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2012年全国高中数学联赛模拟卷(9)(一试+二试


2012 年全国高中数学联赛模拟卷(9)第一试
(考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分)
1、某天下午的课程表要排入物理、化学、生物和两节自习共 5 节课,如果第 1 节不排生物,最后 1 节 不排物理,那么不同的排课表的方法有__________种. 2、函数 f (x)的定义域为 D,若满足①f (x)在 D 内是单调函数,②存在[a, b]?D,使 f (x)在[a, b]上的值域 为[a, b],那么 y=f (x)叫做闭函数,现有 f ( x ) ? 3、如图,在△ ABC 中, cos
C ?

x ? 2 ? k 是闭函数,那么 k 的取值范围是_________

? 2 5 ???? ??? , AH ? BC ? 0, AB ? ( CA ? CB ) ? 0 , 2 5 则过点 C,以 A、H 为两焦点的双曲线的离心率为 _________ 4、一个单位正方形的中心和一个圆的圆心重合,并且正方形在圆的内部, 1 在圆上随机选一点,则由该点可以看到正方形的两条完整的边的概率为 ,则该圆的半径为________ 2 5、 有一个正四棱锥, 它的底面边长与侧棱长均为 a , 现用一张正方形包装纸将其完全包住(不能裁剪纸, 但可以折叠),那么包装纸的最小边长应为____________.

6、 若实数 a, b, x, y 满足 ax ? by ? 3, ax ? by ? 7 ,ax ? by ? 16 ,ax ? by ? 42 , ax ? by ? ________ 则
2 2 3 3 4 4 5 5

m m ? ? 7 的自然数 m , n 有不等式 7 ? 2 ? 2 恒成立,则 ? 的最大值为__________ n n n 8、圆周上有 10 个等分点, 则以这 10 个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中, 梯形所占的比为_______
2

7、设对于任意满足

二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分) 9.已知正实数 x , y ,设 a ? x ? y , b ?
x ? 7 xy ? y .
2 2

(1)当 y ? 1 时,求
c
2

b a

的取值范围;

(2)若以 a , b 为三角形的两边,第三条边长为 c 构成三角形,求

的取值范围.

xy

2 10. 已知数列{an}: a1 ? 20 , a 2 ? 30 , a n ?1 ? 3 a n ? a n ?1 . ⑴ 证明: a n ? a n ?1 a n ?1 ? ? 500 ( n ? 2 )

⑵ 求出所有的正整数 n ,使得 5 a n ?1 a n ? 1 为完全平方数.

11. 设 a , b , c , d 为正实数,且 a ? b ? c ? d ? 4 .证明:

a

2

b

?

b

2

c

?

c

2

d

?

d

2

a

? 4 ? (a ? b) .
2

2012 模拟卷(9)

第 1 页 共 4页

2012 年全国高中数学联赛模拟卷(9)答案
1、由容斥原理知,有
5! 2 ? 2? 4! 2 ? 3! 2 ? 39 种.
2

2、 x ? 2 ? k ? x 在[-2, +∞)有两不等实根. 设 x ? 2 ? t ? [0, ?? ) , g ( ) ? 则 t t [0, +∞)有两个不等实数根,则 ? ? 1 ? 4( k ? 2) ? 0 且 g (0) ? 0 解得 k ? ?

??? ??? ? ? ???? ??? ???? ? 3、取 AB 的中点 D, 则 CA ? CB ? 2 AD , 由 AB ? ( CA ? CB ) ? 0 得 AB ? AD ? 0 , 即 AB ? AD . ???? ??? ? 故△ABC 的底边 AB 上的高线与中线重合. 从而△ABC 是等腰三角形. AC=BC. 由 AH ? BC ? 0 知, C 1 2 tan 2? C 2 5 C 5 C 1 2 ? 2 ? 4. ? ,则 tan C ? AH ? BC . 由 cos ? , 知 sin ? , tan 1 2 3 2 5 2 5 2 2 2 C 1 ? tan 1? ( ) 2 2

?

? ? k ? 2 ?0 t ( )



9 , ?2 ? . ? 4 ?

在 Rt△ACH 中, 不妨设 CH=3, 则 AH=4, BC=AC= AH ? CH =5. AH 4 ? ? 2. 故以 A、H 为两焦点的双曲线的离心率为 e ? AC ? CH 5?3 4、在正方形相邻边所夹的劣弧上,可以看到完整的两条边。而由题设“可以看到正方形的两条完整的
2 2

1 4?2 2 边的概率为 ” ,可知延长正方形的边与圆的 8 个交点将圆周 8 等分.可以得到圆半径为 . 2 2 5、将正四棱锥的侧面向外展开到底面,则 4 个侧面三角形的顶点所构成的正方形即为最小正方形,
2? 6 a. 2 3 3 3 3 6、因为 ax ? by ? 16 ,所以 ( ax ? by )( x ? y ) ? 16( x ? y ) .

边长为

所以 ( ax ? by ) ? xy ( ax ? by ) ? 16( x ? y ) .即 42 ? 7 xy ? 16( x ? y ) ??⑴
4 4 2 2

因为 ax ? by ? 7 ,所以 ( ax ? by )( x ? y ) ? 7( x ? y ) .
2 2 2 2

所以 ( ax ? by ) ? xy ( ax ? by ) ? 7( x ? y ) .即 16 ? 3 xy ? 7( x ? y ) ??⑵
3 3

由⑴、⑵,解得 x ? y ? ? 14 , xy ? ? 38 . 又因为 ax ? by ? 42 ,所以 ( ax ? by )( x ? y ) ? 42( x ? y ) .
4 4 4 4

所以 ( ax ? by ) ? xy ( ax ? by ) ? 42( x ? y ) .所以 ax ? by ? 42( x ? y ) ? 16 xy ? 20 . 注:用递归数列也可求解.
5 5 3 3 5 5

7、 原不等式 ? 7n ? m ? ? . 7 n ? 0 ? mod 7 ? , m ? 0,1, 2, 4 ? mod 7 ? . ∴ ? max ? 3 .
2 2

2

2

8、任选 4 点,共有 C10 ? 210 个凸四边形,其中梯形的两条平行边可以从 5 组平行于直径的 5 条平行
4

弦中选取,也可以从不平行于直径的 4 条平行弦中选取,除去矩形,梯形共有 60 个,所以,梯形所 2 占的比为 . 7 9、解: (1)∵ x ? a ? 1 ,且 a ? x ? 1 ? 1 又a ? x ?1?1? 另解: ?
a b
2



b a

?

( a ? 1) ? 7( a ? 1) ? 1
2

a
1 a ? 1 2 ) ?
2

?
? 9 4

a ? 5a ? 5
2

a

2

?

? 5(

1 a

?

1 2
?

) ?
2

9 4

1 a

? (0,1) , 结合二次函数的图像知 1 ? ? 5(

9 4

,故

b

的取值范围为 ? 1, ? a ? 2?
1 x ? 4, 0 ? 5 x?2? 1 x ? 5 4

3?

x ? 7x ?1 x ?1

?

x ? 7x ? 1
2

x ? 2x ? 1
2

? 1?

5x x ? 2x ? 1
2

= 1?

5 x?2? 1 x

, ?x?2?

2012 模拟卷(9)

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?1 ?

b a
c
2

?

3 2

,得

b

的取值范围为 ? 1, ? a ? 2?
k ? xy

?

3?

(2)设

xy

? k ,则 c ?

? c ? ( x ? y ) ? x 2 ? 7 xy ? y 2 ? ?? 恒成立, , c ? x 2 ? 7 xy ? y 2 ? ( x ? y ) ? ?
2

? (x ? y) ? ? k ? ? 即 ? 2 x ? 7 xy ? k ? ? ?

? ? k ? xy ? ,? 2 ? y ? (x ? y) ? k ? ? xy ?
2

x ? 7 xy ? y

x y x y

? ?

y x y x

?2? ?7?

x y x y
1 t

? ?

y x y x

?7

恒成立,
?2
1 t



x y

? t ,由于 y ? t ?
1 t

1 t

在 ?1, ?? ? 是增函数,令 f ( t ) ? t ? ? 7 ? t ? ? 2 ,
1 t
1 t
2

则 f (t ) ? t ? ? 7 ? t ? ? 2 ? 9 ? 4 ? 5 又 ? t ? ? 7 ? t ? ? 2 ?
t 1

1

5 t? ?7? t? ?2 t t 1

?1

?1 ?

k ? 5,1 ? k ? 25 ,得

c

xy

的取值范围为 ?1, 25 ?

2 10、解 a1 ? 20 , a 2 ? 30 , a 3 ? 70 , a 4 ? 180 . 我们用归纳法证明. a n ? a n ?1 a n ?1 ? ? 500 ( n ? 2 ) (*)

(1)当 n ? 2 时,结论成立. (2)假设当 n ? k ( k ? 2 ) 时,结论成立。即 a k ? a k ?1 a k ?1 ? ? 500 .
2

又由于 a k ?1 ? 3 a k ? a k ?1 . 代入上式可得: a k ? 3 a k a k ?1 ? a k ?1 ? ? 500 . ??①
2 2

则当 n ? k ? 1 时, a k ?1 ? a k a k ? 2 ? a k ?1 ? a k ( 3 a k ?1 ? a k ) ? a k ?1 ? 3 a k a k ?1 ? a k ? ? 500 (由①)
2 2

2

2

故当 n ? k ? 1 时,结论成立,即(*)式成立. 又 a n ?1 ? 3 a n ? a n ?1 可知: a n ?1 ? 3 a n a n ?1 ? a n ? ? 500 .
2 2

则 5 a n ?1 a n ? ( a n ?1 ? a n ) ? 500 , 5 a n ?1 a n ? 1 ? ( a n ?1 ? a n ) ? 501 .
2 2

设 5 a n ?1 a n ? 1 ? t ( t ? N ). 则 t ? ( a n ?1 ? a n ) ? 501 . 知: [ t ? ( a n ?1 ? a n )] ? ( a n ?1 ? a n ? t ) ? 501 .
2 2

2

又 a n ?1 ? a n ? N 且 501 ? 1 ? 501 ? 3 ? 167
? a n ?1 ? a n ? t ? ? 1 ? a n ?1 ? a n ? t ? ? 3 故? 或? ? a n ?1 ? a n ? t ? 501 ? a n ?1 ? a n ? t ? 167 则当 n ? 3 时,满足条件. t ? 251 t ? 85 ? ? 故? 或? (舍去) ? a n ?1 ? a n ? 250 ? a n ?1 ? a n ? 82

11.证明 因为 a ? b ? c ? d ? 4 ,要证原不等式成立,等价于证明
a
2

b

?

b

2

c

?

c

2

d a
2

? ?

d b

2

a
2

? a?b?c?d ? ? c
2 2

4(a ? b)

2

a?b?c?d

?? ①

事实上,
?(
?

b a
2

c

d c

?

d

2

a

? (a ? b ? c ? d ) c
2

b

? b ? 2a) ? (
2

b

? c ? 2b ) ? (
2

d
2

? d ? 2c ) ? (
1 a (d ? a )
2

d

2

a

? a ? 2d )

1 b

(a ? b) ?

1 c

(b ? c ) ?

1 d

(c ? d ) ?
2

2

??? ②
2

由柯西不等式知 [

(a ? b) b

2

?

(b ? c ) c

?

(c ? d ) d

?

(d ? a ) a

]( a ? b ? c ? d )

2012 模拟卷(9)

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? (| a ? b | ? | b ? c | ? | c ? d | ? | d ? a |)
2

2

????? ③
2

又由 | b ? c | ? | c ? d | ? | d ? a |?| b ? a | 知
(| a ? b | ? | b ? c | ? | c ? d | ? | d ? a |) ? 4 ( a ? b )

????④
C D' E Q D A B

由②,③,④,可知①式成立,从而原不等式成立.

P

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