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高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理同步练习新人教B版必修5-含答案

1.1.1 正弦定理 1.已知△ABC 中,a=4 3,b=4 2,∠A=60°,则∠B 等于( ) A.45° B.135° C.45°或 135° D.以上都不对 2.在△ABC 中,bsinA<a<b,则此三角形有( ) A.一解 B.两解 C.无解 D.一解或两解或无解 3.在△ABC 中,a=6,∠B=30°,∠C=120°,则△ABC 的面积为__________. 4.在△ABC 中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则 a∶b∶c=__________. 3 4 2× 2 a b b·sinA 2 答案:1.A 由正弦定理 = ,得 sinB= = = , sinA sinB a 2 4 3 ∴∠B=45°或 135°,当 B=135°时,∠B+∠A>180°. ∴∠B=45°. 2.B 结合图形知有两解. 3.9 3 a 6 3 ∠A=180°-30°-120°=30°,由正弦定理得 c= ·sinC= · =6 3, sinA 1 2 2 1 1 1 ∴S△ABC= a·c·sinB= ×6×6 3× =9 3. 2 2 2 4.1∶ 3∶2 ∵∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,且∠A+∠B+∠C=180°, ∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°. 1 3 ∴a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=sin30°∶sin60°∶sin90°= ∶ ∶1=1∶ 3∶2. 2 2 课堂巩固 1.在△ABC 中,已知∠A=150°,a=3,则其外接圆半径 R 的值为( A.3 B. 3 C.2 D.不确定 2.在△ABC 中,若 3a=2bsinA,则∠B 等于( ) A.30° B.60° C.30°或 150° 3.(2009 江苏徐州模拟)已知△ABC 中, AB · AC <0,S△ABC= ) D.60°或 120° 15 ,| AB |=3,| AC |=5, 4 则∠A=__________. 4.在△ABC 中,已知 a=x,b=2,∠B=45°,如果利用正弦定理解三角形有两解,则 x 的范围是__________. 5.根据下列条件解三角形. ①a=7,b=9,∠A=100°;②a=10,b=20,∠A=60°; ③a=2,b= 2,∠A=45°;④a=2 3,b=6,∠A=30°. 1 6.在△ABC 中,已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断△ABC 的形状. 答案:1.A 在△ABC 中, ∴R=3. a 2b 2.D 由 3a=2bsinA 得 = , sinA 3 又 ∴ a b = , sinA sinB b 2b = . sinB 3 3 . 2 a 3 = =6=2R, sinA sin150° ∴sinB= ∴∠B=60°或 120°. 3.150° 由·<0,得∠A 为钝角, 15 1 15 由 S△ABC= ,||=3,||=5,得 ×3×5sinA= , 4 2 4 1 ∴sinA= ,即∠A=150°. 2 4.(2,2 2) ∵有两解, ∴asinB<b<a,即 xsin45°<2<x. 解得 2<x<2 2. 5.解法一:①a=7,b=9, ∴a<b. ∴∠A<∠B. 又∠A=100°,∴本题无解. ②bsinA=20·sin60°=10 3, ∴a<bsinA.∴本题无解. ③∵a=2,b= 2,∠A=45°<90°, ∴∠A>∠B.∴三角形有一解. bsinA sinB= = a 2× 2 2 2 1 = ,∴∠B=30°, 2 ∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-(35°+45°)=105°, bsinC 2×sin105° 6+ 2 c= = =2 2× = 3+1. sinB 1 4 2 ④a=2 3,b=6,a<b,∠A=30°<90°. 又∵bsinA=6sin30°,a>bsinA, ∴本题有两解. bsinA 6sin30° 3 由正弦定理,得 sinB= = = , a 2 2 3 ∴∠B=60°或∠B=120°. 当∠B=60°时,∠C=90°, 2 asinC 2 3sin90° 边 c= = =4 3; sinA sin30° asinC 当∠B=120°时,∠C=30°,边 c= =2 3. sinA 解法二:对于第②③④小题,也可接如下解法求解. bsinA 20sin60° ②sinB= = = 3>1, a 10 ∴三角形无解. bsinA 1 ③sinB= = , a 2 又 a>b,∴∠A>∠B,即∠B 为锐角. ∴∠B=30°,有一解. bsinA 3 ④sinB= = ,又 a<b,即∠A<∠B,∠A=30°, a 2 ∴∠B=60°或 120°,有两解. 6.解:∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B), ∴(a2+b2)(sinAcosB-cosAsinB)=(a2-b2)(sinAcosB+cosAsinB). 整理,得 a2cosAsinB=b2sinAcosB, 由正弦定理,得 sinAcosA=sinBcosB, ∴sin2A=sin2B. ∵0<A<π ,0<B<π , ∴2A+2B=π 或 2A=2B. π ∴A=B 或 A+B= . 2 ∴△ABC 为直角三角形或等腰三角形. 1.在△ABC 中,∠B=45°,∠C=60°,c=1,则最短边的边长为( 6 6 1 B. C. 3 2 2 1.答案:A 由题意可得∠A=180°-45°-60°=75°. ∵∠B 最小,∴最小边是 b. A. 由 c b csinB 6 = ,得 b= = . sinC sinB sinC 3 D. 3 2 ) 2.(福建高考,文 7)已知锐角△ABC 的面积为 3 3,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为( A.75° B.60° C.45° D.30° 1 2.答案:B S△ABC= ×3×4sin

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