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选修1-2、4-4测试卷


选修 1-2、4-4 测试卷(文科)
一、选择题 1.已知点 M 的极坐标为 ? 5, ? ,下列所给出的四个坐标中能表示点 M 的坐标是(

? ?? ? 3?



?? ? A. ? 5, ? ? ? 3?

4? ? ? B. ? 5 , ? ? 3 ?

2? ? ? C. ? 5, ? ? ? 3?

D. ? 5, ?

? ?

5? ? ? 3 ?

2.点 P 1,? 3 ,则它的极坐标是. ( A. ? 2,

?

?



? ?

??
? 3?

B. ? 2,

? ?

4? ? ? 3 ?

C. ? 2,?

? ?

??
? 3?

D. ? 2,?

? ?

4? ? ? 3 ?

? / 1 x ? x ? ? 2 2 2 3.在平面直角坐标系中,曲线 C: x ? y ? 36 经过伸缩变换 ? 后,所得曲线 ? y/ ? 1 y ? 3 ?
的焦点坐标为( A. (0, ? 5) ) . B. (? 5,0) C. (0, ? 13) ) D. (? 13,0)

4.下列极坐标方程表示圆的是( A. ? ? 1 C. ? sin ? ? 1 B. ? ?

?
2

D. ? (sin ? ? cos ? ) ? 1 )

5.曲线的极坐标方程 ? ? 4 sin ? 化成直角坐标方程为( A. x
2

? ( y ? 2) 2 ? 4 B. x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4
2 2

C. (x ? 2) ? y

? 4 D. (x ? 2) 2 ? y 2 ? 4
1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? , 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4 ? ? ? ? 1 1 ? (n ? 2) 2 n 2n ? 1 1 2n ? 1 ? (n ? 2) n2 n 1 1 ? (n ? 2) n2 2n ? 1 1 2n ? (n ? 2) 2 n 2n ? 1

6.观察式子: 1 ? 为( A. 1 ? B. 1 ? C. 1 ? D. 1 ? )
1 1 ? ? 22 32 1 1 ? ? 22 32 1 1 ? ? 22 32 1 1 ? ? 22 32

,则可归纳出式子

7.如图,在复平面内,复数 z1 和 z 2 对应的点分别是 A 和 B ,则

z2 等于 z1

试卷第 1 页,总 4 页

y 3 A -3 -2 -1 o -1 -2 -3 2 1 1 2 B 3 x

(A) 1 ? 2i 8.已知复数 z ? A. z ? 2

(B) 2 ? i
2 ,则( ?1 ? i

(C) ?1 ? 2i ) C. z 的虚部为-1

(D) ?2 ? i

B. z 的实部为 1

D. z 的共轭复数为 1+i

9.如图,复平面上的点 Z1 , Z2 , Z3 , Z4 到原点的距离都相等.若复数 z 所对应的点为 Z 1 , 则复数 z 的共轭复数所对应的点为( ) .
y Z1 Z2 O Z3 Z4 x

A. Z 1

B. Z 2

C. Z3

D. Z 4 )

10.已知 0<a<2,复数 z ? a ? i (i 是虚数单位) ,则 | z | 的取值范围是( A. (1, 3) B. (1,5) C. (1,3) D. (1, 5)

11.下列命题中正确的是( ) A.若 x ? C ,则方程 x ? 2 只有一个根
3

B.若

z1 ? C , z2 ? C



z1 ? z2 ? 0
2

,则

z1 ? z2

C.若 z ? R ,则

z ? z ? z 不成立
2

D.若 z ? C ,且 z ? 0 ,那么 z 一定是纯虚数 12.复数 z ? A.第一象限
? i2 ? i3 ? i4 ,则 z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点( 1? i

) .

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 )

13.一算法的程序框图如图,若输出的 y ?

1 , 则输入的 x 的值可能为( 2

试卷第 2 页,总 4 页

(第 14 题图) A. ?1 B. 0 C. 1 D. 5

14.执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为(



(A) 3

(B)

3 2

(C) 0

(D) ? 3

二、填空题 15.已知圆 A : x2 ? y 2 ? 1在伸缩变换 ?

? x? ? 2 x 的作用下变成曲线 C ,则曲线 C 的方程 ? y? ? 3 y


为________ 16.在极坐标系中,圆 ? ? ?2 cos ? 的圆心的极坐标可以是

17.在极坐标系中,已知两点 A、B 的极坐标分别为( 3, ) , ( 4, ) ,则△AOB(其中

?

?

3

6

O 为极点)的面积为



18. (极坐标与参数方程)已知圆的极坐标方程为 ? ? 4cos ? ,圆心为 C ,点 P 的极坐 标为 ? 4,

? ?

??

? ,则 | CP |? ________. 3?

三、解答题 19.已知数列 {an } 前项和 S n 且 a1 ? 1 , S n ? n 2 an (n ? N * ) (1)试求 a 2 , a3 , a 4 (2)猜想 an 的表达式,并用数学归纳法证明猜想.

试卷第 3 页,总 4 页

20. (本小题 10 分)已知复数 z ? (1)求 z ; (2)求实数 a , b 的值 .

?1 ? i ?

2

? 3 ?1 ? i ?

2?i

,若 z 2 ? az ? b ? 1 ? i ,

21.已知复数 z ? bi(b ? R) , (1)求复数 z ;

z?2 是实数, i 是虚数单位. 1? i

(2)若复数 (m ? z ) 2 所表示的点在第一象限,求实数 m 的取值范围. \

22.已知 z 是复数,若 z ? 2i 为实数( i 为虚数单位) ,且 z ? 4 为纯虚数. (1)求复数 z ; (2)若复数 ?z ? mi? 在复平面上对应的点在第四象限,求实数 m 的取值范围
2

23. 如果复数 z=(m +m-1)+(4m -8m+3)i (m∈R)的共轭复数 z 对应的点在第一象 限,求实数 m 的取值范围.

2

2

x2 y 2 ? x ' ? ? x(? ? 0) ? ? 1按 φ : ? 24.将椭圆 9 4 ? y ' ? ? y(? ? 0)

,变换后得到圆 x ' ? y ' ? 9 ,求 φ .
2 2

试卷第 4 页,总 4 页

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参考答案 1.D 【解析】 试题分析: 一周角为 2π , 旋转一周不影响其位置, ? 2? ? ? ? , 故 ? 5, ?

?

3

5 3

5? ? ? ?? ? ? ? 5, ? 3 ? ? 3 ? ,?

故表示同一个点。 考点:极坐标点的表示方法 2.C 【解析】 试题分析: ? ?

?2 cos? ? 1 ? x2 ? y2 ? 2 , ? ,所以 ? ? - ,故选 C. 3 ?2 sin ? ? ? 3

考点:直角坐标与极坐标的转化 3.D 【解析】

? / 1 x ? x ' ? ? ? ?x ? 2x 2 试题分析:由 ? 得? ;代入 x2 ? y 2 ? 36 ,得 (2 x' ) 2 ? (3 y ' ) 2 ? 36 ;即所得 ' ? y/ ? 1 y ? ?y ? 3y ? 3 ?
曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 ,所以 c ? 4 ? 9 ? 13 ,即所得曲线的焦点坐标为 (? 13,0) . 9 4

考点:曲线的变换. 4.A 【解析】 试题分析: ? ? 1 化为直角坐标方程为 x ? y ? 1,表示圆心在原点半径为 1 的圆,故 A
2 2

正确;? ?

?
2

化为直角坐标方程为化 x ? 0 ? y ? 0? ,表示射线,故 B 不正确; ? sin ? ? 1 为

直角坐标方程为 y ? 1 ,表示直线,故 C 不正确; ? (sin ? ? cos ? ) ? 1 化为直角坐标方程为

x ? y ? 1 ,表示直线,故 D 不正确.
考点:极坐标方程和直角坐标方程的互化. 5.B 【解析】 试题分析:极坐标与直角坐标之间的关系是 ?
2

? x ? ? cos? ,极坐标方程 ? ? 4 sin ? 两边同 ? y ? ? sin ?
2 2

乘以 ? 得 ? ? 4? sin ? ,化为直角坐标方程为 x ? y ? 4 y ,即选 B。

答案第 1 页,总 7 页

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考点:极坐标方程与直角坐标方程的转化。 6.B 【解析】 试题分析:左边是当 n ? 2 时,数列 ?

?1? 的和式;右边分子是 n ? 2 时的奇数数列,分母是 2 ? ?n ?

连续整数数列,所以由不完全归纳得 B 正确. 考点:合情推理中的归纳法. 7.C 【解析】 试题分析:由题意 z1 ? i , z 2 ? 2 ? i ,故 考点:复数及其运算 8.C 【解析】 试题分析:由 z ?

2 ? i (2 ? i )i z2 ? ? ? ?1 ? 2i z1 i i2

2 ?1 ? i ? 2 =-1-i,则 z ? 2 ,故 A 错;z 的实部为-1, 故 ? ?1 ? i ? ?1 ? i ??1 ? i ?

B 错;z 的虚部为-1,故 C 正确,故选 C 考点:本题考查复数的运算,复数的定义,共轭复数的定义,模的运算 点评:解决本题的关键是掌握复数的定义,共轭复数的定义,模的运算 9.C 【解析】 试题分析:由图,设 z ? z1 ? bi ,则 z ? ?bi ? z3 ,故选 C. 考点:复数的几何意义、共轭复数. 10.D 【解析】 试题分析:∵ z ? 考点:复数的模. 11.D
3 【解析】 x ?2?0 在复数集中存在三个根,只有两个实数才能比较大小;

a 2 ? 1 ,而 0 ? a ? 2 ,即 1 ? a 2 ? 1 ? 5 ,∴ 1 ? z ? 5 ,故选 D .

z ? z ? a 2 ? b 2 ? z 成 立 ; 设 z ? a ? bi(a, b ? R) , 则 z 2 ? a 2 ? b 2 ? 2abi ? 0 , 则

2

?a 2 ? b 2 ? 0 ?a ? 0 ,即 ? ,所以 z 是纯虚数. ? b ? 0 2 ab ? 0 ? ?
考点:复数的概念与运算. 12.A 【解析】

答案第 2 页,总 7 页

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试题分析:将复数化简为: z ?

?i ?1 ? i ? ?1 ? i ? 1 ?i 1? i 1 1 ? ? ? ? ? i ,所以 1? i 1? i ? 1? i ?? 1 ? i? 1 ? 1 2 2

z?

1 1 ?1 1? ? i ,所以复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 ? , ? ,显然在第一象限,答案为 2 2 ?2 2?

A. 考点:1.复数的化简;2.共轭复数. 13.C 【解析】

? ?? ? 1 ?sin ? x ? , x ? 2 x 试题分析: 由程序框图知: y ? ? ? 6 ? . 当 x ? 2 时, y ? 2 ? , 解得:x ? ?1 2 ?2 x , x ? 2 ?
(舍去) ;当 x ? 2 时, y ? sin ?

?? ?6

? 1 x ? ? ,解得: x ? 12k ? 1 ( k ? ? )或 x ? 12k ? 5 ? 2

(k ??) ,当 k ? 0 时, x ? 1 或 x ? 5 (舍去) ,所以输入的 x 的值可能是1 ,故选 C. 考点:1、框图;2、分段函数. 14.A 【解析】 试 题 分 析 : 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 , 则 输 出 S 的 值 为

sin

?
3

? sin

2? 4? 5? 7? 8? ? sin ? ? sin ? sin ? sin 2? ? sin ? sin ? sin 3? ? 3 3 3 3 3 3

考点:程序框图和三角函数计算结合问题; 考点:坐标变换的应用. 16. ?1, ? ? 【解析】 试题分析:由题意得 ? ? ?2? cos? ,即 x ? y ? ?2 x ,整理得 ?x ? 1? ? y 2 ? 1 ,圆心
2 2 2
2

??1,0? ,因此
? ? 1,? ? ? ,因此极坐标可以是 ?1, ? ? .
考点:求极坐标. 17.3 【解析】

答案第 3 页,总 7 页

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试题分析: 如图: 的面积为:

,由已知得:OA=3,OB=4, ?AOB ?

?
6

; 所以△AOB

1 ? ? 3 ? 4 ? sin ? 3 ;故应填入3. 2 6

考点:极坐标. 18. CP ? 2 3 【解析】 试题分析:由圆的极坐标方程 ? ? 4cos ? 可得,圆的直角坐标方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,圆
2 2

心 C (2, 0) . 点 P 的 极 坐 标 为 ? 4,

? ?

??

,)所 以 ? 化 为 直 角 坐 标 为 P( 2 , 2 3 3?

CP ?

?2 ? 2 ?

2

?

?

? 0

2

? 3?
2

2 . 3

考点:极坐标与直角坐标互化. 19. (1) a 2 ? 【解析】 试题分析: (1)当 n ? 2 时, a2 由 S2 ? 22 a1 将 a1 ? 1 代入得到,再令 n ? 3, n ? 4 分别带入

2 1 1 1 , a3 ? , a 4 ? ; (2 ) a n ? ,证明见解析. 3 6 10 n(n ? 1)

S n ? n 2 an (n ? N * ) 中 求 得 a3 , a4 的 值 ;( 2 ) 根 据 ( 1 ) 中 求 得 数 列 {an } 中 ,
2 1 2 1 2 a1 ? 1 ? , a2 ? ? , a3 ? ? 1? 2 3 2 ? 3 6 ?3 4 a4 ?

2 1 2 ? 猜想: a n ? ,用数学归纳法证明:第一步:先证当 n ? 1 时命题成 10 4 ? 5 n(n ? 1)

* 立;第二步:假设 n ? k (k ? N ) 时命题成立,再证明当 n ? k ? 1 时命题也成立,结合以上

可证明命题成立即猜想正确. 试题解析:函数 a 2 ? (2) 猜想 a n ?

1 1 1 , a3 ? , a 4 ? 3 6 10

2 n(n ? 1)
1

证明如下:当 n ? 1时,a

?

2 ? 1 命题成立 1? 2
答案第 4 页,总 7 页

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假设当 n ? k (k ? N * ) 时命题成立,即 a k ?

2 k (k ? 1)

当 n ? k ? 1 时 S k ?1 ? (k ? 1) 2 ak ?1 ? S K ? ak ?1 ? k 2 ak ? ak ?1 整理得: a k ?1 ?

2 ,所以当 n ? k ? 1 时命题也成立 (k ? 1)(k ? 2) 2 . n(n ? 1)

综上, n ? N 时有a n ?
*

考点:1.赋值法;2.数学归纳法. 20. (1) 1 ? i , (2) a ? ?3, b ? 4 【解析】 试题分析:由已知

?1 ? i ? z?

2

? 3 ?1 ? i ?

2?i

?

3 ? i (3 ? i )(2 ? i ) 5 ? 5i ? ? ? 1? i , 又 2 ? i (2 ? i )(2 ? i ) 5

z 2 ? az ? b = (1 ? i) 2 ? a ? (1 ? i) ? b ? (a ? b) ? (a ? 2)i ? 1 ? i ,由于 a, b ? R ,利用复数相等只需实部相等,虚部
相等,则 a ? b ? 1 , a ? 2 ? ?1 ,有 a ? ?3, b ? 4 即可 .

?1 ? i ? 试题解析: (1) z ?
( 2

2

? 3 ?1 ? i ?

2?i

?

3 ? i (3 ? i )(2 ? i ) 5 ? 5i ? ? ? 1? i 2 ? i (2 ? i )(2 ? i ) 5
= ,

z 2 ? az ? b

(1 ? i) 2 ? a
b
=

? (1 ? i) ? b ? (a ? b) ? (a ? 2)i ? 1 ? i ? a ? b ? 1, a ? 2 ? ?1 ? a ? ?3,
( a, b ? R ) 考点:1.复数运算;2.复数相等; 21. (1) z ? ?2i ; (2) (??,?2) . 【解析】 试题分析: ( 1 )由 z ? bi(b ? R) ,化简

4

z ? 2 bi ? 2 (bi ? 2)(1 ? i) b ? 2 b ? 2 ? ? ? ? i. 1? i 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2

根据

z?2 b?2 ?0 ,求得 b 的值,可得 z 的值; 是实数,可得 (2)化简 1? i 2

(m ? z) 2 ? (m ? 2i) 2 ? (m2 ? 4) ? 4mi , 根 据 该 复 数 所 表 示 的 点 在 第 一 象 限 , 可 得

答案第 5 页,总 7 页

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?m 2 ? 4 ? 0 ,解不等式组求得实数 m 的取值范围. ? ?? 4 m ? 0
试题解析:(1)因为 z ? bi(b ? R) ,所以

z ? 2 bi ? 2 (bi ? 2)(1 ? i) b ? 2 b ? 2 ? ? ? ? i, 1? i 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2



z?2 b?2 ? 0 ,即 b ? ?2 ,所以 z ? ?2i . 是实数,所以 1? i 2

(2)由(1)得 z ? ?2i ,所以 (m ? z) 2 ? (m ? 2i) 2 ? (m 2 ? 4) ? 4mi , 又因为复数 (m ? z ) 2 所表示的点在第一象限,所以 ? 所以实数 m 的取值范围是 (??,?2) . 考点:复数代数形式的混合运算;复数的基本概念. 22. (1) z ? 4 ? 2i ; (2) ? 2 ? m ? 2 【解析】 试题分析: (1)根据题意设复数的代数形式, z ? x ? yi ? x, y ? R ? ,由于 z ? 2i 为实数,因 此虚部为 0, z ? 4 为纯虚数,因此实部为 0,虚部不等于 0; (2)处理有关复数的基本概念 问题, 关键是找准复数的实部和虚部, 从定义出发, 把复数问题转化为实数问题来解决; (3) 要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、 复平面内的点及向量三者之间是一一对应关系, 从 而准确的理解复数的“数”与“形”的特征. 试题解析:解: (1)设 z ? x ? yi ? x, y ? R ? . 由 z ? 2i ? x ? ( y ? 2)i 为实数,得 y ? 2 ? 0 ,即 y ? ?2 . 由 z ? 4 ? ( x ? 4) ? yi 为纯虚数,得 x ? 4 . ∴ z ? 4 ? 2i . (2)∵ ( z ? mi) ? (?m ? 4m ? 12) ? 8(m ? 2)i ,
2 2
2 ? ?12 ? 4m ? m ? 0, 根据条件,可知 ? ? ?8(m ? 2) ? 0, 解得 ? 2 ? m ? 2 ,

?m 2 ? 4 ? 0 ,得 m ? ?2 . ?? 4 m ? 0

1分 3分 5分 6分 8分

10 分

∴实数 m 的取值范围是 ? ?2, 2 ? . 考点: (1)复数的概念; (2)复数的几何意义. 23.

12 分

?1 ? 5 3 ?m? 2 2

【解析】
答案第 6 页,总 7 页

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试题分析: 由 z ? (m2 ? m ? 1) ? (4m2 ? 8m ? 3)i 可得 z ? (m2 ? m ? 1) ? (4m2 ? 8m ? 3)i ,

?m 2 ? m ? 1 ? 0 ?1 ? 5 3 ? 又 z 对应的点在第一象限,故 ? 2 ,即可求得 ?m? . 2 2 ? ?4m ? 8m ? 3 ? 0
试题解析:

z ? (m2 ? m ? 1) ? (4m2 ? 8m ? 3)i , ? z ? (m2 ? m ? 1) ? (4m2 ? 8m ? 3)i ,
2 ? ?1 ? ?m ? m ? 1 ? 0 ,解得 2 2 ? ?4m ? 8m ? 3 ? 0

由题意易得 ?

5

?m?

3 2

,即

m 得取值范围是

?1 ? 5 3 ?m? . 2 2
考点:复数的共轭复数;复数的坐标. 24. 【解析】 试题分析:由参数方程可得 x?

1

?

x' , y ?

1

?

y' , 代 入 到 椭圆 方 程 中 , 可 得

1 9?
2

x' ?

2

3 2 2 2 y ' ? 1,为 x'2 ? y'2 ? 9 ,则 9? ? 9 , 4? ? 9 ,则 λ =1,μ = . 2 4?
2

1

考点:参数方程. 16.

x2 y2 ? ?1 4 9

【解析】

1 ? x ? x? ? ?x??2 ? ? y??2 ? 1 ,即 x 2 ? y 2 ? 1 ? 2 试题分析:由伸缩变换得 ? 代入圆的方程 4 9 4 9 ? y ? 1 y? ? 3 ?

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