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道外区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________

一、选择题

道外区高中 2018-2019 学年高二下学期第二次月考试卷数学

1. 函数 f(x)=

有且只有一个零点时,a 的取值范围是( )

A.a≤0 B.0<a< C. <a<1 D.a≤0 或 a>1

2. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R,都有 f(x+2)=f(x).当 0≤x≤1 时,f(x)

=x2.若直线 y=x+a 与函数 y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数 a 的值是(



A.0 B.0 或

C. 或

D.0 或

3. 定义在 R 上的奇函数 f(x),满足

,且在(0,+∞)上单调递减,则 xf(x)>0 的解集为( )

A.

B.

C.

D.

4.

某个几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为 92+14π,则该几何体的体积为( )

A.80+20π

B.40+20π

C.60+10π

D.80+10π

5. 已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响,施工期间的年降水量 X(单位:mm)对工期延误天数

Y 的影响及相应的概率 P 如表所示:

降水量 X 工期延误天数 Y
概率 P

X<100 0
0.4

100≤X<200 5
0.2

200≤X<300 15
0.1

X≥300 30
0.3

在降水量 X 至少是 100 的条件下,工期延误不超过 15 天的概率为( )

A.0.1 B.0.3 C.0.42 D.0.5

6.如图所示,网格纸表示边长为 1 的正方形,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )

A.4

B.8

C.12

D.20

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【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识,意在考查空间想象能力和基本运算能力. 7.如图,设全集 U=R,M={x|x>2},N={0,1,2,3},则图中阴影部分所表示的集合是( ) A.{3} B.{0,1} C.{0,1,2} D.{0,1,2,3} 8. 设 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f′(x)的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

9. “ ? ? ? x ? ? ”是“ tan x ?1”的(



2

4

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法,正切函数的性质和图象,重点是单调性.

10.使得(3x2+ )n(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的 n=(



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A.3 B.5 C.6 D.10

11.有下列关于三角函数的命题 P1:?x∈R,x≠kπ+ (k∈Z),若 tanx>0,则 sin2x>0;
P2:函数 y=sin(x﹣ )与函数 y=cosx 的图象相同; P3:?x0∈R,2cosx0=3; P4:函数 y=|cosx|(x∈R)的最小正周期为 2π,其中真命题是( ) A.P1,P4 B.P2,P4 C.P2,P3 D.P1,P2

12.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=

,且 f(x)=f(x+2),g(x)=



则方程 g(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣3,7]上的所有零点之和为( ) A.12 B.11 C.10 D.9

二、填空题

13.命题:“?x∈R,都有 x3≥1”的否定形式为



14.设

f

(x)

?

x ex

,在区间[0,3] 上任取一个实数

x0

,曲线

f

(x)

在点 ? x0,

f

(x0)? 处的切线斜率为 k

,则随机

事件“ k ? 0 ”的概率为_________.

15.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=5,BC=4,AA1=3,沿该长方体对角面 ABC1D1 将其截成两部

分,并将它们再拼成一个新的四棱柱,那么这个四棱柱表面积的最大值为



16.(﹣ )0+[(﹣2)3]

=.

17.设幂函数 f ? x? ? kx? 的图象经过点 ?4, 2? ,则 k ?? = ▲ .
18.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药 量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比;药物释放完毕后,y 与 t 的函数关系式为 y=( )t﹣a(a 为常数),

如图所示,据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那从药物释放开 始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室.

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三、解答题
19.(本小题满分 13 分)
如图,已知椭圆 C : x2 ? y2 ? 1 的上、下顶点分别为 A, B ,点 P 在椭圆上,且异于点 A, B ,直线 AP, BP 4
与直线 l : y ? ?2 分别交于点 M , N , (1)设直线 AP, BP 的斜率分别为 k1, k2 ,求证: k1 ? k2 为定值; (2)求线段 MN 的长的最小值; (3)当点 P 运动时,以 MN 为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.
【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的位置关系,考查考生运算求解能力,分析问 题与解决问题的能力,是中档题.
20.某机床厂今年初用 98 万元购进一台数控机床,并立即投入使用,计划第一年维修、保养费用 12 万元,从 第二年开始,每年的维修、保养修费用比上一年增加 4 万元,该机床使用后,每年的总收入为 50 万元,设使 用 x 年后数控机床的盈利总额 y 元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)从第几年开始,该机床开始盈利? (3)使用若干年后,对机床的处理有两种方案:①当年平均盈利额达到最大值时,以 30 万元价格处理该机 床;②当盈利额达到最大值时,以 12 万元价格处理该机床.问哪种方案处理较为合理?请说明理由.
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21.(本小题满分 12 分) 两个人在进行一项掷骰子放球游戏中,规定:若掷出 1 点,甲盒中放一球;若掷出 2 点或 3 点,乙盒中
放一球;若掷出 4 点或 5 点或 6 点,丙盒中放一球,前后共掷 3 次,设 x, y, z 分别表示甲,乙,丙 3 个
盒中的球数.
(1)求 x ? 0 , y ? 1, z ? 2 的概率; (2)记? ? x ? y ,求随机变量? 的概率分布列和数学期望.
【命题意图】本题考查频离散型随机变量及其分布列等基础知识,意在考查学生的统计思想和基本的运算能力.
22.如图,AB 是⊙O 的直径,C,F 为⊙O 上的点,CA 是∠BAF 的角平分线,过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延 长线于 D 点,CM⊥AB,垂足为点 M. (1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)求证:AM?MB=DF?DA.

23.(本小题满分 12 分)

如图,在直二面角 E ? AB ? C 中,四边形 ABEF是矩形, AB ? 2, AF ? 2 3 , ?ABC是以 A 为直角顶

点的等腰直角三角形,点 P 是线段 BF 上的一点, PF ? 3.

(1)证明: FB ? 面 PAC ;

F

E
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P

(2)求异面直线 PC 与 AB 所成角的余弦值.

24.已知函数 f(x)=x3+x. (1)判断函数 f(x)的奇偶性,并证明你的结论; (2)求证:f(x)是 R 上的增函数; (3)若 f(m+1)+f(2m﹣3)<0,求 m 的取值范围. (参考公式:a3﹣b3=(a﹣b)(a2+ab+b2))

25.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知函数 f (x) ?| 2x ?1| .

(1)若不等式 f (x ? 1) ? 2m ?1(m ? 0) 的解集为 ???, ?2? ?2, ??? ,求实数 m 的值;
2

(2)若不等式

f

(x)

?

2y

?

a 2y

?

|

2x

? 3 | ,对任意的实数

x,

y?R

恒成立,求实数 a

的最小值.

26.(本题满分 12 分)已知向量 a ? (sin x, 3 (sin x ? cos x)) , b ? (cosx,sin x ? cosx) , x ? R ,记函数 2
f (x) ? a ?b .
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(1)求函数 f (x) 的单调递增区间; (2)在 ?ABC中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c 且满足 2b ? c ? 2a cosC ,求 f (B) 的取值范围.
【命题意图】本题考查了向量的内积运算,三角函数的化简及性质的探讨,并与解三角形知识相互交汇,对基 本运算能力、逻辑推理能力有一定要求,但突出了基础知识的考查,仍属于容易题.
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道外区高中 2018-2019 学年高二下学期第二次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:∵f(1)=lg1=0, ∴当 x≤0 时,函数 f(x)没有零点, 故﹣2x+a>0 或﹣2x+a<0 在(﹣∞,0]上恒成立, 即 a>2x,或 a<2x 在(﹣∞,0]上恒成立, 故 a>1 或 a≤0; 故选 D. 【点评】本题考查了分段函数的应用,函数零点与方程的关系应用及恒成立问题,属于基础题.
2. 【答案】D
【解析】解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=x2, ∴当﹣1≤x≤0 时,0≤﹣x≤1,f(﹣x)=(﹣x)2=x2=f(x), 又 f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期为 2 的函数, 又直线 y=x+a 与函数 y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,其图象如下:

当 a=0 时,直线 y=x+a 变为直线 l1,其方程为:y=x,显然,l1 与函数 y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不 同的公共点; 当 a≠0 时,直线 y=x+a 与函数 y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,由图可知,直线 y=x+a 与 函数 y=f(x)相切,切点的横坐标 x0∈[0,1].



得:x2﹣x﹣a=0,由△=1+4a=0 得 a=﹣ ,此时,x0=x= ∈[0,1].

综上所述,a=﹣ 或 0 故选 D.

3. 【答案】B

【解析】解:∵函数 f(x)是奇函数,在(0,+∞)上单调递减,且 f ( )=0,

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∴f (﹣ )=0,且在区间(﹣∞,0)上单调递减, ∵当 x<0,当﹣ <x<0 时,f(x)<0,此时 xf(x)>0 当 x>0,当 0<x< 时,f(x)>0,此时 xf(x)>0 综上 xf(x)>0 的解集为 故选 B

4. 【答案】 【解析】解析:选 D.该几何体是在一个长方体的上面放置了半个圆柱. 依题意得(2r×2r+12πr2)×2+5×2r×2+5×2r+πr×5=92+14π,
即(8+π)r2+(30+5π)r-(92+14π)=0, 即(r-2)[(8+π)r+46+7π]=0, ∴r=2, ∴该几何体的体积为(4×4+12π×22)×5=80+10π. 5. 【答案】D

【解析】解:降水量 X 至少是 100 的条件下,工期延误不超过 15 天的概率 P, 设:降水量 X 至少是 100 为事件 A,工期延误不超过 15 天的事件 B, P(A)=0.6,P(AB)=0.3,

P=P(B 丨 A)=

=0.5,

故答案选:D.

6. 【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥,且底面为长 6 ,宽 2 的矩形,高为 3,所以此四棱锥体积为 1 ?12? 3 ? 12 ,故选 C. 3
7. 【答案】C 【解析】解:由图可知图中阴影部分所表示的集合?M∩N, ∵全集 U=R,M={x|x>2},N={0,1,2,3}, ∴?M={x|x≤2}, ∴?M∩N={0,1,2}, 故选:C 【点评】本题主要考查集合的基本运算,根据条件确定集合的基本关系是解决本题的关键.

8. 【答案】D

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【解析】解:根据函数与导数的关系:可知,当 f′(x)≥0 时,函数 f(x)单调递增;当 f′(x)<0 时,函数 f(x)单调递减 结合函数 y=f(x)的图象可知,当 x<0 时,函数 f(x)单调递减,则 f′(x)<0,排除选项 A,C

当 x>0 时,函数 f(x)先单调递增,则 f′(x)≥0,排除选项 B 故选 D 【点评】本题主要考查了利用函数与函数的导数的关系判断函数的图象,属于基础试题

9. 【答案】A

【解析】因为

y

?

tan

x



? ??

?

? 2

,

? 2

? ??

上单调递增,且 ? ? 2

?

x

?

? 4

,所以 tan

x

?

tan

? 4

,即

tan

x

?1

.反之,当

tan x ?1时,k? ? ? ? x ? ? ? k? ( k ? Z ),不能保证 ? ? ? x ? ? ,所以“ ? ? ? x ? ? ”是“ tan x ?1”

2

4

2

4

2

4

的充分不必要条件,故选 A.

10.【答案】B

【解析】解:(3x2+ )n(n∈N+)的展开式的通项公式为 Tr+1= ?(3x2)n﹣r?2r?x﹣3r=

?x2n

﹣5r,

令 2n﹣5r=0,则有 n= ,

故展开式中含有常数项的最小的 n 为 5, 故选:B. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.

11.【答案】 D

【解析】解:对于 P1,?x∈R,x≠kπ+ (k∈Z),若 tanx>0,则 sin2x=2sinxcosx

=

=

>0,则 P1 为真命题;

对于 P2,函数 y=sin(x﹣ )=sin(2π+x﹣ )=sin(x+ )=cosx,则 P2 为真命题;

对于 P3,由于 cosx∈[﹣1,1], ?[﹣1,1],则 P3 为假命题;
对于 P4,函数 y=|cosx|(x∈R),f(x+π)=|cos(x+π)|=|﹣cosx|=|cosx|=f(x), 则 f(x)的最小正周期为 π,则 P4 为假命题. 故选 D. 【点评】本题考查全称性命题和存在性命题的真假,以及三角函数的图象和周期,运用二倍角公式和诱导公式 以及周期函数的定义是解题的关键,属于基础题和易错题.

12.【答案】B 【解析】解:∵f(x)=f(x+2),∴函数 f(x)为周期为 2 的周期函数,

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函数 g(x)=

,其图象关于点(2,3)对称,如图,函数 f(x)的图象也关于点(2,3)

对称, 函数 f(x)与 g(x)在[﹣3,7]上的交点也关于(2,3)对称, 设 A,B,C,D 的横坐标分别为 a,b,c,d, 则 a+d=4,b+c=4,由图象知另一交点横坐标为 3, 故两图象在[﹣3,7]上的交点的横坐标之和为 4+4+3=11, 即函数 y=f(x)﹣g(x)在[﹣3,7]上的所有零点之和为 11.

故选:B.

【点评】本题考查函数的周期性,函数的零点的概念,以及数形结合的思想方法.属于中档题.

二、填空题
13.【答案】 ?x0∈R,都有 x03<1 .
【解析】解:因为全称命题的否定是特称命题.所以,命题:“?x∈R,都有 x3≥1”的否定形式为:命题:“?x0∈R, 都有 x03<1”. 故答案为:?x0∈R,都有 x03<1. 【点评】本题考查全称命题与特称命题的否定关系,基本知识的考查.

14.【答案】 3 5

【解析】解析:本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算.

k

?

f

?(

x0

)

?

1

? x0 e x0

,由

f ?(x0 ) ? 0 得, x0

? 1,∴随机事件“ k

? 0 ”的概率为 2 3



15.【答案】 114 .

【解析】解:根据题目要求得出:

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当 5×3 的两个面叠合时,所得新的四棱柱的表面积最大,其表面积为(5×4+5×5+3×4)×2=114. 故答案为:114 【点评】本题考查了空间几何体的性质,运算公式,学生的空间想象能力,属于中档题,难度不大,学会分析 判断解决问题.

16.【答案】



【解析】解:(﹣ )0+[(﹣2)3] =1+(﹣2)﹣2 =1+ = .
故答案为: .

17.【答案】 3 2
【解析】

试题分析:由题意得 k ?1, 4? ? 2 ? ? ? 1 ? k ? ? ? 3

2

2

考点:幂函数定义

18.【答案】0.6

【解析】解:当 t>0.1 时,可得 1=( )0.1﹣a

∴0.1﹣a=0 a=0.1 由题意可得 y≤0.25= ,

即( )t﹣0.1≤ ,

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即 t﹣0.1≥
解得 t≥0.6, 由题意至少需要经过 0.6 小时后,学生才能回到教室. 故答案为:0.6 【点评】本题考查函数、不等式的实际应用,以及识图和理解能力.易错点:只单纯解不等式,而忽略题意, 得到其他错误答案.

三、解答题

19.【答案】

【解析】(1)易知 A?0,1?, B?0, ?1?,设 P? x0, y0 ? ,则由题设可知 x0 ? 0 ,

?

直线 AP 的斜率 k1 ?

y0 ?1 x0

,BP

的斜率

k2

?

y0 ?1 ,又点 P 在椭圆上,所以 x0

x02 4

?

y0

? 1 , ? x0

? 0? ,从而有 k1 ? k2

?

y0 ?1 x0

y0 ?1 ? x0

y02 ?1 ? ? 1

x02

4

.

(4 分)

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20.【答案】 【解析】解:(1)y=﹣2x2+40x﹣98,x∈N*. (2)由﹣2x2+40x﹣98>0 解得, 所以 x=3,4,,17,故从第三年开始盈利.

,且 x∈N*,

(3)由

,当且仅当 x=7 时“=”号成立,

所以按第一方案处理总利润为﹣2×72+40×7﹣98+30=114(万元). 由 y=﹣2x2+40x﹣98=﹣2(x﹣10)2+102≤102, 所以按第二方案处理总利润为 102+12=114(万元). ∴由于第一方案使用时间短,则选第一方案较合理.

21.【答案】

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【解析】(1)由 x ? 0 , y ? 1, z ? 2 知,甲、乙、丙 3 个盒中的球数分别为 0,1,2,

此时的概率

P

?

C31

?

1 3

?

? ??

1 2

2
? ??

?

1 4

.

(4 分)

22.【答案】
【解析】证明:(1)连接 OC,∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA, ∵CA 是∠BAF 的角平分线, ∴∠OAC=∠FAC ∴∠FAC=∠OCA, ∴OC∥AD.… ∵CD⊥AF,
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∴CD⊥OC,即 DC 是⊙O 的切线.… (2)连接 BC,在 Rt△ACB 中,CM⊥AB,∴CM2=AM?MB. 又∵DC 是⊙O 的切线,∴DC2=DF?DA. ∵∠MAC=∠DAC,∠D=∠AMC,AC=AC ∴△AMC≌△ADC,∴DC=CM, ∴AM?MB=DF?DA…
【点评】几何证明选讲重点考查相似形,圆的比例线段问题,一般来说都比较简单,只要掌握常规的证法就可 以了. 23.【答案】
【解析】(1)证明:以 A 为原点,建立空间直角坐标系,如图, 则 A(0, 0, 0) , B(2, 0, 0) , C(0, 2, 0) , F (0, 0, 2 3) . ∵ BF ? AB2 ? AF 2 ? 4 , PF ? 3, ∴ P( 3 , 0, 3 ) , FB ? (2, 0, ?2 3) ,
22 AC ? (0, 2, 0) , AP ? ( 3 , 0, 3 ) .
22 ∵ FB ? AC ? 0 ,∴ FB ? AC . ∵ FB ? AP ? 0 ,∴ FB ? AP . ∵ FB ? AC , FB ? AP , AC AP ? A, ∴ FB ? 平面 APC . (2)∵ AB ? (2, 0, 0) , PC ? (? 3 , 2, ? 3 ) ,
22 记 AB 与 PC 夹角为? ,则
cos? = AB ? PC ? ?3 ? 3 7 . AB PC 2 7 14
【方法 2】(1) FB ? 4 , cos ?PFA ? cos ?BFA ? 3 , 2
PA ? PF2 ? FA2 ? 2PF ? FA?cos?PFA
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? 9 ?12 ? 2?3? 2 3 ? 3 / 2 ? 3 . ∵ PA2 ? PF 2 ? 3 ? 9 ? 12 ? AF 2 ,

∴ PA ? BF .

∵平面 ABEF ? 平面 ABC ,

平面 ABEF 平面 ABC ? AB ,

AB ? AC , AC ? 平面 ABC ,

∴ AC ?平面 ABEF .

∵ BF ?平面 ABEF ,∴ AC ? BF .

∵ PAI AC ? A,∴ BF ? 平面 PAC . (2)过 P 作 PM // AB, PN // AF ,分别交 BE, BA 于点M , N ,

?MPC 的补角为 PC 与 AB 所成的角.连接 MC , NC .

PN ? MB ? 3 , AN ? 3 ,

2

2

NC ? AN 2 ? AC2 ? 5 , BC ? 2 2 , 2

PC ? PN2 ? NC2 ? 7 ,

MC ? MB2 ? BC2 ? 35 , 2

cos ?MPC

?

1 ?7? 4 2? 1 ?

35 4 7

?

?3 27

?

?3 7 14



2

∴异面直线 PC 与 AB 所成的角的余弦值为 3 7 . 14

24.【答案】 【解析】解:(1)f(x)是 R 上的奇函数 证明:∵f(﹣x)=﹣x3﹣x=﹣(x3+x)=﹣f(x), ∴f(x)是 R 上的奇函数 (2)设 R 上任意实数 x1、x2 满足 x1<x2,∴x1﹣x2<0,
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f(x1)﹣f(x2)=(x1﹣x2)+[(x1)3﹣(x2)3]=(x1﹣x2)[(x1)2+(x2)2+x1x2+1]=(x1﹣x2)[(x1+ x2)
2+ x22+1]<0 恒成立, 因此得到函数 f(x)是 R 上的增函数. (3)f(m+1)+f(2m﹣3)<0,可化为 f(m+1)<﹣f(2m﹣3), ∵f(x)是 R 上的奇函数,∴﹣f(2m﹣3)=f(3﹣2m), ∴不等式进一步可化为 f(m+1)<f(3﹣2m), ∵函数 f(x)是 R 上的增函数, ∴m+1<3﹣2m, ∴
25.【答案】 【解析】【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识,以及考查等 价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力.

26.【答案】

【解析】(1)由题意知, f (x) ? a ?b ? sin x cos x ? 3 (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2

? 1 sin 2x ? 3 cos 2x ? sin(2x ? ? ) ……………………………………3 分

2

2

3

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令 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z ,则可得 k? ? ? ? x ? k? ? 5? , k ? Z .

2

3

2

12

12

∴ f (x) 的单调递增区间为[k? ? ? , k? ? 5? ] ( k ? Z ).…………………………5 分 12 12

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