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山东省临沂市2012-2013学年高二数学上学期期末考试 理 新人教A版

2012—2013 学年度上学期期末模块质量调研试题高二(理)数学
2013. 1 注意事项: 1.答题前,请先将自己的姓名、考场、考号在卷首的相应位置填写清楚; 2.选择题答案涂在答题卡上,非选择题用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接写在试卷上 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的). 1.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且 a ? A. 3
2

3b sin A ,则 sin B ?
D. ?

B.

6 3

C.

3 3

6 3

2.抛物线 y ? ? x 焦点坐标是

1 1 ,0) B.( ? ,0) 4 4 2 3.“ x ? 1 ”是“ x ? x ”的
A.( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 4.椭圆

C. (0, ?

1 ) 4

D.(0,

1 ) 4

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点,则 a 的值是 4 a a 2 1 1 A. B.1 或-2 C.1 或 D.1 2 2 5.若 A ( x,5 ? x, 2 x ? 1) ,B (1, x ? 2, x) ,当 AB 取最小值时, x 的值为
A.6 B.3 C. 2 D.1 6.下列命题中为真命题的是 ①“若 x ? y ? 0 ,则 x, y 不全为零” 的否命题; ②“等腰三角形都相似” 的逆命题; ③
2 2

“若 m ? 1 ,则不等式 x ? 2 x ? m ? 0 的解集为 R”的逆否命题。
2

A.①

B.①③

C.②③

D.①②③

7. 设 a1 , a 2 , a3 , a 4 成等比数列,其公比为 2,则 A.1 B.

1 4 a ?1 8.设 A 是△ABC 中的最小角,且 cos A ? ,则实数 a 的取值范围是 a ?1
C. A.a≥3
2

1 2

2a1 ? a 2 的值为 2a 3 ? a 4 1 D. 8

B.a>-1
2

C.-1<a≤3

D.a>0

9.已知方程 ax ? by ? ab和ax ? by ? c ? 0(其中ab ? 0, a ? b, c ? 0) ,它们所表示的曲线

-1-

可能是 A. B. C. D. 10. 在棱长为 1 的正方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,M 和 N 分别为 A1 B1 和 BB1 的中点,那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是 A.

2 5

B.

3 5

C.

10 10

D. ?

2 5

11. 正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中, BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为 A.

2 3

B.

3 3

C.

2 3

D.

6 3

12.椭圆
2

x2 y2 1 ? ? 1 上有两点 P、Q ,O 为原点,若 OP、OQ 斜率之积为 ? , 16 4 4
2

则 OP ? OQ A . 4

为 B. 20 C. 64 D. 不确定

2011—2012 学年度上学期期末模块质量调研试题 高二(理)数学 2012. 1 第 II 卷 综合题(共 90 分) 题号 得分 二 17 18 19 20 21 22 总分

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把正确答案填在题中横线上) 13.已知命题 p : ?x ? R , sin x ? 1,则 ?p :____________.

-2-

14.若双曲线

x2 y 2 ? ? ?1 的离心率为 3 ,则两条渐近线的方程为________________. a 2 b2

15.等差数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn,且 a4 ? a2 ? 8 , a3 ? a5 ? 26 .记 Tn ? 数 M,使得对一切正整数 n, Tn ? M 都成立.则 M 的最小值是

Sn ,如果存在正整 n2
.

?x ? y ? 5 ? 0 ? 16.若不等式组 ? y ? a 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是_______. ?0 ? x ? 2 ?
三、解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤) 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中, a, b, c 分别为角 A,B,C 所对的三边, a ? (b ? c) ? bc,
2 2

(I)求角 A; (II)若

b ? c ? 2 ,求 b 的值. sin B

18.(本小题满分 12 分) 设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , b1 ? b2 ? a 2 ,

b3是a1与a 4的等差中项。
(I)求 {an } , {bn } 的通项公式; (II)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 S n . ? bn ?

-3-

19.(本小题满分 12 分) 某投资商到一开发区投资 72 万元建起了一座蔬菜加工厂,经营中,第一年支出 12 万元, 以后每年支出增加 4 万元,从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元.设 f (n) 表示前 n 年的纯利 润总和, (f(n)=前 n 年的总收入–前 n 年的总支出–投资额 72 万元). (I)该厂从第几年开始盈利? (II)该厂第几年年平均纯利润 达到最大?并求出年平均纯利润的 最大值. ...... .......

20.(本小题满分 12 分) 已 知 a ? 0 , a ? 1 , 设 p : 函 数 y ? log a ( x ? 1) 在 (0, ??) 上 单 调 递 减 ; q : 曲 线

y ? x2 ?( 2 a ? 3) x ? 1 与 x 轴交于不同的两点, 如果 p 且 q 为假命题, p 或 q 为真命题,求实数
a 的取值范围.

-4-

21.(本小题满分 12 分) 如图所示,矩形 ABCD 的边 AB= a ,BC=2,PA⊥平面 ABCD,PA=2,现有数据: ①a ?

3 ;② a ? 1 ;③ a ? 3 ;建立适当的空间直角坐标系, 2

(I)当 BC 边上存在点 Q,使 PQ⊥QD 时, a 可能取所给数据中的哪些值?请说明理由; (II)在满足(I)的条件下,若 a 取所给数据的最小值时,这样的点 Q 有几个? 若沿 BC 方向 依次记为 Q1 , Q2 ,? ,试求二面角 Q1 ? PA ? Q2 的大小.

22.(本小题满分 14 分) 已知 △ABC 的顶点 A , B 在椭圆 x ? 3 y ? 4 上, C 在直线 l:y ? x ? 2 上,且 AB // l .
2 2

(1)当 AB 边通过坐标原点 O 时,求 AB 的长及 △ABC 的面积; (2)当 ?ABC ? 90 ,且斜边 AC 的长最大时,求 AB 所在直线的方程.
?

-5-

2012—2013 学年度上学期期末模块质量调研试题 高二(理)数学参考答案 2013.1 一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分) CCADD BCABA DB 二、填空题:(每小题 4 分,共 16 分) 13. ?p : ?x ? R , sin x ? 1 三、解答题: 17.解:(1)由 a 2 ? (b ? c) 2 ? bc得 : a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?bc 14. y ? ?

2 x 2

15. 2

16.

?5,7 ?

? b2 ? c2 ? a2 1 又 0 ? A ? ? , ∴ A ? 。 ??6 分 ? , ??3 分 3 2bc 2 b c ? ? (2) ? ,? sin C ? 1? C ? ,??8 分 ∴ B ? 。?????10 分 sin B sin C 2 6 b ? ∵ ? c ? 2,? b ? 2 sin B ? 2 sin ? 1 。?????????12 分 sin B 6 18.解:(1)设 ? an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且
? cos A ?
,解得 d ? 2 , q ? 2 . ∴ an ? 1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 ,?5 分 2 ?2q ? 1 ? 1 ? 3d bn ? q n ?1 ? 2n ?1 .??????????????????6 分 an 2 n ? 1 5 2n ? 3 2 n ? 1 ? n ?1 .?7 分 Sn ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? n ?2 ? n ?1 ,①???8 分 (2) 1 bn 2 2 2 2 2 5 2n ? 3 2n ? 1 2Sn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?3 ? n ?2 ,②?????????9 分 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 由②-①得 Sn ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? n ?2 ? n ?1 ??????10 分 2 2 2 2 1 1 ? n ?1 1 1 1 2n ? 1 2 ? 2n ? 1 = 6 ? 2n ? 3 .?12 分 = 2 ? 2 ? (1 ? ? 2 ? ? ? n ?2 ) ? n ?1 = 2 ? 2 ? 1 2 2 2 2 2n ?1 2n ?1 1? 2 n(n ? 1) 19.解:由题意知 f (n) ? 50 n ? [12 n ? ? 4] ? 72 ? ?2n 2 ? 40n ? 72 ??4 分 2 由? (1)由 f (n) ? 0,即 ? 2n ? 40 n ? 72 ? 0, 解得2 ? n ? 18 ????7 分
2

?1 ? q ? 1 ? d

由 n ? N * 知,从第三年开始盈利.??????????8 分 (2)年平均纯利润

f ( n) 36 ? 40 ? 2(n ? ) ? 16 ???????10 分 n n

当且仅当 n=6 时等号成立. ??????????11 分 年平均纯利润 最大值为 16 万元, ...... 即第 6 年,投资商年平均纯利润 达到最大,年平均纯利润 最大值 16 万元??12 分 ...... ...... 20.解:由题意知 p 与 q 中有且只有一个为真命题,??????????2 分 当 0 < a < 1 时,函数 y ? log a ?x ? 1? 在(0,+∞)上单调递减;

-6-

当 a ? 1 ,函数 y ? log a ?x ? 1? 在(0,+∞)上不是单调递减; 曲线 y ? x ? (2a ? 3) x ? 1 与 x 轴交于两点等价于 (2a ? 3) ? 4 ? 0 ,
2 2

即a <

1 5 或a > .??????????????4 分 2 2

(1)若 p 正确,q 不正确,即函数 y ? log a ?x ? 1? 在(0,+∞)上单调递减, 曲线 y ? x ? (2a ? 3) x ? 1 与 x 轴不交于两点,
2

故 a∈ (0,1) ? ? [ , 1] ? (1,

? 1 ? 2

5 ? ?1 ? ) ? ,即 a∈ ? ,1? .?????????7 分 2 ? ?2 ?

(2)若 p 不正确,q 正确,即函数 y ? log a ?x ? 1? 在(0,+∞)上不是单调递减, 曲线 y ? x ? (2a ? 3) x ? 1 与 x 轴交于两点,因此 a∈(1,+∞)∩( (0,
2

1 5 )∪( ,+∞) ) , 2 2

5 ,+∞).???????????????????????10 分 2 1 5 综上,a 取值范围为[ ,1)∪( ,+∞).????????????????12 分 2 2
即 a∈( 21.解:(I)建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:

A(0,0,0) , B(a,0,0) , C (a, 2,0) , D(0, 2,0) , P(0,0, 2)
设 Q(a, x,0) (0≤x≤2), ???????2 分 ∵ PQ ? ? a, x, ?2 ? , QD ? ? ?a, 2 ? x, 0 ? , ∴由 PQ⊥QD 得

??? ?

????

??? ? ???? PQ ? QD ? ?a 2 ? x(2 ? x) ? 0 ? a 2 ? x(2 ? x) 。
∵ x ? ? 0, 2? , a ? x(2 ? x) ? ? 0,1? ?????4 分
2

∴在所给数据中, a 可取 a ? (II) 由(Ⅰ)知 a ?

3 和 a ? 1 两个值. ??6 分 2

3 1 3 ,此时 x ? 或 x ? ,即满足条件的点 Q 有两个,?8 分 2 2 2
3 1 3 3 , , 0) 和 Q2 ( , , 0) ,??9 分 2 2 2 2

根据题意,其坐标为 Q1 (

∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AQ1,PA⊥AQ2, ∴∠Q1AQ2 就是二面角 Q1-PA-Q2 的平面角.????????10 分

-7-

3 3 ???? ?????? ? ? ???? ? ????? AQ1 ? AQ2 4 4 ? 3, ? ????? = 由 cos AQ1 , AQ2 ? ???? 2 | AQ1 | ? | AQ2 | 1? 3
得∠Q1AQ2=30?,∴二面角 Q1-PA-Q2 的大小为 30?.?????????12 分

0) ,∴直线 AB 的方程为 y ? x .?1 分 22.解:(1)∵ AB / /l ,且 AB 边通过点 (0,
? x2 ? 3 y 2 ? 4 ( x2,y2 ) .由 ? 设 A,B 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), ,得 x ? ?1 .?3 分 ?y ? x
∴ AB ?

2 x1 ? x2 ? 2 2 .?????????4 分

又 AB 边上的高 h 等于原点到直线 l 的距离.

1 AB ? h ? 2 .?????????6 分 2 (2)设 AB 所在直线的方程为 y ? x ? m ,
∴ h ? 2 , S△ ABC ?

? x 2 ? 3 y 2 ? 4 4 x 2 ? 6mx ? 3m2 ? 4 ? 0 得 .?????????8 分 ? ?y ? x ? m 因为 A, B 在椭圆上,所以 ? ? ?12m2 ? 64 ? 0 .设 A, B 两点坐标分别为 3m 3m 2 ? 4 ( x1,y1 ), ( x2,y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? , 2 4


32 ? 6m 2 .?????????12 分 2 |2?m| 又因为 BC 的长等于点 (0, m) 到直线 l 的距离,即 | BC |? . 2
所以 AB ?

2 x1 ? x2 ?

所以 AC ? AB ? BC ? ?m ? 2m ? 10 ? ?(m ? 1) ? 11 .
2 2

2

2

2

所以当 m ? ?1 时, AC 边最长,(这时 ? ? ?12 ? 64 ? 0 ) 此时 AB 所在直线的方程为 y ? x ? 1 .?????????14 分

-8-