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福州三中2014届5月高三理数试卷含答案


2013~2014 学年福州三中高三数学(理科)考前模拟试卷 2014.05.24
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: (1) 答卷前,考生务必用 0.5mm 黑色签字笔将自己的班级、姓名、座号填写在试卷和答卷的密封线外。 (2) 请考生认真审题,将试题的答案正确书写在答卷上的指定位置,并认真检查以防止漏答、错答。 (3) 考试中不得使用计算器。 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.计算 i (1 ? i ) 2 的值等于( ) A.-4 B.2
2

C.-2i

D.4i

2.已知集合 A ? {x | ?1 ? x ? 1} , B ? {x | x ? x ? 0} ,则 A ? B 等于 ( ) A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | 0 ? x ? 1} 3.原命题 p : “设 a、b、c ? R, 若a ? b, 则ac2 > bc ”以及它的逆命题,否命题、逆否命题中,真命题共 有( )个. A.0 B.1 C.2 D.4
2

4.已知角 ? 的终边与单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 交于 P( , y 0 ) ,则 cos 2? 等于(

1 2



1 1 3 B. C. ? 2 2 2 π? ? ? π ? 5.函数 y ? sin ? 2 x ? ? 在区间 ? ? ,π ? 的简图是( 3? ? ? 2 ?
A. ?

D.1 )

y
? ? 3

1
? 6

1
?

y
? 6

? ? 2

O

x

?

?1

? ?? O 3 2 ?1

? x

A.

B.

y

y
?
? 3

1
? O ? ? ? 6 2

?

x

?

?1

? 2

? 6

1
? 3

O

? x

?1
D.

C.

6.某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是(



x x 2x ? 1 C. f ( x) ? x 2 ?1
A. f ( x) ?

B. f ( x) ?

cos x ? ? (? ? x ? ) x 2 2
2 2

D. f ( x) ? x ln( x ? 1)

7.设 x 为非零实数,则 p : x ? A.充分不必要条件

1 ? 2 是 q : x ? 1 成立的 ( ) x
B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

x2 ? y 2 ? 1 和 C2 : x 2 ? y 2 ? 1, 8.已知曲线 C1 : 且曲线 C 1 的焦点分别为 F1 、F2 , 点 M 是 C1 和 C2 的一个交点, 3 则△ MF ) 1F2 的形状是(
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.都有可能 3 9.设 a ? R ,函数 f ( x) ? e x ? a ? e? x 的导函数 f ?( x ) 是奇函数,若曲线 y ? f ( x) 的一条切线的斜率是 ,则 2 切点的横坐标为( ) ln2 ln2 A.- B.-ln2 C. D.ln2 2 2 10. 设 [ m ] 表示不超过实数 m 的最大整数,则在直角坐标平面 xOy 上满足 [ x]2 ? 4[ y] 2 ? 100 的点 P( x, y) 所 形成的图形的面积为( ) A.10 B. 12 C. 10 ? D. 12 ? 第二卷 (非选择题共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置. 11.在 (1 ? x)5 ? (1 ? x)6 ? (1 ? x)7 的展开式中,含 x 的项的系数是___
4

12.若等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 ? 15, a1 ? 2 ,则 a4 ? ______. 13. 已知 ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c .若△ ABC 的面积

S ? b2 ? c 2 ? a 2 ,则 tan A ? 的值是


正视图 侧视图

14.若一个四棱锥的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都是边长为 2 的等边三角 形,则该四棱锥的四条侧棱长之和等于_____________ 15.已知集合 M ? {( x, y) y ? f ( x)} ,若对于任意实数对 ( x1 , y1 ) ? M ,存在

( x2 , y2 ) ? M ,使得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 为“正交点集”,给出下列集
合:
2 ① M ? {( x, y ) y ? } ;② M ? {( x, y ) y ? ? x ? 1} ;③ M ? {( x, y) y ? cos x} ;

俯视图

第 14 题

1 x

④ M ? {( x, y ) y ? x ? } ;⑤ M ? {( x, y ) x ? y ? 1} . 则满足条件的“正交集合”有:_________________________(写出所有满足条件的集合的序号) 三、 解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 并填入的部分数据如下表:

1 x

?

2

) 在某一个周期内的图象时,列表

(Ⅰ)请求出上表中的 x1 , x2 , x3 ,并直接写出函数 f ( x ) 的解析式;

2 个单位得到函数 g ( x) ,若函数 g ( x) 在 x ?[0, m] (其中 m ? (2, 4) ) 3 上的值域为 [? 3, 3] ,且此时其图象的最高点和最低点分别为 P, Q ,求 OP 与 OQ 夹角 ? 的大小。
(Ⅱ)将 f ( x ) 的图象沿 x 轴向右平移

17. (本小题满分 13 分) 我国政府对 PM2.5 采用如下标准: PM2.5 日均值 m(微克/立方米) 空气质量等级

PM2.5 日均值 (微克/立方米) 2 8 2 m ? 35 一级 3 8 2 1 35 ? m ? 75 二级 4 4 5 6 3 8 m ? 75 超标 7 7 某市环保局从 180 天的市区 PM2.5 监测数据中,随机抽取 l0 天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位 为茎,个位为叶). (I)求这 10 天数据的中位数. (II)从这 l0 天的数据中任取 3 天的数据,记 ? 表示空气质量达到一级的天数,求 ? 的分布列; (III) 以这 10 天的 PM2.5 日均值来估计这 180 天的空气质量情况,其中大约有多少天的空气质量达到一级.

18.(本小题满分 13 分) 如图,平面 ABEF ? 平面 ABC ,四边形 ABEF 为矩形, AC ? BC . O 为 AB 的中点, OF ? EC . (Ⅰ)求证: OE ? FC ; (Ⅱ)若
F E

AC 3 时,求二面角 F ? CE ? B 的余弦值. ? AB 2
B

A

O

C

第 18 题图

19. (本小题满分 13 分)

x2 y2 ? 1 的焦点在 x 轴上, F1 , F2 分别是椭圆的左、 设椭圆 E : 2 ? 2 右焦点, 点 P 是椭圆在第一象限内的点, a r ? a2 直线 F2 P 交 y 轴与点 Q , (Ⅰ)当 r ? 1 时, 3 (i)若椭圆 E 的离心率为 ,求椭圆 E 的方程; 2 (ii)当点 P 在直线 x ? y ? 1 上时,求直线 F1 P 与 FQ 的夹角; 1 P 是否在某定直线上,若是写出该直线方程(不 (II) 当 r ? r0 时,若总有 F1P ? FQ 1 ,猜想:当 a 变化时,点
必求解过程).

20.(本小题满分 14 分)
2 设 n ? N ? , 圆 Cn : x2 ? y 2 ? Rn (Rn ? 0) 与 y 轴正半轴的交点为 M ,与曲线 y ?

x 的交点为 N ( xn , yn ) ,直

线 MN 与 x 轴的交点为 A(an ,0) . (I)用 xn 表示 Rn 和 an (II)若数列 {xn } 满足 ( xn ?1)2 ? ( xn?1 ? 1)( xn?1 ? 1)(n ? 2), x1 ? 3, x2 ? 15 (i)求常数 p 的值,使得数列 {an?1 ? pan } 成等比数列; (ii)比较 an 与 2 ? 3 的大小.
n

21.本题设有(1) (2) (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分。如果多做,则按所 做的前两题计分。作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中。 (1 ) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 设 a, b ? R ,若矩阵 A= ?

?1 a ? ? 的变换把直线 l : x ? y ? 1 ? 0 变换为另一直线 l ? : x ? 2 y ? 1 ? 0 . ?b 0?

(1)求 a , b 的值; (2)求矩阵 A 的特征值.

(2 ) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? ?x ? ? x ? cos ?, ? 已知曲线 C1: ? ( ? 为参数) ,曲线 C2: ? ? y ? sin ? ?y ? ? ?

2 t ? 2, 2 (t 为参数) . 2 t 2

(1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数;

C1? (2) 若把 C1, C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半, 分别得到曲线 C1?,C2? . 写出 C1?,C2? 的参数方程.
与 C 2? 公共点的个数和 C 1 与C2 公共点的个数是否相同?说明你的理由.

( 3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 2 2 对于 x∈R,不等式|x-1|+|x-2|≥ a + b 恒成立,试求 2 a + b 的最大值。

2013~2014 学年福州三中高三数学(理科)考前模拟试卷 2014.05.24
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: (4) 答卷前,考生务必用 0.5mm 黑色签字笔将自己的班级、姓名、座号填写在试卷和答卷的密封线外。 (5) 请考生认真审题,将试题的答案正确书写在答卷上的指定位置,并认真检查以防止漏答、错答。 (6) 考试中不得使用计算器。 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

要求的. 1.计算 i (1 ? i ) 2 的值等于( ) A.-4 B.2 【解析】B C.-2i D.4i

2.已知集合 A ? {x | ?1 ? x ? 1} , B ? {x | x 2 ? x ? 0} ,则 A ? B 等于 ( ) A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | 0 ? x ? 1} 【解析】A.由 B 得 0 ? x ? 1 ,因此选 A
2 3.原命题 p : “设 a、b、c ? R, 若a ? b, 则ac2 > bc ”以及它的逆命题,否命题、逆否命题中,真命题共

有( )个. A.0 B.1 C.2 【解析】C.考虑 C=0 的情形,只有逆命题和逆否命题正确,选 C

D.4 )

4.已知角 ? 的终边与单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 交于 P( , y 0 ) ,则 cos 2? 等于( A. ? 【解析】 ?

1 2

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.1

1 2

5.函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? π ? ? 在区间 ? ? ,π ? 的简图是( 3? ? 2 ?
y



y

?

? ? 2

? 3

1
? 6

1
?

O

x

?

?1

? ?? O 3 2 ?1

? 6

? x

A.

B.

y

y
?
? 3

1
? O ? ? ? 6 2

x

?

?1

? 2

? ? 6

1
? 3

O

? x

?1
D.

C. 【解析】A

? π? 3 ? ? π? ? f (? ) ? sin ? 2? ? ? ? ? , 排除B、D, f ( ) ? sin ? 2 ? ? ? ? 0, 排除C. 6 6 3? 3? 2 ? ?
也可由五点法作图验证.∴应选 A 6.某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是 A. f ( x) ? C. f ( x) ?

x x 2x ? 1 2x ? 1

B. f ( x) ?

cos x ? ? (? ? x ? ) x 2 2
2 2

D. f ( x) ? x ln( x ? 1)

【解析】C.根据程序框图知输出的函数为奇函数,并且此函数存在零点.经验证:

x cos x 2x ? 1 2 2 f ( x) ? 不存在零点; f ( x) ? 不存在零点; f ( x) ? x ln( x ? 1) 为偶函数,且 f ( x) ? x 的定义 x x 2 ?1 2x ? 1 域为全体实数,且 f (? x) ? ? f ( x) ,故此函数为奇函数,且令 f ( x) ? x ,得 x ? 0 ,函数 f ( x ) 存在零 2 ?1
点,答案 C 7.设 x 为非零实数,则 p : x ? A.充分不必要条件

1 ? 2 是 q : x ? 1 成立的 ( ) x
B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】B.若 p 成立, q 不一定成立,如取 x ? 0.5 ,反之成立,故 p 是 q 的必要不充分条件,故选 B

8.已知曲线 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 和 C2 : x 2 ? y 2 ? 1, 且曲线 C 1 的焦点分别为 F1 、F2 , 点 M 是 C1 和 C2 的一个交点, 3
) B.直角三角形 C.钝角三角形 D.都有可能

则△ MF 1F2 的形状是( A.锐角三角形 【解析】B.

3 9.设 a ? R ,函数 f ( x) ? e x ? a ? e? x 的导函数 f ?( x ) 是奇函数,若曲线 y ? f ( x) 的一条切线的斜率是 ,则 2 切点的横坐标为( ln2 A.- 2 ) B.-ln2 ln2 C. 2 D.ln2

【解析】D 由于 f ?( x) ? e x ? a ? e? x ,故若 f ?( x ) 为奇函数,则必有 f ?(0) ? 1 ? a ? 0 ,解得 a ? 1 ,故 f ?( x ) =

e x ? e? x .设曲线上切点的横坐标为 x0 ,则据题意得 f ?( x0 ) = e x0 ? e? x0 ?

3 x ,解得 e 0 ? 2 ,故切点横坐标 2

x0 ? ln 2 .故选 D
10. 设 [ m ] 表示不超过实数 m 的最大整数,则在直角坐标平面 xOy 上满足 [ x] ? 4[ y] ? 100 的点 P( x, y) 所 形成的图形的面积为( ) A.10 B. 12 C. 10 ? D. 12 ? 【解析】B
2 2

第二卷 (非选择题共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置. 11.在 (1 ? x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) 的展开式中,含 x 的项的系数是___
5 6 7
4

【解析】55

x 4 的项的系数是 C54 ? C64 ? C74 ? 55 ,因此填 55.

12.若等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 ? 15, a1 ? 2 ,则 a4 ? ______. 【解析】11 13. 已知 ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c .若△ ABC 的面积

S ? b2 ? c 2 ? a 2 , 则 tan A ? 的值是 。 1 b2 ? c 2 ? a 2 2 2 2 【解析】 S ? bc sin A ? b ? c ? a 得 sin A ? 4 得 tan A ? 4 。 2 2bc

正视图

侧视图

俯视图

第 14 题

14.若一个四棱锥的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都是边长为 2 的等边三角形,则该四棱锥的四条侧 棱长之和等于_____________ 【解析】由三视图可知该四棱锥的四个侧面是底边长为 2,高为 2 的全等的等腰三角形,所以每条侧棱长都 等于 5 ,所以四条侧棱长之和为 4 5 , 15.已知集合 M ? {( x, y) y ? f ( x)} ,若对于任意实数对 ( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y2 ) ? M ,使得

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 为“正交点集”,给出下列集合:
2 ① M ? {( x, y ) y ? } ;② M ? {( x, y ) y ? ? x ? 1} ;③ M ? {( x, y) y ? cos x} ;

1 x

④ M ? {( x, y ) y ? x ? } ;⑤ M ? {( x, y ) x ? y ? 1} . 则满足条件的“正交集合”有:_________________________(写出所有满足条件的集合的序号) 【解析】②③⑤ 四、 解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 并填入的部分数据如下表:

1 x

?
2

) 在某一个周期内的图象时,列表

(Ⅰ)请求出上表中的 x1 , x2 , x3 ,并直接写出函数 f ( x ) 的解析式;

2 个单位得到函数 g ( x) ,若函数 g ( x) 在 x ?[0, m] (其中 m ? (2, 4) ) 3 上的值域为 [? 3, 3] ,且此时其图象的最高点和最低点分别为 P, Q ,求 OP 与 OQ 夹角 ? 的大小。
(Ⅱ)将 f ( x ) 的图象沿 x 轴向右平移

【解析】

17. (本小题满分 13 分) 我国政府对 PM2.5 采用如下标准: PM2.5 日均值 (微克/立方米)

PM2.5 日均值 m(微克/立方米) 空气质量等级

m ? 35
35 ? m ? 75

一级 二级 超标

m ? 75

2 3 4 6 7

8 8 4 3 7

2 2 1 5 8

某市环保局从 180 天的市区 PM2.5 监测数据中,随机抽取 l0 天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位 为茎,个位为叶). (I)求这 10 天数据的中位数. (II)从这 l0 天的数据中任取 3 天的数据,记 ? 表示空气质量达到一级的天数,求 ? 的分布列; (III) 以这 10 天的 PM2.5 日均值来估计这 180 天的空气质量情况,其中大约有多少天的空气质量达到一级. 解:(I)10 天的中位数为(38+44)/2=41(微克/立方米) (II)由 N ? 10, M ? 4, n ? 3 , ? 的可能值为 0,1,2,3
k 3? k C4 ? C6 利用 P(? ? k ) ? (k ? 0 , 1 , 2 , 3) 即得分布列: 3 C10

-----------2 分

?
p

0

1

2

3

1 6

1 2

3 10

1 30
-----------10 分

(III)一年中每天空气质量达到一级的概率为 一年中空气质量达到一级的天数为 72 天. 18.(本小题满分 13 分)

2 2 2? ? ,由? ~ B ? 180, ? , 得到 E? ? 180 ? ? 72 (天) , 5 5 5? ?
-----------13 分

如图,平面 ABEF ? 平面 ABC ,四边形 ABEF 为矩形, AC ? BC . O 为 AB 的中点, OF ? EC .
F E

A

O

B

C

第 18 题图

(Ⅰ)求证: OE ? FC ; (Ⅱ)若

AC 3 时,求二面角 F ? CE ? B 的余弦值. ? AB 2

在的直线分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系, 则 F (0, ?1,1), E(0,1,1), B(0,1,0), C( 2,0,0), 从而 CE ? (? 2,1,1), EF ? (0, ?2,0), 设平面 FCE 的法向量

?CE n ? 0 ? ,得 n ? (1,0, 2) , n ? ( x, y, z) ,由 ? EF n ? 0 ? ?

-----------9 分

同理可求得平面 CEB 的法向量 m ? (1, 2,0) ,设 n, m 的夹角为 ? ,则 cos? ?

nm n m

?

1 ,由于二面角 3

F ? CE ? B 为钝二面角,则余弦值为 ?
19. (本小题满分 13 分) 设椭圆 E :

1 3

-----------13 分

x2 y2 ? ? 1 的焦点在 x 轴上, F1 , F2 分别是椭圆的左、 右焦点, 点 P 是椭圆在第一象限内的点, a2 r 2 ? a2

直线 F2 P 交 y 轴与点 Q , (Ⅰ)当 r ? 1 时, (i)若椭圆 E 的离心率为

3 ,求椭圆 E 的方程; 2

(ii)当点 P 在直线 x ? y ? 1 上时,求直线 F1 P 与 FQ 的夹角; 1

P 是否在某定直线上,若是写出该直线方程(不 (II) 当 r ? r0 时,若总有 F1P ? FQ 1 ,猜想:当 a 变化时,点
必求解过程). 【解析】

4 5x2 y 2 c 3 2 ? =1 . (Ⅰ)(i) b ? 1 ? a , c ? 2a ?1 , 2a ? 1 ? ? ,解得 a = .故椭圆 E 的方程为 5 4 4 a 2
2 2

2

2

-----------4 分 (ii)设 P( x0 , y0 ) , F1 (?c,0) F2 (c,0) , ,其中 c ? 2a2 ?1 .由题设知 x0 ? c ,

将直线 y ? 1 ? x 代入椭圆 E 的方程,由于点 P( x0 , y0 ) 在第一象限,解得 x0 ? a2 , y0 ? 1 ? a2 ---------6 分

y0 y0 ,直线 F2P 的斜率 kF2 P = , x0 ? c x0 ? c y0 cy0 故直线 F2P 的方程为 y= , ( x ? c) .当 x=0 时,y= x0 ? c c ? x0 cy0 y 即点 Q 坐标为 (0, ) .因此,直线 F1Q 的斜率为 k F1Q = 0 . c ? x0 c ? x0 y0 y 所以 kF1P ? kF1Q = ? 0 =-1. x0 ? c c ? x0
则直线 F1P 的斜率 k F1P = 所以 F1P⊥F1Q, (3)点 P 过定直线,方程为 x ? y ? r0 20.(本小题满分 14 分)
2 设 n ? N ? , 圆 Cn : x2 ? y 2 ? Rn (Rn ? 0) 与 y 轴正半轴的交点为 M ,与曲线 y ?

-----------10 分 -----------13 分

x 的交点为 N ( xn , yn ) ,直

线 MN 与 x 轴的交点为 A(an ,0) . (I)用 xn 表示 Rn 和 an (II)若数列 {xn } 满足 ( xn ?1)2 ? ( xn?1 ? 1)( xn?1 ? 1)(n ? 2), x1 ? 3, x2 ? 15 (i)求常数 p 的值,使得数列 {an?1 ? pan } 成等比数列; (ii)比较 an 与 2 ? 3 的大小.
n

解:(I) y ?

2 2 2 2 2 ? xn ? yn ? xn ? xn ,即 Rn ? xn ? xn .由题可知,点 M 的坐标为 x 与圆 Cn 交于点 N ,则 Rn

(0, Rn ) , 从 而 直 线 MN 的 方 程 为
Rn ?


x y x y ? ? 1 , 由 点 N ( xn ,yn )在 直 线 MN 上 得 n ? n ? 1 , 将 an Rn an Rn

x2n ? xn, yn ? xn 代入,

xn xn ? ?1 , 2 an xn ? xn
xn xn ? 1 xn ? 1 ? 1
2

? an ?

? 1 ? xn ? 1 ? xn 即 an ? 1 ? xn ? 1 ? xn

-----------4 分

(II) 由 ( xn ? 1) ? ( xn?1 ? 1)( xn?1 ? 1) 知, {xn ? 1} 为等比数列,由 1 ? x1 ? 4 , 1 ? x2 ? 16 知,公比为 4 ,故

1 ? xn ? 4 ? 4n?1 ? 4n ,所以 an ? 4n ? 4n ? 4n ? 2n
(i) an?1 ? p ? an ? ... ? (4 ? p) ? 4 ? (2 ? p) ? 2 ,
n n

-----------5 分

an?2 ? p ? an?1 ? ... ? (16 ? 4 p) ? 4n ? (4 ? 2 p) ? 2n ,

令 an?2 ? p ? an?1 ? q(an?1 ? pan ) 得

(16 ? 4 p) ? 4n ? (4 ? 2 p) ? 2n ? q(4 ? p) ? 4n ? (2 ? p) ? 2n
由等式 (16 ? 4 p) ? 2n ? (4 ? 2 p) ? q(4 ? p) ? 2n ? q(2 ? p) 对于任意 n ? N ? 成立,得

?16 ? 4 p ? q(4 ? p) ?p ? 2 ?p ? 4 解得 ? 或? ? ?4 ? 2 p ? q(2 ? p) ?q ? 4 ?q ? 2
故当 p ? 2 时,数列 {an?1 ? p ? an } 成公比为 4 的等比数列; 当 p ? 4 时,数列 {an?1 ? p ? an } 成公比为 2 的等比数列.

-----------8 分

-----------9 分

1 (ii) 由 (i) 知 an ? 4n ? 2n , 当 n ? 1 时 , a1 ? 6 ? 3 ? 2 ; 当 n ? 2 时 , an ? 4n ? 2n ? 2 ? 3n . 事 实 上, 令

f ( x) ? ( x ? 1)n ? xn ( x ? 0) ,则 f ' ( x) ? n[( x ? 1)n?1 ? xn?1 ] ? 0 故 f ( x) ? ( x ? 1)n ? xn ( x ? 0) 是增函数,所以 f (3) ? f (2) ,即 4n ? 3n ? 3n ? 2n
即 an ? 4n ? 2n ? 2 ? 3n . -----------14 分

21.本题设有(1) (2) (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分。如果多做,则按所 做的前两题计分。作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中。 (1 ) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 设 a, b ? R ,若矩阵 A= ?

?1 a ? ? 的变换把直线 l : x ? y ? 1 ? 0 变换为另一直线 l ? : x ? 2 y ? 1 ? 0 . ?b 0?

(1)求 a , b 的值; (2)求矩阵 A 的特征值. 【解】 (1)设直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上的任一点 P( x, y) 在变换作用下变成了 P?( x?, y?) ,则有

? x? ? x ? ay, ? ? y? ? bx. P?( x?, y?) 在直线 l ? : x ? 2 y ? 1 ? 0 上, x ? ay ? 2bx ? 1 ? 0 , 所以 (2b ? 1) x ? ay ? 1 ? 0 , 即 ?2b ? 1 ? ?1, 所以 ? ?a ? ?1, a ? b ? ?1 . 所以 ? 1 ? 1? (2)由(1)知矩阵 A= ? ?, ? ?1 0 ? ? ? ?1 1 ? 特征矩阵为 ? ?. ? 1 ??


? x? ? ?1 a ?? x ? ? x ? ay ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?, y b 0 y bx ? ? ? ?? ? ? ?
?????1 分

?????2

?????4 分

?????5 分

特征多项式为 f (? ) ?

? ?1 1 ? ? 2 ? ? ?1, 1 ?
1? 5 1? 5 , ?2 ? ,?????7 分 2 2

令 f (? ) ? 0,解得矩阵 A 的特征值 ?1 =

(2 ) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? ?x ? ? x ? cos ?, ? 已知曲线 C1: ? ( ? 为参数) ,曲线 C2: ? ? y ? sin ? ?y ? ? ?

2 t ? 2, 2 (t 为参数) . 2 t 2

(1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数;

C1? (2) 若把 C1, C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半, 分别得到曲线 C1?,C2? . 写出 C1?,C2? 的参数方程.
与 C 2? 公共点的个数和 C 1 与C2 公共点的个数是否相同?说明你的理由. 【解】 (1) C1 是圆, C2 是直线.

C1 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 1,圆心 C1 (0, 0) ,半径 r ? 1 .
C2 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 .
因为圆心 C1 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 1 , 所以 C2 与 C1 只有一个公共点. (2)压缩后的参数方程分别为 ?????4 分 ?????2 分

2 t ? 2, 2 (t 为参数) . 2 t 4 1 2 化为普通方程为: C1? : x2 ? 4 y 2 ? 1 , C 2? : y ? x ? ,?????6 分 2 2 2 联立消元得 2 x ? 2 2 x ? 1 ? 0 , 其判别式 ? ? (2 2)2 ? 4 ? 2 ?1 ? 0 ,?????7 分
所以压缩后的直线 C 2? 与椭圆 C1? 仍然只有一个公共点,和 C1 与 C2 公共点个数相同. ( 3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 对于 x∈R,不等式|x-1|+|x-2|≥ a + b 恒成立,试求 2 a + b 的最大值。
2 2

? ? x ? cos ?, ?x ? ? ? ? C C1? : ? ? ( 为参数) ; : 1 ? 2 y ? sin ? ? ?y ? ? 2 ? ?

【解析】| x -1|+| x -2|=| x -1|+|2- x |≥| x -1+2- x |=1 , ??????????? 2 分 故 a + b ≤1.
2 2

???????????? 3 分
2 2

(2 a + b ) ≤(2 +1 )(
2

a 2+ b 2) ≤5. ????????????5 分
a ? 2b



a b ? 2 1 a 2 ? b2 ? 1

?

b2 ?

1, 5

即取 b =

5 2 5 ,a ? 时等号成立.故(2 a + b )max= 5 . ???????????? 7 分 5 5


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