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中山市高二级2009—2010学年度第一学期期末统一考试(数学理)


中山市高二级 2009—2010 学年度第一学期期末统一考试

数学试卷(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题) 、第 II 卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上。 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上。 3、不可以使用计算器。 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交。

第 I 卷(选择题

共 40 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.在△ABC 中, A ? 135 ? , C ? 30 ? ,c=20,则边 a 的长为 A. 1 0 2 B. 2 0 2 C. 2 0 6 D.
20 6 3

2.不等式 x (9 ? x ) ? 0 的解集是 A. (0, 9) B. (9, ? ? ) C. ( ? ? , 9) D. ( ? ? , 0 ) ? (9, ? ? ) 3.已知数列 { a n } 满足 a 1 ? 1 , a n ? a n ? 1 2 ? 1 ( n ? 1) ,则 a 5 ? A.0 B.-1 C.-2 D.3 4.设函数 f(x)的图象如右图所示,则导函数 f ?(x)的图象可能为 y
y ? f '( x )

y
y ? f (x)

y
y ? f '( x )

O O 1 4 x O 1 4 x

1

4

x

A. y
y ? f '( x )

B. y
y ? f '( x )

O

1

4

x

O

1

4

x

C.

D.
高二数学(理) 第 1 页(共 4 页)

5.四个不相等的正数 a 、 b 、 c 、 d 成等差数列,则下列关系式一定成立的是 A.
a?d 2 ? bc

B.

a?d 2

?

bc

C.

a?d 2

?

bc

D.

a?c 2

?

bd

6.命题“ ? x 0 ? R, x 0 2 ? x 0 ? 1 ? 0 ”的真假判断及该命题的否定为 A.真; ? x 0 ? R, x 0 2 ? x 0 ? 1 ? 0 B.假; ? x 0 ? R, x 0 2 ? x 0 ? 1 ? 0 C.真; ? x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 D.假; ? x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 7.我市某企业在 2009 年元月份为战胜国际背景下的金融危机,积极响应国务院提 出的产业振兴计划,对每周的自动化生产项目中进行程序优化. 在程序设计中,需 要采用一个七进制计数器,所谓七进制即“逢七进一” ,如 1 2 0 3 ( 7 ) 表示七进制数,将它 转换成十进制形式,是 1 ? 7 3 ? 2 ? 7 2 ? 0 ? 7 1 ? 3 ? 7 0 = 444,那么将七进制数 6???6 6 ? ? 6?
12

(7 )

转换

成十进制形式是 A. 7 1 3 ? 7 8.椭圆 C: ① 曲线
x
2

B. 7 1 2 ? 7
? x
2

C. 7 12 ? 1

D. 7 11 ? 1

y

2

25

9 ?

? 1 的焦点为 F1, F 2 ,有下列研究问题及结论: y
2

25 ? k

9?k

? 1 ( k ? 9 ) 与椭圆 C 的焦点相同;

② 一条抛物线的焦点是椭圆 C 的短轴的端点,顶点在原点,则其标准方程为
x ? ?6 y ;
2

③ 若点 P 为椭圆上一点,且满足 P F1 ?P F 2 ? 0 ,则 P F1 ? P F 2 ? 8. 则以上研究结论正确的序号依次是 A.①② B.②③ C.①③ D. ①②③

???? ???? ?

????

???? ?

第 II 卷(非选择题共 110 分)
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上) 9. 如果双曲线 距离是
x
2

?

y

2

36

100

? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 7, 那么点 P 到另一个焦点 F 2 的

. . . .

10.已知函数 f ( x ) ? ( x ? 2 ) e 2 x ,则 f '(0 ) ?

??? ? ??? ? 11.已知向量 O A =(2,-1,2) O B =(1,0,3) , ,则 cos ? O A B ?

?0 ? x ? 2 ? 12.当 x、 y 满足不等式组 ? y ? 0 时,目标函数 t ? x ? y 的最大值是 ? y ? x ?1 ?

13.数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ? 2 n ? c ,其中 c 为常数,则该数列 { a n } 为等比数列的充要 条件是 .
高二数学(理) 第 2 页(共 4 页)

14.为迎接 2010 年11 月 12 日至 27 日在广州举办的第 16 届亚运会,某高台跳水运动员加 强训练,经多次统计与分析,得到 t 秒时该运动员相对于水面的高度(单位:m)是
h ( t ) ? ? 4 . 8t ? 8t ? 1 0. 则该运动员在 t ? 2 秒时的瞬时速度为
2

m / s ,经过



后该运动员落入水中. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 15. (13 分)已知函数 f ( x ) ? sin x ?
1 2 x , x ? (0, ? ) .

(1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)求函数 f ( x ) 的图象在点 x ?
?
3

处的切线方程.

16. (13 分) 某市在进行城市环境建设中, 要把一个三 角形的区域改造成市内公园. 经过测量得到这个三角 形区域的三条边长分别为 70 m、90 m、120 m . (1)求该三角形区域最大角的余弦值; (2)求该三角形区域的面积.

C 17. (13 分) 如图, 一块矿石晶体的形状为四棱柱, 底面 ABCD 是正方形, C 1 ? 3, C D ? 2 ,

且 ? C 1C B ? ? C 1C D ? 60 ? .
???? ? ??? ?

(1)设 C D ? a , C B ? b,C C 1 ? c , 试用 a , b , c 表示 A1 C ; (2)O 为四棱柱的中心,求 C O 的长; (3)求证: A1 C ? B D .

? ???? ?

?

? ? ?

???? ?

18. (13 分)斜率为

4

B 两点. (1)求该抛物线的标准方程和准线方程; (2)求线段 AB 的长;

的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点 F (1, 0 ) ,且与抛物线相交于 A、 3 y A

F
O

x B

高二数学(理)

第 3 页(共 4 页)

19. (14 分)某热电厂积极推进节能减排工作,技术改造项 目“循环冷却水系统”采用双曲线型冷却塔(如右图) ,以 使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用,从而 实现热电系统循环水的零排放. (1)冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的 曲面,要求它的最小半径为 12 m,上口半径为 13 m,下口半径 为 20 m,且双曲线的离心率为 为多少? (2)该项目首次需投入资金 4000 万元,每年节能后可 增加收入 600 万元. 投入使用后第一年的维护费用为 30 万 元,以后逐年递增 20 万元. 为使年平均节能减排收益达 到最大值,多少年后报废该套冷却塔系统比较适合?
34 3

,试求冷却塔的高应当设计

20. (14 分)已知函数 f ( x ) ?

1 2

x ? 3x ?
2

3 4

. 定义函数 f ( x ) 与实数 m 的一种符号运算为

m ? f ( x ) ? f ( x ) ? f ( x ? m ) ? f ( x )] . [

(1)求使函数值 f ( x ) 大于 0 的 x 的取值范围; (2)若 g ( x ) ? 4 ? f ( x ) ?
7 2 x ,求 g ( x ) 在区间 [0, 4 ] 上的最大值与最小值;
2

(3)是否存在一个数列 { a n } ,使得其前 n 项和 S n ? 4 ? f ( n ) ? 通项;若不存在,请说明理由.

7 2

n . 若存在,求出其
2

高二数学(理)

第 4 页(共 4 页)

中山市 2009—2010 学年度第一学期期末统一考试

高二数学试卷(理科)答案
一、选择题:BABC BDCC 二、填空题:9. 19; 10. 5; 11. 三、解答题: 15. 解: f '( x ) ? co s x ?
1 2
3 9



12. 5; 13. c ? ? 1 ;

14. ? 11.2 ,2.5 .

.

??(2 分)
1 2 ? 0 ,解得 x ? (0 ,

(1)由 x ? (0, ? ) 及 f '( x ) ? co s x ?

?
3

).

∴ 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0 , ) .
3

?

??(6 分) ??(8 分) ??(10 分) ??(13 分)

(2) f ( ) ? sin
3

?

?
3

?

1 2

?

?
3

?

3 2

?
1 2

?
6

.

切线的斜率 k ? f '( ) ? co s
3

?

?
3

?

?0.

∴ 所求切线方程为: y ?

3 2

?

?
6

.

16. 解: (1)设 a=70 m,b=90 m,c=120 m ,则最大角为角 C. ??(2 分) 根据余弦定理的推论,得
co s C ? a ?b ?c
2 2 2

?

70 ? 90 ? 120
2 2

2

2ab

2 ? 70 ? 90

??(5 分) ??(7 分)

? ?

1 9

.
1 4 5 9

(2) sin C ? 1 ? ( ? ) 2 ?
9


5 9 ? 1 4 0 0 .

??(9 分) ??(12 分) ??(13 分)
???? ? ? ?

S? ?

1 2

a b i n C? s

1 2

4 ? 7 0? 9 0 ?

5

所以该三角形区域的面积是 1400 5 m 2 . 17. 解: (1)由 C D ? a , C B ? b,C C 1 ? c ,得 C A1 ? a ? b ? c .
???? ? ? ? ? 所以, A1 C ? ? a ? b ? c . ???? ? ??? ? ? ???? ? ?

??(2 分) ??(3 分) ??(4 分) ??(5 分)

(2)O 为四棱柱的中心,即 O 为线段 A1 C 的中点. 由已知条件,得
高二数学(理)

? ? ? ? ? ? ? ? ? | a | ? | b | ? 2 , | c | ? 3 , a ?b ? 0 , ? a , c ? ? 60 ? , ? b , c ? ? 60 ? .

第 5 页(共 4 页)

根据向量加减法得 B D ? a ? b , C A1 ? a ? b ? c .
2 2 2

????

?

?

????

?

?

?

???? ???? 2 ? ? ? ?2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? 2 2 | C A1 | ? C A1 ? ( a ? b ? c ) ? a ? b ? c ? 2 a ?b ? 2 b ?c ? 2 a ?c
? 2 ? 2 ? 3 ? 0 ? 2 ? 3 ? 2 ? cos 60 ? ? 2 ? 3 ? 2 ? cos 60 ? ? 29 .

??(8 分)

∴ A1 C 的长为 2 9 . 所以 C O ?
29

.

??(9 分)

2 ???? ???? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 ? ? (3)∵ C A1 ?B D ? ( a ? b ? c ) ?( a ? b ) ? a ? a ?c ? b ? b ?c

? 2 ? 2 ? 3 ? cos 60 ? ? 2 ? 2 ? 3 ? cos 60 ? ? 0 ,
2 2

??(12 分) ??(13 分)

∴ C A1 ? B D . 18. 解: (1)由焦点 F (1, 0 ) ,得
p 2 ? 1 ,解得 p ? 2 .

??(2 分) ??(4 分)

所以抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,其准线方程为 x ? ? 1 , (2)设 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) . 直线 l 的方程为 y ?
4 3
4 ? ? y ? ( x ? 1) 3 与抛物线方程联立,得 ? , ? y2 ? 4x ?

?( x ? 1) .

??(5 分)

??(7 分) ??(9 分)
17 4 ?2? 25 4

y A′ F
O

A

消去 y,整理得 4 x 2 ? 17 x ? 4 ? 0 , 由抛物线的定义可知, A B ? x1 ? x 2 ? p ? 所以,线段 AB 的长为
25 4

. B′

B

x

.

??(13 分)

19. 解: (1)如图,建立平面直角坐标系. 设双曲线方程为
c a c 12 34 3

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) .

由题意可知, a ? 12 , e ?

?

?

,解得 c ? 4 3 4 .?(2 分) ??(3 分) ??(4 分)

从而 b 2 ? c 2 ? a 2 ? ( 4 3 4 )2 ? 1 22 ? 4 0 0 . ∴ 双曲线方程为
x
2

?

y

2

?1.

144

400

高二数学(理)

第 6 页(共 4 页)

将 x ? 13 代入,解得 | y |?
25 3

25 3

; x ? 20
105 3

代入,解得 | y |?

80 3

.

??(6 分)

所以,冷却塔的高为

?

80 3

?

(m ) .

??(7 分)

(2) n 年后的年平均减排收益为
6 0 0 n ? [3 0 n ? n ( n ? 1) 2 n
? ?10(n ? 400

? 20] ? 4000 ?

?10n ? 580n ? 4000
2

??(9 分)

n

400 ) ? 580 ? ?10 ? 2 n? ? 580 ? 180 . n n

??(11 分)

当且仅当 n ?

400 n

即 n ? 20 时等号成立.

??(12 分) ??(13 分)

所以,20 年后报废该套冷却塔系统比较适合.

20. 解: (1)由 f ( x ) ? 0 ,得

1 2

x ? 3x ?
2

3 4
42

?0,

??(1 分)
42 2

即 2 x 2 ? 12 x ? 3 ? 0 ,解得 x ? 3 ?

或x ? 3?
42 2

.

2

所以,x 的取值范围为 ( ? ? , 3 ?
7 2
?( 1 2 x ? 3x ?
2

42 2

) ? (3 ?

, ?? ) .

??(3 分)

(2) g ( x ) ? 4 ? f ( x ) ?
3 4

x

2

)? [ {

1 2

( x ? 4 ) ? 3( x ? 4 ) ?
2

3 4

]? (

1 2

x ? 3x ?
2

3 4

)} ?

7 2

x

2

?(

1 2

x ? 3x ?
2

3 4

) ?(

1 2

? 8x ?

1 2

? 16 ? 3 ? 4) ?

7 2

x

2

?(

1 2

x ? 3x ?
2

3 4

) ?( 4 x ? 4 ) ?

7 2

x

2

? 2x ?
3

21 2

x ? 9x ? 3 .
2

??(5 分)

对 g ( x ) 求导,得 g '( x ) ? 6 x 2 ? 21 x ? 9 ? 3( x ? 3)(2 x ? 1) .
高二数学(理) 第 7 页(共 4 页)

令 g '( x ) ? 0 ,解得 x ?

1 2

或x ? 3.

??(6 分)

当 x 变化时, g '( x ) 、 g ( x ) 的变化情况如下表: x
g '( x )

0

(0 ,

1 2

)

1 2

(

1 2

, 3)

3 0
? 21 2

(3, 4 )

4

+ 3 ↗

0
41 8

- ↘
41 8

+ ↗
?1

g (x)

所以, g ( x ) 在区间 [0, 4 ] 上的最大值为 (3)存在. 由(2)得 S n ? 4 ? f ( n ) ? 当 n ? 2 时,
a n ? S n ? S n ?1 ? ( 2 n ?
3

,最小值为 ?

21 2

.

??(10 分)

7 2

n

2

? 2n ?
3

21 2

n ? 9n ? 3 .
2

??(11 分)

21 2

n ? 9 n ? 3) ? [ 2 ( n ? 1) ?
2 3

21 2

( n ? 1) ? 9 ( n ? 1) ? 3]
2

? 2 (3 n ? 3 n ? 1) ?
2

21 2

( ? 2 n ? 1) ? 9 ? 6 n ? 2 7 n ?
2

43 2

当 n ? 1 时, a1 ? S 1 ? 2 ? 13 ?
?7 ( n ? 1) ? ?2 所以, a n ? ? ?6n 2 ? 27 n ? 43 ? 2 ?

21 2

?1 ? 9 ?1? 3 ?
2

7 2

.

??(13 分)

.
(n ? 2)

??(14 分)

高二数学(理)

第 8 页(共 4 页)

1 题:教材必修⑤ P10 1(1)改编,考查正弦定理. 2 题:教材必修⑤ P80 习题 A 组第 1(4)题,考查一元二次不等式. 3 题:教材必修⑤ P31 练习第 2 题,考查递推数列. 4 题:教材选修 1-1 P91 例 1 改编,考查导数与函数单调性. 6 题:教材选修 1-1 P27 习题 A 组第 3(3)题,考查特称命题的否定及一元二次不等式. 8 题:教材选修 1-1 P68 习题 A 组第 3 题改编,考查椭圆几何性质、抛物线标准方程、 向量运算. 9 题:教材选修 2-1 P42 练习第 1 题改编,考查双曲线定义. 11 题:教材选修 2-1 P98 习题 3.1 A 组 7 题改编,考查空间向量的运算. 14 题:教材选修 1-1 P79 习题 3.1 A 组第 2 题改编,考查导数的物理意义、一元二次不 等式的应用问题. 15 题:教材选修 1-1 P91 例 2(3)改编,考查导数的几何意义、利用导数研究函数单 调性. 16 题:教材必修⑤ P17 例 8 改编,考查余弦定理、三角形面积计算. 17 题:教材选修 2-1 P105 例 1 改编,考查向量法. 18 题:教材选修 1-1 P61 例 4 改编,考查抛物线的标准方程及几何性质、直线与抛物 线相交的弦长计算. 19 题:教材选修 1-1 P51 例 4 改编,考查双曲线标准方程及几何性质、等差数列、基 本不等式的应用. 20 题:教材必修⑤ P81 习题 3.2 B 组第 3 题改编,考查一元二次不等式、利用导数研 究最大(小)值.

高二数学(理)

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