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等差等比数列经典习题


一 数列的概念

n (n ? N * ) ,则在数列 {an } 的最大项为____________. n ? 156 1 2.在数列 {an } 中, a n ? ,且 Sn=9,则 n=_____________. n ? n ?1 na 3.设数列 {an } , a n ? ,其中 a、b、c 均为正数,则此数列 ( ) nb ? c
1. 已知 an ?
2

A

递增

B 递减

C 先增后减

D 先减后增

4.设 {an } 为等比数列, Tn ? na1 ? (n ? 1)a2 ? (1)求数列 {an } 的首项和公比; 二 等差数列和等比数列

? 2an?1 ? an ,已知 T1 ? 1 , T2 ? 4 ,

(2)求数列 {Tn } 的通项公式.

1 2 例:数列 {an } 是等比数列,下列四个命题:① {an } 、 {a2 n } 是等比数列;② {ln an } 是等差数列;③ { } 、 {| an |} 是 an

等比数列;④ {kan } 、 {an ? k} (k ? 0) 是等比数列。正确的命题是

。 项。 )

例 :若一个等差数列的前 3 项和为 34,最后 3 项和为 146,且所有项的和为 390,则这个数列有 1.在 a 和 b(a ? b) 两数之间插入 n 个数,使它们与 a、 b 组成等差数列,则该数列公差为( 2. 设{an}是等差数列,Sn 是前 n 项的和,且 S5 < S6, S6 = S7 > S8,则下列结论错误的是( ) A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6、S7 均为 Sn 的最大值 3.已知 s n 是等差数列 ?an ? (n ? N * ) 的前 n 项和,且 s6 ? s7 ? s5 ,下列结论中不正确的是( A d<0 B )

s11 ? 0

C

s12 ? 0

D s13 ? 0 )

4.已知等差数列 ?an ? 中, an ? 0, 若m ? 1且am?1 ? am?1 ? am2 ? 0, S2m?1 ? 38, 则 m 等于( A 38 B 20 C 10 D 9

5.等差数列{ an }中, a1 + a2 + a3 =-24, a18 + a19 + a 20 =78,则此数列前 20 项的和为 5:等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S 6 ? 36, S n ? 324 , S n?6 ? 144(n ? 6) ,则 n 为 (A) 18 (B) 17 (C) 16 (D) 15 ( ) 。

6.1.等差数列的前 n 项和为 25,前 2n 项和为 100,则它的前 3n 和为 2.各项均为正数的等比数列 {an } 中, a5 ? a6

? 9 , log3 a1 ? log3 a2 ?

? log3 a10 ?



7. 例:等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大?并求此最大值 8:已知数列

?an ?的前 n 项和 Sn ? n(n ? 40) ,则下列判断正确的是:
B. a20 ? 0, a21 ? 0 C. a19 ? 0, a21 ? 0
2





A. a19 ? 0, a21 ? 0

D. a19 ? 0, a20 ? 0

9:已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn=12n-n ,求数列{|an|}的前 n 项和 Tn .

11 :设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ( n ? N* ) ,关于数列 ?an ? 有下列三个命题: (1)若 {an } 既是等差数列又是等比数列,则 an ? an ?1

(n ? N*) ;

(2)若 Sn ? an 2 ? bn ? a 、 b ? R ? ,则 {an } 是等差数列; (3)若 Sn ? 1 ? ? ? 1 ? ,则 {an } 是等比数列. 这些命题中,真命题的序号是
n

.

变题:若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 n ? r ,则 r =___。 12.设等差数列 ?an ? 的 n 项和 Sn ,已知 a3 ? 12, S12 ? 0, S13 ? 0 (1) 求公差 d 的取值范围。 (2)指出 S1 , S2 ,

, S12 中哪一个值最大,并说明理由.

13.已知数列{an}是首项 a1 ? 4 ,公比 q ? 1 的等比数列, s n 是其前 n 项和,且 4a1 , a5 , ?2a3 成等差数列. (1)求公比 q 的值; (2)设 An ? s1 ? s2 ? s3 ?

? sn , 求An .

三数列通项公式的几种求法 例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 例 2 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 例 4 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 例 5 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。 例、已知数列{an}中, a1 ? 1, an?1 ?

an , 则这个数列的第 n 项 an 为( ) 1 ? 2an

例:已知数列 {an } 满足 a1 ?

a 2a ? 1 1 1 ,且当 n ? 1 , n ? N * 时,有 n ?1 ? n ?1 , 求证:数列 { } 为等差数列; an an 1 ? 2 an 5
an?1

例:数列 {an } 中, a1 ? 1 , 2

? 2an ? 3 ,则通项 an ?



1.已知数列 {an } 是非零等差数列,又 a1 、 a 3 、 a 9 组成一个等比数列的前三项,则

a1 ? a3 ? a9 ? a2 ? a4 ? a10

. ,

2. 已知一个等比数列的首项为 1, 项数是偶数, 其奇数项之和为 85, 偶数项和为 170, 则这个数列的公比等于 项数等于 。

3. 等比数列中, q=2, S99=77, 求 a3 ? a6 ? ? ? a99 ; 已知数列 {an } 满足 a1 =1,an?1 ? 2an ? 2n , 则 an =__________ 4.已知数列满足 a1 =1, an?1 ? an ?

an an?1 ,求 an .

5. 数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 5, an?2 ? 3an?1 ? 2an ,求证:数列 {an?1 ? an } 是等比数列;


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