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2014届高考数学一轮复习 第3章《三角函数、解三角形》(第5课时)知识过关检测 理 新人教A版


2014 届高考数学(理)一轮复习知识过关检测:第 3 章《三角函数、 解三角形》 (第 5 课时) (新人教 A 版)

一、选择题 1.(2011·高考湖北卷)已知函数 f(x)= 3sin x-cos x,x∈R,若 f(x)≥1,则 x 的取值范围为( ) ? ? π A.?x|kπ + ≤x≤kπ +π ,k∈Z? 3 ? ? ? ? π B.?x|2kπ + ≤x≤2kπ +π ,k∈Z? 3 ? ? ? ? π 5π C.?x|kπ + ≤x≤kπ + ,k∈Z? 6 6 ? ? ? ? π 5π D.?x|2kπ + ≤x≤2kπ + ,k∈Z? 6 6 ? ? ? π? 解析:选 B.∵f(x)= 3sin x-cos x=2sin?x- ?, 6? ? π? π? 1 ? ? ∴f(x)≥1,即 2sin?x- ?≥1,∴sin?x- ?≥ , 6? 6? 2 ? ? π π 5π ∴ +2kπ ≤x- ≤ +2kπ ,k∈Z. 6 6 6 π 解得 +2kπ ≤x≤π +2kπ ,k∈Z. 3 ?π x π ? 2.(2012·高考山东卷)函数 y =2sin ? - ? (0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 3? ? 6 ( ) A .2- 3 B.0 C.-1 D.-1- 3 π π x π 7π 3 ?π x-π ?≤1,所以函数的 解析:选 A.当 0≤x≤9,- ≤ - ≤ ,- ≤sin? 3? 3 6 3 6 2 ? 6 ? 最大值为 2,最小值为- 3,其和为 2- 3. π 5π 3.(2012·高考课标全国卷)已知 ω >0,0<φ <π ,直线 x= 和 x= 是函数 f(x) 4 4 =sin(ω x+φ )图象的两条相邻的对称轴,则 φ =( ) π π A. B. 4 3 π 3π C. D. 2 4 π 5π 解析:选 A.由于直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ω x+φ )图象的两条相邻的对 4 4 π π 称轴,所以函数 f(x)的最小正周期 T=2π ,所以 ω =1,所以 +φ =kπ + (k∈Z),又 4 2 π 0<φ <π ,所以 φ = . 4

1

π 4. 若函数 y=2cos(2x+φ )是偶函数, 且在(0, )上是增函数, 则实数 φ 可能是( ) 4 π A.- B.0 2 π C. D.π 2 解析:选 D.依次代入检验知,当 φ =π 时,函数 y=2cos(2x+π )=-2cos2x,此时 π 函数是偶函数且在(0, )上是增函数. 4 ? π? 5.(2011·高考山东卷)若函数 f(x)=sinω x(ω >0)在区间?0, ?上单调递增,在区 3? ? ?π π ? 间? , ?上单调递减,则 ω =( ) ?3 2? A.3 B.2 3 2 C. D. 2 3 解析:选 C.由解析式看出,图象过原点, T π 4π 2π 4π 3 所以 = ,T= , = ,解得 ω = . 4 3 3 ω 3 2 二、填空题 1 π 2 6.函数 y= sin( - x)的单调递增区间为 ________. 2 4 3 1 π 2 解析:由 y= sin( - x), 2 4 3 1 2 π 得 y=- sin( x- ), 2 3 4 π 2 π 3π 由 +2kπ ≤ x- ≤ +2kπ ,k∈Z,得 2 3 4 2 9π 21π +3kπ ≤x≤ +3kπ ,k∈Z, 8 8 9π 21π 故函数的单调递增区间为[ +3kπ , +3kπ ](k∈Z). 8 8 9π 21π 答案:[ +3kπ , +3kπ ](k∈Z) 8 8 7.函数 y=lgsinx+ 1 cosx- 的定义域为________. 2 ,

?sinx>0 ? 解析:要使函数有意义必须有? 1 ?cosx-2≥0 ? ?2kπ <x<π +2kπ ? 解得? π π ?- 3 +2kπ ≤x≤ 3 +2kπ ?
∴2kπ <x ≤ π +2kπ ,k∈Z, 3 (k∈Z),

π ∴函数的定义域为{x| 2kπ <x≤ +2kπ ,k∈Z}. 3

2

π 答案:{x|2kπ <x≤ +2kπ ,k∈Z} 3 8.

π (2011·高考辽宁卷)已知函数 f(x)=Atan(ω x+φ )(ω >0,|φ |< ),y=f(x)的部 2 ?π ? 分图象如图,则 f? ?=________. ?24? T 3π π π π π 解析: 如图可知 = - , 即 = , 所以 ω =2, 再结合图象可得 2× +φ =kπ 2 8 8 2ω 4 8 π? π π 3 1 π ? + ,k∈Z,即|φ |=?kπ + ?< ,所以- <k< ,只有 k=0,所以 φ = ,又图象 4? 2 2 4 4 4 ? π? π ? ?π ? 过点(0,1),代入得 Atan =1,所以 A=1,函数的解析式为 f(x)=tan?2x+ ?,则 f? ? 4? 4 ? ?24? π =tan = 3. 3 答案: 3 三、解答题 2 9.已知函数 f(x)=2cos 2x+sin x-4cos x. π (1)求 f( )的值; 3 (2)求 f(x)的最大值和最小值. π 2π π 2π 解:(1)f( )=2cos +sin -4cos 3 3 3 3 3 9 =-1+ -2=- . 4 4 2 2 (2)f(x)=2(2cos x-1)+(1-cos x)-4cos x 2?2 7 ? 2 =3cos x-4cosx-1=3?cosx- ? - ,x∈R. 3? 3 ? 因为 cosx∈[-1 ,1], 所以,当 cosx=-1 时,f(x)取得最大值 6; 2 7 当 cos x= 时,f(x)取得最小值- . 3 3 10.已知函数 f(x)= 3(sin x-cos x)-2sinxcosx. (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)设 x∈[- , ],求 f(x)的值域和单调递增区间. 3 3 解:(1)∵f(x)=- 3(cos x-sin x)-2sinxcosx π =- 3cos2x-sin2x=-2sin(2x+ ), 3 ∴f(x)的最小正周期为 π . π π π π (2)∵x∈[- , ],∴- ≤2x+ ≤π , 3 3 3 3
2 2 2 2

3

∴-

3 π ≤sin(2x+ )≤1. 2 3

∴f(x)的值域为[-2, 3]. π 当 y=sin(2x+ )递减时,f(x)递增, 3 π π 3π 令 2kπ + ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 3 2 π 7π 则 kπ + ≤x≤kπ + ,k∈Z, 12 12 π π π π 又 x∈[- , ],∴ ≤x≤ . 3 3 12 3 π π 故 f(x)的单调递增区间为[ , ]. 12 3

一、选择题 π ? ?π ? ? 1.(2012·高考课标全国卷)已知 ω >0,函数 f(x)=sin?ω x+ ? 在? ,π ?上单调 4? ?2 ? ? 递减,则 ω 的取值范围是( ) 1 5? ? ?1 3? A.? , ? B.? , ? 2 4? ? ?2 4? ? 1? C.?0, ? D.(0,2] ? 2? π? ? 解析:选 A.函数 f(x)=sin?ω x+ ?的图象可看作是由函数 y=sinx 的图象先向左平 4? ? π? π 1 ? 移 个单位得 y=sin?x+ ?的图象, 再将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的 倍(纵 4? 4 ω ? π ? ?π 5π ? ? 坐标不变)得到的,而函数 y=sin?x+ ?在? , ?上单调递减,所以要使函数 f(x)= 4? ?4 4 ? ? 1 ?π ×ω ≤π , ?4 2 π ? ?π ? ? sin?ω x+ ?在? ,π ?上单调递减,需满足? 4? ?2 ? ? 5π 1 ? 4 ×ω ≥π , ? 1 5 解得 ≤ω ≤ . 2 4

π π 2. 已知函数 f(x)满足 f(x)=f(π -x), 且当 x∈(- , )时,(x)=x+sinx, f 则( 2 2 A.f(1)<f(2)<f(3) B.f(2)<f(3)<f(1) C.f(3)<f(2)<f(1) D.f(3)<f(1)<f(2) 解析:选 D.由 f(x)=f(π -x)知: π f(x)的图象关于直线 x= 对称 , 2 ∴f(2)=f(π -2),f(3)=f(π -3). π π 当 x∈(- , )时,f(x)=x+sinx 是增函数. 2 2 π π 又- <π -3<1<π -2< , 2 2 ∴f(π -3)<f(1)<f(π -2), 即 f(3)<f(1)<f(2). 二、填空题

)

4

?π ? ?π ? 3.若函数 f(x)=3sin(ω x+φ )(ω ≠0)对任意的实数 x 都有 f? +x?=f? -x?,则 ?3 ? ?3 ?
f? ?的值为________. 3

?π ? ? ?

?π +x?=f?π -x?,可知 x=π 为函数图象的一条对称轴,所以该函数 ? ?3 ? 3 ?3 ? ? ? π? π ? 在 x= 处应取得最大值或最小值,故 f? ?=3 或-3. 3 ?3?
解析:由条件 f? 答案:3 或-3 π? ? 4.(2013·绍兴检测)关于函数 f(x)=4sin?2x+ ?(x∈R),有下列命题: 3? ? ①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是 π 的整数倍; π? ? ②y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos ?2x- ?; 6? ? ? π ? ③y=f(x)的图象关于点?- ,0?对称; ? 6 ? π ④y=f(x)的图象关于直线 x=- 对称. 6 其中正确命题的序号是________.(把你认为正确的命题序号都填上) π? ? 解析:函数 f(x)=4sin?2x+ ?的最小正周期 T=π ,由相邻两个零点的横坐标间的距 3? ? T π 离是 = 知①错.利用诱导公式 2 2 π ?? π? ?π ? ?π ? ? 得 f(x)=4cos? -?2x+ ??=4cos? -2x?=4cos?2x- ?,知②正确. 3 ?? 6? ?6 ? ? ?2 ? π 由于曲线 f(x)与 x 轴的每个交点都是它的对称中心,将 x =- 代入得 f(x)= 6 π? π? ? ? 4sin?2×?- ?+ ?=4sin0=0, ? ? 6? 3? ? π ? 因此点?- ,0?是 f(x)图象的一个对称中心,故命题③正确.曲线 f(x)的对称轴必经 ? 6 ? π ? π ? 过图象的最高点或最低点,且与 y 轴平行,而 x=- 时 y=0,点?- ,0?不是最高点也 6 ? 6 ? π 不是最低点,故直线 x=- 不是图象的对称轴,因此命题④不正确. 6 答案:②③ 三、解答题 5.(2013·上海静安质检)已知 a=(sinx,-c osx),b=(cosx, 3cosx) ,函数 f(x) 3 =a·b+ . 2 (1)求 f(x)的最小正周期,并求其图象对称中心的坐标; π (2)当 0≤x≤ 时, 求函数 f(x)的值域. 2 解:(1)f(x)=sinxcosx- 3cos x+ 1 3 3 = sin2x- (cos2x+1)+ 2 2 2
2

3 2

5

1 3 = sin2x- cos2x 2 2 π? ? =sin?2x- ?, 3? ? ∴f(x)的最小正周期为 π . π? ? 令 sin?2x- ?=0, 3? ? π 得 2x- =kπ (k∈Z), 3 kπ π ∴x= + (k∈Z). 2 6 故所求对称中心的坐标为?

?kπ +π ,0?(k∈Z). ? 6 ? 2 ?

π π π 2π (2)∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ , 2 3 3 3 π? 3 ? ∴- ≤sin?2x- ?≤1, 3? 2 ? 即 f(x)的值域为?-

? ?

3 ? ,1?. 2 ?

6


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