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新课标人教版选修4-4


第二讲
一、选择题

参数方程

1 ? x=2cos ?- 1 .将参数方程 ? (a 为参数) 化成普通方程为 ( ? y=-cos ?

) . A . 2x + y + 1 = 0

B.x+2y+1=0 C.2x+y+1=0(-3≤x≤1)D.x+2y+1=0(-1≤y≤1)
1 ? 2 ? x = t ? ).A. ? 1 - ? 2 ? y = t ?

2.双曲线 xy=1 的参数方程是(

? x=sin t ? B. ? 1 y= ? sin t ?

? x=tan t ? C. ? 1 y= ? tan t ?

? et+e -t ? x= ? 2 D. ? 2 ? y= t ? e +e -t ?

x =1-t cos 30? 和 3.对于参数方程 ? ? ? ? y = 2+t sin 30

? ? x =1+ t cos 30? 的曲线,正确的结论是( ? ? 2- t sin 30? ? y = 
B.是倾斜角为 30?的同一直线 D.是过点(1,2)的相交直线

).

A.是倾斜角为 30?的平行线 C.是倾斜角为 150?的同一直线

? ? ? x= cos +sin ? ? 2 2 4.参数方程 ? (0≤?≤2?)的曲线( ? y= 1(1+sin ? ) ? 2 ?

).A.抛物线的一部分,且过

点(-1,

1 1 1 ) B.抛物线的一部分,且过点(1, )C.双曲线的一支,且过点(-1, ) 2 2 2 1 ) 2
).

D.双曲线的一支,且过点(1,

? x=2 -t 5.直线 ? (t 为参数)上与点 A(2,-3)的距离等于 1 的点的坐标是( ? y=-3 +t

A.(1,-2)或(3,-4) C.(2-

B.(2- 2 ,-3+ 2 )或(2+ 2 ,-3- 2 )

2 2 2 2 ,-3+ )或(2+ ,-3- )D.(0,-1)或(4,-5) 2 2 2 2

? x=2cos ? 6.直线 xcos ?+ysin ?=2 与圆 ? (??为参数)的位置关系是( ? y=2sin?

).

A.相交不过圆心

B.相交且过圆心

C.相切

D.相离

第 1 页 共 6 页

? x= t ? 7.若点 P(4,a)在曲线 ? 2 (t 为参数)上,点 F(2,0),则|PF|等于( ? ? y=2 t
A.4 B.5 C.6 D.7

).

? ?x = 6 cos ? ? 8. 已知点(m,n)在曲线 ? (?为参数)上,点(x,y)在曲线 ? x= 24 cos ? (? ? ? y= 24 sin ? ? y =  6 sin ?

为参数)上,则 mx+ny 的最大值为(

). A.12 B.15 C.24

D.30

? x= 2cos ? ? 9.直线 y=kx+2 与曲线 ? 至多一个交点的充要条件是( ? y= 3sin ? ?

).

A.k∈[-

1 1 , ] 2 2

B.k∈(-∞,-

2 2 1 1 ]∪[ ,+∞) C.k∈[- , ] 2 2 2 2

D.k∈(-∞,-

2 2 ]∪[ ,+∞) 2 2

? ? x= 2cos? 10.过椭圆 C: ? (??为参数)的右焦点 F 作直线 l 交 C 于 M,N 两点,|MF| ? ? y= 3sin ?

=m,|NF|=n,则 二、填空题

1 1 + 的值为( m n

).A.

4 2 B. 3 3

C.

8 3

D.不能确定

? ? ? x=tsin 20 +3 12.直线的参数方程为 ? (t 为参数),则直线的倾斜角为 ? ? ? y=- tcos 20



? ? x= t 13.曲线 C1:y=|x|,C2:x=0,C3 的参数方程为 ? (t 为参数),则 C1,C2, ? ? y= 1 - t

C3 围成的图形的面积为



? x=4+2cos ? ? x=tcos ? 14.直线 ? 与圆 ? 相切,则该直线的倾斜角=________. ? y= 2sin ? ? y=tsin ?

? y+2 ? x= t 15.变量 x,y 满足 ? (t 为参数),则代数式 的取值范围是 x + 2 ? y = 2 1 - t ?
16. 若动点(x, y)在曲线
x2 y 2 + =  1 (0<b≤4)上变化, 则 x2+2y 的最大值为 4 b2





三.解答题 17.已知直线 l1 过点 P(2,0),斜率为

4 .(1)求直线 l1 的参数方程; 3

第 2 页 共 6 页

(2)若直线 l2 的方程为 x+y+5=0,且满足 l1∩l2=Q,求|PQ|的值.

? x= 3sin? +4cos? 18.已知点 P(x,y)为曲线 C: ? (??为参数)上动点, ? y= 4sin? -3cos?

若不等式 x+y+m>0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

1 ? x=t+ ? ? t 19.经过点 M(2,1)作直线交曲线 ? (t 是参数)于 A,B 两点,若点 M 为线段 AB ? y=t-1 ? t ?

的中点,求直线 AB 的方程.

1 ? x= ? ? ? ? x= 2 +1+tcos ? t 20.已知直线 l: ? (t 为参数,?∈R),曲线 C: ? (t 为参数). 1 ? 1+tsin ? ? y= t 2- 1 ? y=- ? t ?

(1)若 l 与 C 有公共点,求直线 l 的斜率的取值范围; (2)若 l 与 C 有两个公共点,求直线 l 的斜率的取值范围.

第 3 页 共 6 页

一、选择题 1.D2.C 解析:由 xy=1 知 x≠0 且 x∈R,又 A 中
et+e -t 1,1];D 中 x= ≥ 2
y-2 1 =- . 4. B x-1 3
1 x= t 2

= t ≥0;B 中 x=sin t∈[-

et+e -t y-2 1 =- =1;故排除 A,B,D.3.C 解析: , x-1 3 2
2 . 6. C 7. C8. A 9. A 10. B 2

5. C 解析: 由(-t)2+(t)2=12, t=±

解析:曲线 C 为椭圆

? x=1+tcos ? x2 y2 + =1,右焦点 F(1,0),设 l:? ,代入椭圆方程得: 4 3 ? y=tsin ?

(3+sin2?)t2+6tcos ??-9=0,t1t2=-

9 3 +sin ?
2

,t1+t2=-

6cos? 3 +sin2?





(t +t )2-4t1t2 4 1 1 1 1 | t -t | + = + = 1 2 = 1 2 = . m n | t1 | | t2 | | t1t2 | | t1t2 | 3

二、填空题
? ? ? - 70? ) ? x=3 +tcos( ? x=tsin 20 +3 12.110? .解析: ? (t 为参数)即 ? (t 为参数), ? ? ? - 70? ) ? y=- tcos 20 ? y=tsin(

所以倾斜角?=-70? +180? =110? . 13.

y y=|x|

π .解析:C3 的曲线是圆 x2+y2=1 在第一象限的 8
O

部分(含端点), 则由图形得三曲线围成的图形的面积是圆 x2

π 1 +y2=1 在第一象限部分的 ,面积是 . 2 8
π 5π 或 .直线为 y=xtan ?,圆为(x-4)2+y2=4, 6 6 π 作 出图 形, 相切 时, 易知 倾斜 角为 或 6
14.

x x2+y2=1

(第 13 题)

B(0,2) A(1,0) O x

P(-2,-2)

2 ? 5π .15. ? , 2 . ? 6 ?3 ? ?

( 第 15 题)

? ? x= t 解析:参数方程 ? (t 为参数)化普通方程 ? y = 2 1 - t ?

第 4 页 共 6 页

y2 y2 y+2 =1(0≤x≤1,0≤y≤2),代数式 表示过点(-2,-2)与椭圆 x2+ =1 在 4 4 x+2 2 第一象限及端点上任意一点连线的斜率,由图可知,kmax=kPB=2,kmin=kPA= . 3

为 x2+

? x= 2cos ? b 2+16 16. . 解析:? , 4cos2?+2bsin??=-4sin2?+2bsin??+4, 令 t=sin ?(- 4 y = b sin ? ?

1≤t≤1),有 x2+2y=-4t2+2b+4.当 t=

b 2+16 b 时,x2+2y 有最大值为 . 4 4 4 三、解答题 17.(1)解:设直线的倾斜角为?,由题意知 tan ?= , 3 3 ? x=2+ t ? 5 4 3 ? 所以 sin ?= ,cos ?= ,故 l1 的参数方程为 ? (t 为参数). 5 5 ? y= 4 t ? ? 5 ? x=2+ 3 t ? 5 3 4 ? (2)解:将 ? 代入 l2 的方程得:2+ t+ t+5=0,解得 t=-5,即 Q(-1, 5 5 ? y= 4 t ? ? 5

-4), 所以|PQ|=5.18. 解:x+y+m>0,即 7sin??+cos??+m>0,m>-(7sin??+cos??), 即 m>-5 2 sin(??+??).而-5 2 sin(??+??)的最大值为 5 2 .所以 m>5 2 ,即 m∈ (5 2 ,+∞).
1 ? x=t+ ? ? t 19.解: ? ? y=t-1 ? t ? ①

由①2-②2 得 x2-y2=4


③,该曲线为双曲线.

? x= 2 +tcos ? 设所求直线的参数方程为 ? (t 为参数),代入③得: ? y=1+tsin ?

(cos2?-sin2??)t2+(4cos??-2sin???)t-1=0, t1+t2=-

4cos ?-2sin? cos 2?-sin2?

,由点 M(2,1)为 A,B 的中点知 t1+t2=0,即 4cos ?-2sin ??

=0, 所以 tan??=2, 因为??是直线的倾斜角, 所以 k=2, 所求直线的方程为 y-1=2(x-2), 即 2x-y-3=0.

? ? x= 2 +1+tcos ? 20.(1)解:直线 l: ? ? ? y=-1+tsin ?
(t 为参数,?∈R)经过点(1+ 2 ,-1),
B C

y

O
第 5 页 共 6 页

A

x

D

P( 1 +

2,-1)

(第 20 题)

1 ? x= ? ? t 曲线 C: ? (t 为参数)表示圆 x2+y2=1 的一部分(如图所示)设直线的方程 l: 1 ? y= t 2- 1 ? t ?

y+1=k(x-1- 2 ). 当 l 与圆相切时, 圆心 O(0,0)到 l 的距离 d= 又 kPC=-

(1+ 2 )k+ 1 k2 + 1

=1,解得 k=-1 或 k=0.

1 1 2 <kPA=- ,kPB=- , 2+ 1 2+ 2 2

如图所示,当 l 与 C 有公共点时,应有-1≤k≤kPA 或者 kPB≤k<kPD=0,

1 1 即 k∈ ? ∪? - , 0? -1, - ? ?. ? ? ? ? 2 ? ? 2+ 2 ?
? 2 ? ? - (2)由图可知,若 l 与 C 有两个公共点时,应有-1<k<kPC,即 k∈ ? ?-1, ?. 2+1 ? ?

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