? 1 , AB ? 2 , 所以 BE ? 5 .

在直角梯形 E A D P 中 , 因为 AE ? 1 , AD ? PD ? 2 , 所以

PE ? 5 ,
所 以 P E ? B E. 又 因 为 F 为 PB 的 中 点 , 所 以 E F ? P B. 要 使 PB ? 平 面 EFM , 只 需 使

PB ? FM .
因为 PD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? CB ,又因为 CB ? CD , PD ? CD ? D , 所以 CB ? 平面 PCD ,而 PC ? 平面 PCD ,所以 CB ? PC . 若 PB ? FM , 则 ?PFM ∽ ?PCB , 可 得

P M ? P B

P F . P C

由 已 知 可 求 得

PB ? 2 3 , PF ? 3 , PC ? 2 2
,所以 PM ?

3 2 2

???.12

22.解: (1)∵点 P(m,m+1)在圆 C 上,代入圆 C 的方程,解得 m=4,∴P(4,5) 5-3 1 1 故直线 PQ 的斜率 k= = .因此直线 PQ 的方程为 y-5= (x-4).即 x-3y+11=0, 4-?-2? 3 3 而圆心(2,7)到直线的距离 d= 2 40 4 10 = .???4 分 5 5 (2)∵ NA ? |2-3×7+11| 8 4 10 2 2 = = ,所以 PE=2 r -d =2 5 10 10 32 8- = 5

NC 2 ? r 2 ? NC 2 ? 8
????6 分 ??8 分

∴当 NC 最小时,NA 最小又知当 NC ? l 时,NC 最小∴ NC ? d ? 2 5

?过 C 且与直线 x ? y ? 1 ? 0 垂直的直线方程: x ? y ? 5 ? 0 ∴N(-3,2)
(3)∵kMQ=

y-3 , x+2

∴题目所求即为直线 MQ 的斜率 k 的最值,且当直线 MQ 为圆的切线时,斜率取最值. 设直线 MQ 的方程为 y-3=k(x+2),即 kx-y+2k+3=0.

8

|2k-7+2k+3| 当直线与圆相切时,圆心到直线的距离 d= =r=2 2 1+k 两边平方,即(4k-4) =8(1+k ),解得 k=2- 3,或 k=2+ 3. 所以
2 2

2.

y-3 的最 大值和最小值分别为 2+ 3和 2- 3. x+2

????12 分

9


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