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2013高中数学高考题详细分类考点35 直线、平面平行的判定及其性质


考点 35 直线、平面平行的判定及其性质
1.(2013 ·浙江高考理科·T20) 如图 ,在四面体 A-BCD 中 ,AD⊥平面 BCD,BC ⊥ CD,AD=2,BD= 2 2 .M 是 AD 的中点 ,P 是 BM 的中点 ,点 Q 在线段 AC 上 ,且 AQ=3QC.

(1)证明 :PQ∥平面 BCD. (2)若二面角 C-BM-D 的大小为 60°,求∠ BDC 的大小 . 【解题指南】 (1) 要证 PQ∥平面 BCD, 所以要在平面 BCD 中找到一条线与 PQ 平行 ,因为有中点 , 可以联想一下中位线 ;(2)首先要找到二面角 C-BM-D 的平 面角 ,再根据垂直关系在直角三角形中解决 . 【解析】 (1)取 BD 的中点 O,在线段 CD 上取点 F,使得 DF=3FC, 连结 OP,OF,FQ, 因为 AQ=3QC, 所以 QF∥ AD,且 QF= AD. 因为 O,P 分别为 BD,BM 的中点 ,所以 OP 为△ BDM 的中位线 ,所以 OP∥ DM,且 OP=错误!未找到引用源。DM, 由点 M 为 AD 的中点 , 所以 OP∥ AD,且 OP= 错误! 未找到引用源。 AD, 从而 OP∥ QF,且 OP=QF, 所以四边形 OPQF 为平行四边形 ,故 PQ∥ OF. 又 PQ?平面 BCD,OF?平面 BCD, 所以 PQ∥平面 BCD. (2)作 CG⊥ BD 于点 G,作 GH⊥ BM 于点 H,连结 CH.
1 4

因为 AD⊥平面 BCD,CG ?平面 BCD, 所以 AD⊥ CG, 又 CG⊥ BD,AD ∩ BD=D, 故 CG⊥平面 ABD, 又 BM?平面 ABD, 所以 CG⊥ BM, 又 GH⊥ BM,CG ∩ GH=G, 故 BM⊥平面 CGH, 所以 GH⊥ BM,CH⊥ BM, 所以∠ CHG 为二面角 C-BM-D 的平面角 ,即∠ CHG=60 °, 设∠ BDC=θ ,在 Rt△ BCD 中 ,
CD ? BD cos? ? 2 2 cos ? , CG ? CD sin? ? 2 2 cos ? sin ? ,
2 BG ? BC sin? ? 2 2 sin ? ,

在 Rt△ BDM 中 , HG ?

BG ? DM 2 2 sin 2 ? , ? BM 3 CG 3cos ? ? ? 3, HG sin ?

在 Rt△ CHG 中 , tan ?CHG ?

所以 ,tanθ =错误!未找到引用源。 ,所以 θ =60°,即∠ BDC=60 °. 2. ( 2013 ·陕西高考文科·T 18 )如图 , 四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形 , O 为底面中心 , A1O⊥底面 ABCD,
D1 A1 B1

AB ? AA 2. 1 ?
C1

D A O B

C

(Ⅰ ) 证明 : 平面 A1BD // 平面 CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱 ABD- A1B1D1 的体积 . 【解题指南】 面面平行可通过证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另 一个平面内的两条相交直线;柱体的体积代入公式 V=Sh 求解 .

【解析】 (1)设线段 B1D1 的中点为 O1 . 由题意知 BD∥ B1D 1,A1O1∥ OC 且 A1O 1=OC?四边形 A 1OCO 1 为平行四边形 ?A1O∥ O1C.且 A1O ∩ BD=O,O 1C∩ B1D 1=O1?平面 A1BD∥平面 CD1B1. (2)因为 A1O⊥底面 ABCD, 所以 A1O 是三棱柱 A1B1D1-ABD 的高 . 在正方形 ABCD 中 ,AO=1. 在 Rt△ A1OA 中 ,A 1O=1. 三棱柱 A1B1D1-ABD 的体积错误!未找到引用源。 VA B D -ABD=S△
1 1 1

ABD

·A1O= 1 · (
2

2 ·1=1. 2)

所以 ,三棱柱 A1B 1D1 -ABD 的体积为 1. 3.( 2013 ·新课标全国Ⅱ高考文科·T 18 )如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,
D , E 分别是 AB , BB1 的中点。

( 1)证明: BC1 / / 平面 ACD 1 1; ( 2)设 AA1 ? AC ? CB ? 2 , AB ? 2 2 ,求三棱锥 C ? A1DE 的体积。 【解题指南】 (1) 连接 AC1,构造中位线,利用线线平行证线面平行; (2) VC ? A DE ? S?A DE ? CD ,确定 S?A DE 与高 CD 的长,得体积 .
1 1

1 3

1

【解析】 (1)连接 AC1 交 A1C 于点 F ,则 F 为 AC1 中点 .

又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1//DF. 因为 DF ? 平面 A1CD, BC1 ? 平面 A1CD , 所以 BC1//平面 A 1CD. (2)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1 ? CD .由已知 AC= CB,D 为 AB 的中 点,所以 CD ? AB ,又 AA1 AB ? A ,于是 CD ? 平面 ABB 1A1. 由 AA1= AC= CB= 2,AB = 2 2 得
?ACB ? 90?, CD ? 2, A1D ? 6 , DE ? 3, A1E ? 3 ,

故 A1D2 +DE 2=A1E 2 ,即DE ? A1D. 所以 VC ? A DE ? ? ? 6 ? 3 ? 2 ? 1.
1

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