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2015-2016高中数学 2.3.2幂函数练习 新人教A版必修1


2015-2016 高中数学 2.3.2 幂函数练习 新人教 A 版必修 1
基 础 梳 理 1.常见幂函数的性质如下表: 定义域 R R R [0,+∞) {x|x≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在 R 上递增 在[0,+∞)上递增 在(-∞,0]上递减 在 R 上递增 在[0,+∞)上递增

y=x y=x2 y=x3
1

y=x2 y=x-1

在(-∞,0)上递减 在(0,+∞)上递减 2.(1)所有幂函数在(0,+∞)上都有定义,且都经过点________; (2)如果 α >0,则幂函数的图象还经过原点(0,0),并且在________上是增函数; (3)如果 α <0,则幂函数的图象不经过原点(0,0),在_________上是减函数. 基础梳理 2.(1)(1,1) (2)[0,+∞) (3)(0,+∞)

,思 考 应 用
1.由幂函数的图象,我们可以知道该幂函数所具有的性质.反之,由幂函数所具有的 性质,我们也能判断该幂函数图象的变化趋势.若幂函数不过原点,那么这个幂函数在第一 象限的图象是如何变化的? α 解析:若幂函数 y=x 不过原点,则幂指数 α <0,那么这个幂函数在第一象限的图象与 坐标轴没有交点,且图象是下滑的,即在区间(0,+∞)上是减函数. 1 2.我们知道,幂函数 f(x)= 是奇函数,图象关于原点对称,也关于直线 y=x 和 y=

x

1 的图象也有相应的对称性.如何研究函数 g(x)的对称性? x-1 1 1 2.解析:将函数 f(x)= 的图象向右平移一个单位,即得函数 g(x)= 的图象.由 x x-1 此可知,函数 g(x)的图象关于点(1,0)对称,也关于直线 y=x-1 和 y=1-x 对称. 3 3 3. 由幂函数 f(x)=x 的图象可知, 幂函数 f(x)=x 在区间(-∞,+∞)上是增函数, 3 你能确定函数 g(x)=(1-x) 在区间(-∞,+∞)上的单调性吗? 3 3 3 3.解析:幂函数 f(x)=x 在区间(-∞,+∞)上是增函数,则 h(x)=(-x) =-x 3 3 在区间(-∞,+∞)上是减函数,故函数 h(x-1)=-(x-1) =(1-x) ,即函数 g(x)=(1 3 -x) 在区间(-∞,+∞)上是减函数. -x 对称,那么函数 g(x)=

,自 测 自 评
1.下列函数中,与函数 y= A.f(x)=ln x C.f(x)=|x| 2.函数 y= 1

x

有相同定义域的是(

)

1 B.f(x)=

x
x

D.f(x)=e

| x|是(

)

A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 B.奇函数,且在(0,+∞)上是增函数
1

C.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数 D.奇函数,且在(0,+∞)上是减函数 ? 1? 3.幂函数的图象过点?2, ?, 则它的单调递增区间是________. ? 4? 自测自评 1 1 1.解析:由 y= 可得定义域是 x>0.f(x)=ln x 的定义域是 x>0;f(x)= 的定义

x

x

域是 x≠0;f(x)=|x|的定义域是 R;f(x)=e 定义域是 R.故选 A. 答案:A 2.A 3.(-∞,0) ?基础达标 1.设函数 y=x|x|,x∈R,则此函数( ) A.是奇函数又是减函数 B.是偶函数又是增函数 C.是奇函数又是增函数 D.是偶函数又是减函数 C 5 2.函数 y=x3的图象大致是下列图中的( )

x

2.B 3.函数 y= x+1的递增区间是________ . 3.[-1,+∞) 1 4.函数 y= 2的定义域是________________,在区间________上是减函数.

x 4.{x|x∈R,x≠0} (0,+∞) 5.若幂函数 y=f(x)的图象过点(2, 2),则这个函数的解析式为________.
2

1 5.f(x)=x2 t-1 6.若函数 f(x)=(t+2)x 是幂函数,则这个函数的解析式为________. -2 6.解析:t+2=1,∴t=-1,∴f(x)=x . -2 答案:f(x)=x 1 ? α ? 7.用描点法作出幂函数 y=x ?α =-1, ,1,2,3?的图象,并说明函数的定义域和 2 ? ? 单调性. 7.分析:首先作出函数的图象,根据图象研究其性质. 解析:五个幂函数的图象如图所示.

(1)y=x 的定义域为{x|x∈R,x≠0},在区间(-∞,0)及(0,+∞)上单调递减. (2)y=x 定义域为 R,在区间(-∞,+∞)上单调递增. 1 (3)y=x2的定义域为[0,+∞),在区间[0,+∞)上单调递增. 2 (4)y=x 的定义域为 R,在区间(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增. 3 (5)y=x 的定义域为 R,在区间(-∞,+∞)上单调递增. 1 3 2 点评:对于 y=x2,y=x 的图象和性质,要通过和 y=x 的图象和性质进行比较,找出 它们的共性和特性、区别和联系,并加深理解. ?巩固提高 1 8. 关于函数 y=x- 的性质,有以下判断: ①定义域是(0, +∞);②值域是(0, +∞); 2 ③不是奇函数;④不是偶函数;⑤在区间 (0 ,+∞)上是减函数.其中判断正确的是 ____________(填序号). 8.①②③④⑤

-1

?1 ? 9.函数 y=? -1?的递减区间是________. x ? ?

? ?x-1,0<x≤1, 解析:y=? 故递减区间是(0,1]. 1 1 - , x > 1 或 x < 0 , ? ? x
1 答案:(0,1]
3

2 10.探究函数 y=x3的性质: (1)指出函数的定义域和值域; (2)判断函数的奇偶性; (3)指出函数的递增区间和递减区间. 10.(1)定义域是 R,值域是[0,+∞) (2)偶函数 (3)[0,+∞)是递增区间,(-∞,0]是递减区间

1.研究与幂函数相关的函数的性质时,应抓住图象的变化规律,应用图象研究性质. 2.由幂函数与其他函数复合而成的函数,要清楚复合的过程. 3.注意函数性质的综合应用.

4


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