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2第二讲:导数及其应用


第二讲:导数及其应用 模拟试卷

一、单项选择题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分)

1 ? ? x sin , x ≠ 0 ,在 x=0 处 1 函数 f ( x) = ? x ? 0, x = 0 ?
A 没有极限
x





B 有极限但不连续

C 连续但不可导

D 可导 ( )

2 设 f ( x) = ? A

? e , x ≤1 ? 在 x=1 处可导,则 a,b 应取 ?ax + b, x > 1 ?
B a=e,b=0 C a=e,b=-e D a=1,b=e+1

a=1,b=e-1

3 已知曲线 L 的参数方程 ?

? x = 2(t ? sin t ) π ,则曲线 L 在 t = 处的切线方程是( 2 ? y = 2(1 ? cos t )
C x? y =π D



A

x+ y =π

B x? y =π ?4
3 2

x+ y =π ?4
( )

4 已知 f ( x) = 2kx ? 3kx ? 12kx 在区间[-1,1]是增函数,则 k 的取值范围是 A k<1 B k>1 C k<0 D k 为任意实数

5 设 a,b 是方程 f ( x) = 0 的两个根, f ( x) 在[a,b]可导,则 f ( x) = 0 在(a,b)内
'

A 只有一个实根
3

B 至少有一个实根

C 没有实根

6 方程 x ? 3 x + 1 = 0 在区间[0,1] 内

A,无实根 B,有唯一实根 C,有两个实根 D,有三个实根 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 7 设 f ( x) =

2
3

x

2

?

1 x x
'

方 同
,则 f (1) = __________
'

育 教
D 至少有两个实根









8 设 y = (1 + x) x ,则 y (1) = _______ 9 设?

1

? x = f (t ) ? 2 dy ' ,且 f ( x) 可导, f (0) ≠ 0 ,则 = _________ t dx t =0 ? y = f (e ? 1)
2

10 函数 f ( x) = 2 x ? x + 1 在区间[-1,3]满足拉格朗日中值定理的 ξ = ________ 11 函数 f ( x) = x ? 3 x 在区间[0,2]上最小值是 ________
3

12 曲线 y = e x 的垂直渐近线是 ________ 三、计算题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,满分 64 分) 13 若抛物线

1

y = ax 2 与曲线 y = ln x 相切,求 a 的值

dy d 2 y 14.设y=ln x+ 1 + x +sin π ,求 及 2 dx dx
2

(

)

xy 15.设方程 e +tan ( xy )=y ,确定 y=y(x), y'x ) 及 y'0 ) ( (

? x = a cos3 t dy d2y ? 所确定的函数的一阶导数 及二阶导数 2 16.求曲线方程 ? 3 dx dx ? y = a sin t ?

17.设 y =

5

(x
e

2 x2

+ 1 ) sin x e +1
x



dy dx

18.求函数 y=lnx-x 的单调区间与极值.

方 同

育 教

19.求曲线 y = e

? x2

的凹凸区间与拐点。

20.求函数 f ( x ) = e ( x + 1) 在[1,3]的最大值与最小值。
?x

四.证明题(每小题 7 分,共 14 分) 21.证明:若 f ( x ) 为奇函数,则 f
'

( x ) 为偶函数,问其逆命题是否成立?

22.证明:当 x>0 时,有 sin x + cos x > 1 + x ? x 成立。
2

五.综合题(每小题 8 分,共 24 分) 23.设 f ( x ) 满足 xf
"

? ? ( x ) ? 3x ? f ' ( x )?

2

= 1 ? e ? x ( ?∞ < x < ∞ ) ,若 f ( x ) 在 x = a(a ≠ 0)

取得极值。证明: x = a 是 f ( x ) 的极小值点。

24.欲做一个横截面为等腰梯形的水槽,梯形腰长及下底长均为常数 a ,水槽的两侧壁间的夹角 ? 为何值时,此 水槽有最大的横截面面积?( ? 为梯形的两腰的夹角)

25.利用导数描绘函数 y =

方 同
ln x 的图形 x

育 教


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