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2013年大连高三数学一模(理)答案

2013 年大连市高三一模测试

数学(理科)参考答案与评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题 1.A;2.D;3. A;4. D;5. B;6.D;7.C;8.A;9.B;10.D;11.A;12.C. 二.填空题 13. ?

1 5 ? 1 ? ;14.16;15. ;16. ? ?. 4 2 ? e ? 1?

三.解答题 17.解: (Ⅰ)∵ an?1 +an ? n?1 ? an ? 0 ,∴ a ∴

an?1 ? an ?an?1 ? an ?0, an ?an?1

1 1 ? ? 1, ··························· 3 分 an ?1 an

?1? 1 ? 1 ,∴数列 ? ? 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列. ········ 4 分 a1 ? an ? 1 1 ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n , an ? . ···················· 6 分 n an
(Ⅱ)法一:由(Ⅰ)知

2n =n?2n . an

··········· ·········· ··· ·········· ··········· ·· Sn =1? 21 +2 ? 22 +?+n ? 2n . ························① ··········· ·········· · ·········· ··········· · 2Sn =1? 22 +2 ? 23 +?+n ? 2n+1 . ······················ ② ········································9 分 ··········· ·········· ··········· ········ ·········· ··········· ··········· ·······
第 1 页 共 9 页

由① ? ②得 ?Sn =21 +22 +?+2n ? n ? 2n?1 . ∴ Sn =(n ?1)2n?1 ? 2 . ··························· 分 ·························· 12 ·········· ··········· ····· 法二:令 bn ? n? 2 ? cn?1 ? cn ,令 cn ? ( An ? B)? n , 2 2 ∴ bn ? cn?1 ? cn ? ( An ? A ? B)? n?1 ? ( An ? B)? n ? n? n . 2 2 2 ∴ A ? 1,B ? ?2 . ·····························9 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ······· ∴ b1 ? b2 ? ? ? bn ? c2 ? c1 ? c3 ? c2 ? ? ? cn?1 ? cn ? cn?1 ? c1 ·············· 12 ·········· ···· ? (n ? 1 ? 2)? n ? (1 ? 2)? n ?1)2n?1 ? 2 . ··············· 分 2 2=( 18.解: (Ⅰ) 2 ? 2 列联表如下 甲工艺 一等品 非一等品 合计 50 50 100 乙工艺 60 40 100 合计 110 90 200

···································· 2 分

?2 ?

200? (50 ? 40 ? 60 ? 50) 2 ? 2.02 ? 3.841,所以没有理由认为选择不同的工艺 100? 100? 110? 90

与生产出一等品有关. ··································· 分 ··········· ·········· ··········· ·· 4 ·········· ··········· ··········· ·· (Ⅱ)由题知运用甲工艺生产单件产品的利润 X 的分布列为 30 20 15 X 0.5 0.3 0.2 P X 的数学期望为 EX ? 30 ? 0.5 ? 20 ? 0.3 ? 15 ? 0.2 ? 24 ,

X 的方差为 DX ? (30 ? 24) 2 ? 0.5 ? (20 ? 24) 2 ? 0.3 ? (15 ? 24) 2 ? 0.2 ? 39 . ··· 7 分
乙工艺生产单件产品的利润 Y 的分布列为 30 20 15 Y 0.6 0.1 0.3 P Y 的数学期望为 EY ? 30 ? 0.6 ? 20 ? 0.1 ? 15 ? 0.3 ? 24.5 , Y 的方差为

DY ? (30 ? 24.5) 2 ? 0.6 ? (20 ? 24.5) 2 ? 0.1 ? (15 ? 24.5) 2 ? 0.3 ? 47.25. ··· 10 分
答案一:由上述结果可以看出 EX ? EY ,即乙工艺的平均利润大,所以以后应该选择 乙工艺.
第 2 页 共 9 页

答案二:由上述结果可以看出 DX ? DY ,即甲工艺波动小,虽然 EX ? EY ,但相差 不大,所以以后选择甲工艺. ······················· 12 分

19.解: (Ⅰ)如图,连结 A1B 与 AB1 交于 E,连结 DE,则 E 为 A1B 的中点, ∴ 1∥ BC DE, DE ? 平面 AB1D , BC1 ? 平面 AB1D , ∴BC1 ∥平面 AB1D . ······························· 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ········· 6

(Ⅱ)过 D 作 DF⊥ 1B1 于 F, A 由正三棱柱的性质,AA1⊥ DF,∴ DF⊥ 平面 ABB1A1, 连结 EF,DE,在正三角形 A1B1C1 中, ∵ 是 A1C1 的中点,∴B1D ? D 又在直角三角形 AA1D 中, ∵ AD= AA2+A1D2= 3 ,∴ AD=B1D. 1 ∴ DE⊥ 1,∴ AB 可得 EF⊥ 1, AB 则∠ DEF 为二面角 A1-AB1-D 的平面角. 可求得 DF ? ··········· ······· 分 ··········· ······· ················· 10

3 A1B1 = 3 ,·················· 分 ··········· ······ 8 ·········· ······· 2

3 , 2
第 3 页 共 9 页

∵ B1FE∽ B1AA1,得 EF ? △ △

3 , 2

π ∴ DEF= ,即为所求. ····························· 分 ∠ ··········· ·········· ········ ···························· 12 4 (2)解法(二) (空间向量法) 建立如图所示空间直角坐标系,则 A(0,-1,0) 1(0,1, 2 ) ,B , C1(- 3 ,0, 2 ) 1(0,-1, 2 ) ,A ,D(- 3 ,- ? ∴ AB1 =(0,1, 2 ) B1D =(- 3 a,- , 设 n1=(x,y,z)是平面 AB1D 的一个法向量,

1 , 2 ) ·· 8 分 . ·· ·· 2

3 ,0) . 2

?2 y ? 2 z ? 0, ?n1·AB1 =0 ? ? 则可得 ? ,即 ? . 3 3 ? x ? y ? 0. ?? ?n1·B1D =0 ? 2 2
∴ 1=(- 3,1,- 2) ···························· 分 n . ··························· 10 ·········· ··········· ······ 又平面 ABB1A1 的一个法向量 n2= OC =(- 3 ,0,0) , 2 n1· 2 n 设 n1 与 n2 的夹角是 θ,则 cosθ= = . |n1|· 2| 2 |n 又可知二面角 A1-AB1-D 是锐角. π ∴ 二面角 A1-AB1-D 的大小是 . ·························· 分 ························· 12 ·········· ··········· ···· 4 20. 解: (Ⅰ)设以 |PF1| 为直径的圆经过椭圆 M 短轴端点 N , ∴ | NF1 |? a ,∵ e ? ∴ ?NF1 P ?

?
3

1 ,∴ a ? 2c , 2

, | PF |? 2a .······························ 分 ··········· ·········· ········ 2 ·········· ··········· ········ 1

∴ F2 (c,0) 是以| PF1 |为直径的圆的圆心, ∵该圆和直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切, ∴ 2c ?

c?3 1 ? ( 3) 2

,∴ c ? 1, a ? 2, b ? 3 ,

第 4 页 共 9 页

x2 y 2 ∴椭圆 M 的方程为: ··········· ·········· ····· 4 ·········· ··········· ····· ? ? 1 . ··········· ··········· ····· 分 4 3
(Ⅱ)设点 A( x1 , y1 ) , C( x2 , y2 ) ,则点 B( x1 , ? y1 ) ,

? x2 y 2 ? 1, ? ? 法一:设直线 PA 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,联立方程组 ? 4 3 ? y ? k ( x ? 3). ?
化简整理得 (4k 2 ? 3) x2 ? 24k 2 x ? 36k 2 ?12 ? 0 , 由 ? ? (24k 2 )2 ? 4 ? (3 ? 4k 2 ) ? (36k 2 ? 12) ? 0 得 0 ? k 2 ? 则 x1 ? x2 ?

3 . ··········· ···· 分 ··········· ··· 6 ·········· ···· 5

24k 2 36k 2 ? 12 , x1 x2 ? . 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

直线 BC 的方程为: y ? y1 ?

y2 ? y1 ( x ? x1 ) , x2 ? x1

72k 2 ? 24 72k 2 ? 2 2 y x ? y2 x1 2 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) 4 令 y ? 0 ,则 x ? 1 2 ? = 4k ? 3 2 4 k ? 3 = . 24k y1 ? y2 x1 ? x2 ? 6 3 ?6 2 4k ? 3 4 ∴ Q 点坐标为 ( , 0) . ·································· 分 ··········· ·········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· · 8 3
??? ??? ? ? 4 4 4 4 QA ? QC ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? k 2 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) 3 3 3 3 4 16 = (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (3k 2 ? )( x1 ? x2 ) ? 9k 2 ? 3 9 2 2 36k ? 12 4 24k 16 ? (3k 2 ? ) ? 2 ? 9k 2 ? = (1 ? k 2 ) ? 2 4k ? 3 3 4k ? 3 9 2 19k ? 12 16 235 105 ? ? ? = . ························· 10 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ···· 2 4k ? 3 9 36 16k 2 ? 12 ??? ??? ? ? 3 20 5 ∵ 0 ? k2 ? ∴ QA ? QC ? (? , ) . ················· 12 分 5 9 3
法二: 设直线方程为 x ? my ? 3 .

第 5 页 共 9 页

? x ? my ? 3, ? 由 ? x2 y 2 ? 1. ? ? 3 ?4
得 (3m2 ? 4) y 2 ? 18my ? 15 ? 0 , 由 ? ? (18m)2 ? 4 ?15 ? (3m2 ? 4) ? 0 得 m2 ?

5 . ··········· ·········· 6 分 ··········· ·········· ·········· ··········· 3

18m ? ? y1 ? y2 ? ? 3m 2 ? 4 , ? ? ? y ?y ? 15 . ? 1 2 3m 2 ? 4 ?
直线 BC 的方程为: y ? y1 ?

y2 ? y1 ( x ? x1 ) , x2 ? x1

15 2m? 2 y (my2 ? 3) ? y2 (my1 ? 3) 2my1 y2 3m ? 4 = 4 . 令 y ? 0 ,则 x ? 1 ? 3? =3+ 18m y1 ? y2 y1 ? y2 3 ? 2 3m ? 4 4 ∴ Q 点坐标为 ( , 0) . ·································· 分 ··········· ·········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· · 8 3
??? ??? ? ? 4 4 4 4 = QA ? QC ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 ? (my1 ? )(my2 ? ) ? y1 y2 3 3 3 3 5 25 (m2 ? 1) y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 3 9 15 5 18m 25 35 20 = (m2 ? 1) ? 2 ············· 10 ·········· ··· ? m ? (? 2 )? = 2 ? . ··········· ··· 分 3m ? 4 3 3m ? 4 9 3m ? 4 9 ??? ??? ? ? 20 5 5 ∵ m2 ? , ∴ QA ? QC ? (? , ) . 9 3 3 ??? ??? ? ? 20 5 综上, QA ? QC ? (? , ) . ······················ 12 分 9 3 21.解: (Ⅰ) m ? 2 时, f ( x) ? 2 x2 ? 2e x , f ?( x) ? 4 x ? 2e x ? 2(2 x ? e x ) .
令 g ( x) ? 2 x ? e x , g ?( x) ? 2 ? e x , ···························· 分 ··········· ·········· ······ 2 ·········· ··········· ······ 当 x ? (??,ln 2) 时, g ?( x) ? 0 , x ? (ln 2, ??) 时, g ?( x) ? 0 ∴ g ( x) ≤ g (ln 2) ? 2ln 2 ? 2 ? 0 .
第 6 页 共 9 页

∴ f ?( x) ? 0 .∴ f ( x) 在 (??, ??) 上是单调递减函数. ············ 4 分 (Ⅱ)若 f ( x) 有两个极值点 a, b(a ? b) , 则 a , b 是方程 f ?( x) ? 2mx ? 2e x ? 0 的两不等实根. 解法一:∵ x ? 0 显然不是方程的根,∴ m ? 令 h( x) ?

ex 有两不等实根. ············ 分 ··········· 6 ·········· · x

ex e x ( x ? 1) ,则 h?( x ) ? x x2

当 x ? (??,0) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减, h( x) ? (??,0)

x ? ( 0 , 1 ) h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减, x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递增, 时,

ex 有两不等实根,应满足 m ? h(1) ? e ,∴ m 的取值范围是 (e, ??) . x (注意:直接得 h( x) 在 (??,1) 上单调递减, (1, ??) 上单调递增扣 2 分) ········ 分 . ········ ······· 8
要使 m ? ∵ f (a) ? ma 2 ? 2ea ,且 f ?(a) ? 2ma ? 2ea ? 0

f (a) ?

ea 2 ? a ? 2e a ? a ? e a ? 2e a ? e a ( a ? 2) , a

0) , ∵ h(0) ? ?2 ? 0 ,h( x) 在区间 (0, ln m) 上单调递增,h(1) ? 2(m ? e) ? 0 , a ? (1 ∴
设 ? ( x) ? e x ( x ? 2) (0 ? x ? 1) ,则 ? ?( x) ? e x ( x ? 1) ? 0 , ? ( x) 在 (0,1) 上单调递减 ∴ f (1) ? f (a) ? f (0) 即 ?e ? f (a) ? ?2 . ······················· 分 ··········· ·········· ·· ······················ 12

解法二: h( x) ? f ?( x) ? 2mx ? 2e x ,则 a , b 是方程 h( x) ? 0 的两不等实根. ∵ h?( x) ? 2(m ? e x ) , 当 m ≤ 0 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 (??, ??) 上单调递减, h( x) ? 0 不可能有两不等实根 当 m ? 0 时,由 h?( x) ? 0 得 x ? ln m , 当 x ? (??,ln m) 时, h?( x) ? 0 , x ? (ln m, ??) 时, h?( x) ? 0 ∴当 hmax ( x) ? h(ln m) ? 2(m ln m ? m) ? 0 ,即 m ? e 时, h( x) ? 0 有两不等实根 ∴ m 的取值范围是 (e, ??) . ························ 8 分
第 7 页 共 9 页

∵ f (a) ? ma 2 ? 2ea ,且 f ?(a) ? 2ma ? 2ea ? 0

f (a) ?

ea 2 ? a ? 2e a ? a ? e a ? 2e a ? e a ( a ? 2) , a

0) , ∵ h(0) ? ?2 ? 0 ,h( x) 在区间 (0, ln m) 上单调递增,h(1) ? 2(m ? e) ? 0 , a ? (1 ∴
设 ? ( x) ? e x ( x ? 2) (0 ? x ? 1) ,则 ? ?( x) ? e x ( x ? 1) ? 0 , ? ( x) 在 (0,1) 上单调递减 ∴ f (1) ? f (a) ? f (0) 即 ?e ? f (a) ? ?2 . ······················· 分 ··········· ·········· ·· ······················ 12

解: (Ⅰ)证明? ? ? BD,??ABC ? ?BCD . ···················· 2 分 ··········· ········· ·········· ·········· AC ? 又? EC 为圆的切线,??ACE ? ?ABC, ? ?ACE ? ?BCD . ·········· 分 ·········· ········· 5 (Ⅱ)? EC 为圆的切线,∴ ?CDB ? ?BCE , 由(Ⅰ)可得 ?BCD ? ?ABC ····························· 分 ··········· ·········· ······· 7 ·········· ··········· ·······

CD BC ? ,∴ BC =3. ················ 10 分 ··········· ····· ·········· ······ BC EB 23.解:(Ⅰ)曲线 C1 的一般方程为 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ,
∴△ BEC ∽△ CBD ,∴ 曲线 C 2 的一般方程为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 . ······················ 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· 2 两圆的公共弦所在直线为 y ? x ,

(2,0) 到该直线距离为 2 ,所以公共弦长为 2 2 2 ? 2 ? 2 2 . ········5 分 ········ ········
(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? , 曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 4 cos? . ························ 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ·· 7 设 M ( ? ,? ) ,则 P(2 ? , ? ) ,两点分别代入 C1 和 C 2 解得 ? ?

2

4 5 , 5

? 不妨取锐角 arcsin

5 , 5

所以 P(

8 5 5 , arcsin ) .······························ 分 ····························· 10 ·········· ··········· ········ 5 5

第 8 页 共 9 页

1 ? ? 3 x ? 6( x ? 2 ), ? 24.解: (Ⅰ) f ( x) ? ? ?? x ? 4( x ? 1 ). ? ? 2 ∴ f ( x) ? 0 的解为 x x ? 2或x ? ?4 . ·················· 5 分

?

?

(Ⅱ)由 f ( x) ? 0 得, 2x ?1 ? ? ax ? 5 . ················· 7 分 令 y ? 2 x ? 1 , y ? ?ax ? 5 ,作出它们的图象,可以知道,当 ? 2 ? a ? 2 时, 这两个函数的图象有两个不同的交点, 所以,函数 y ? f (x) 有两个不同的零点. ················ 10 分

第 9 页 共 9 页


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