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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版,选修2-3)练习:1.3 第1课时]


第一章
一、选择题

1.3

第 1 课时

2 3 4 n n 1.1-2C1 n+4Cn-8Cn+16Cn+…+(-2) Cn=(

)

A.1 C.(-1)n [答案] C [解析] 原式=(1-2)n=(-1)n. 故选 C.

B.-1 D.3n

2.S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3,则 S 等于( A.(x-2)4 C.(x+1)4 [答案] B B.x4 D.x4+1

)

[解析] S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=[(x-1)+1]4=x4.故应选 B. 3.?

? a - x?6 2 ? 的展开式的第三项为( ? x a ?

) 15 B.- x 20 D. 2 a

15 A. x 6x2 C.- 2 a [答案] A

? [解析] T3=T2+1=C2 6

a ?4 ? x?2 15 · = .故应选 A. ? x? ?- a2 ? x ) B.40 D.10

4.(1+2x)5 的展开式中,x2 的系数等于( A.80 C.20 [答案] B

[解析] 本题主要考查二项式定理及二项展开式的性质.
r r r r 2 2 (1+2x)5 展开式中的第 r+1 项为 Tr+1=Cr 5(2x) =2 C5x ,令 r=2 得 T3=40x ,∴x 的系

数为 40,故选 B. 1 5.(2014· 湖南理,4)( x-2y)5 的展开式中 x2y3 的系数是( 2 A.-20 C.5 [答案] A B.-5 D.20 )

1 5-r 1 - 5-r r [解析] 展开式的通项公式为 Tr+1=Cr · (-2y)r=( )5 r· (-2)rCr y. 5( x) 5x 2 2 1 2 3 2 3 当 r=3 时为 T4=( )2(-2)3C3 5x y =-20x y ,故选 A. 2

?3 1? 6.在? 2x- ?20 的展开式中,系数是有理数的项共有( 2? ?
A.4 项 C.6 项 [答案] A [解析]
r

)

B.5 项 D.7 项

3 Tr+1=Cr 20(

2x)

20-r

1?r r 3 - - ?- 1 ?r=?- 2?r· ( 2)20 rCr x20 r=? C20· 2 20· ?-2? · 2? ? 2 ? ?

40+r
6

· x20



., ∵系数为有理数.且 0≤r≤20. ∴r=2,8,14,20.故选 A. 7.( x+ 35 A. 16 35 C. 4 [答案] B [解析] Tr+1 =Cr 8( x)
8-r

1 2 x

)8 的展开式中常数项为(

) 35 B. 8 D.105

( ) 2 x

1

r

1 =Cr 8·r×x 2

8-2r
6

,当 r=4 时,Tr+1 为常数,此时 C4 8×

1 24

35 = ,故选 B. 8 二、填空题 8.(2012· 湖南理)(2 x- [答案] -160
6 [解析] 考查二项式定理特殊项的求法. 由题意知, 设常数项为 Tr+1, 则 Tr+1=Cr 6(2 x)

1 6 ) 的二项展开式中的常数项为________.(用数字作答) x

-r

6-r r 1 r -2 r 6-r r 2 · (- ) =C62 (-1) x x ,∴3-r=0,∴r=3,∴Tr+1=-160,注意常数项是 x x

的次数为 0. 1 9.已知二项式(x- )n 的展开式中含 x3 的项是第 4 项,则 n 的值为____________. x [答案] 9
r n [解析] ∵通项公式 Tr+1=Cr n(-1) x
-2r



又∵第 4 项为含 x3 的项, ∴当 r=3 时,n-2r=3,∴n=9. 三、解答题 10.(1)求(1+2x)7 的展开式中第四项的系数; 1?9 3 (2)求? ?x-x? 的展开式中 x 的系数及二项式系数. [解析] (1)(1+2x)7 的展开式的第 4 项为
3 3 T3+1=C3 7(2x) =280x ,

∴(1+2x)7 的展开式中第四项的系数是 280. 1?9 (2)∵? ?x-x? 的展开式的通项为 1?r 9-r? r r 9-2r Tr+1=Cr C9x . 9x ?-x? =(-1) · 令 9-2r=3,r=3, ∴x3 的系数为(-1)3C3 9=-84. x3 的二项式系数为 C3 9=84.

一、选择题 1 2x+ 2?7 的展开式中倒数第三项的系数是( 1.? x? ? A.C6 2 7· C.C6 22 7· [答案] D 1 ?7 2 ? 1 ?5 [解析] ? 倒数第三项为展开式中第 6 项, T6=C5 7(2x) ·x2 , ?2x+x2? 的展开式共有 8 项, ? ? 系数为 C5 22.故选 D. 7· 2.在(1-x3)(1+x)10 的展开式中 x5 的系数是( A.-297 C.297 [答案] D [解析] x5 应是(1+x)10 中含 x5 项与含 x2 项.
2 ∴其系数为 C5 10+C10(-1)=207.

)

B.C6 26 7· D.C5 22 7·

)

B.-252 D.207

3.(2013· 辽宁理,7)使(3x+ A.4 C.6

1 n ) (n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的 n 为( x x B.5 D.7

)

[答案] B 5 n-r -2 r [解析] 由二项式的通项公式得 Tr+1=Cr xn ,若展开式中含有常数项,则 n- r n3 2 5 =0,即 n= r,所以 n 最小值为 5.选 B. 2 二、填空题 4.若(a3+4b2)n 的展开式中有一项是 ma12b8,则 m、n 的值分别为________. [答案] 17 920、8
3 n k [解析] 令 Tk+1=Ck (4b2)k=ma12b8,则有 n(a )


5

3?n-k?=12 ? ? ?2k=8 ? ?4kCk n=m

k=4 ? ? ,解得?n=8 ? ?m=17 920

.

5.(2014· 景德镇市高二质检)设 a=?πsinxdx,则二项式(a x-

?0

1 6 ) 的展开式中的常数项 x

等于________. [答案] -160 1 6 [解析] a=?πsinxdx=(-cosx)|π 二项式(2 x- )6 展开式的通项为 Tr+1=Cr 0=2, 6(2 x) x ?0
-r

· (-

1 r - 3-r ) =(-1)r· 26 r· Cr ,令 3-r=0 得,r=3,∴常数项为(-1)3· 23· C3 6x 6=-160. x

三、解答题 2 ?n 6.已知? ? x+x2? 的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数之比为 的常数项.
4 [解析] T5=Cn ( x)n 424x 8=16C4 nx
- -

,求展开式中

n-20 , 2

n-10 n-2 2 -4 2 2 T3=C2 ( x ) 2 x = 4C x . n n
4 16Cn 56 由题意知, 2 = ,解得 n=10. 4Cn 3

10 k k Tk+1=Ck 2x 10( x)


-2k

10-5k 2 =2kCk x 10

, 5k 令 5- =0,解得 k=2, 2
2 ∴展开式中的常数项为 C2 102 =180.

7.求(1+x+x2)8 展开式中 x5 的系数.

[解析] 解法 1:(1+x+x2)8=[1+(x+x2)]8.
2 r 5 2 r ∴Tr+1=Cr 8(x+x ) ,则 x 的系数由(x+x ) 来决定. r k 2k r k T′k+1=Ck x =Ck ,令 r+k=5, rx rx
- +

?r1=5 ?r2=4 ?r3=3 ? ? ? ∵k≤r,∴? ;或? ;或? . ?k1=0 ?k2=1 ?k3=2 ? ? ?
0 4 1 3 2 ∴含 x5 的系数为 C5 8C5+C8C4+C8C3=504. 8 1 7 2 6 解法 2: (1+ x+ x2)= [(1+ x)+x2]8=C0 x + C2 (x2)2+C3 8 (1 + x) + C 8 (1 + x) · 8 (1 + x) · 8 (1 + 5 1 3 2 1 x)5· (x2)3+…,则展开式中含 x5 的系数为 C0 8C8+C8C7+C8C6=504.

8.在? 3 项.

?2x2- 1 ?8 3 ? 的展开式中,求:(1)第 5 项的二项式系数及第 5 项的系数;(2)倒数第 x? ?

[解析] 要求展开式中某些特定的项或特定的系数时,可以不必写出全部的展开式,只 需利用通项公式即可.

? 1 ?4 4 4 20 - (1)∵T5=C4 (2x2)8 4· 2· x , ? 3 ? =C8· 8· 3 ? x?
4 4 ∴第 5 项的二项式系数是 C4 2 =1 120. 8=70,第 5 项的系数是 C8·

?- 1 ?6 - (2)解法 1:展开式中的倒数第 3 项即为第 7 项,T7=C6 (2x2)8 6· ? 3 ? =112x2. 8· x? ? ?2x2- 1 ?8 ? 1 -2x2?8 解法 2:在? ? 展开式中的第 3 项,T3= 3 ? 展开式中的倒数第 3 项就是? 3 x? ? ? x ? ? 1 ?8-2 2 2 2 C8 · (2x ) =112x2. ?3 ? · ? x?


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