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2010年高考试题——数学理(天津卷)(精校版)


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年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理工类) 数学(理工类)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟, 第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 4 至 11 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项: 1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考 试用条形码。 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号,答在试卷上的无效。 3. 本卷共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 参考公式: ·如果事件 A、B 互斥,那么 P(A∪B)=P(A)+P(B) ·棱柱的体积公式 V=Sh, 其中 S 标示棱柱的底面积。 h 表示棱柱的高。 ·如果事件 A、B 相互独立,那么 P(AB)=P(A)P(B) 棱锥的体积公式 V=

1 sh , 3

其中 S 标示棱锥的底面积。 h 示棱锥的高。

一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 选择题: 选择题 (1)i 是虚数单位,复数 (A)1+i

?1 + 3i = 1 + 2i
(D)-1-i

(B)5+5i (C)-5-5i
x

(2)函数 f(x)= 2 + 3 x 的零点所在的一个区间是 (A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2) (3)命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是 (A)若 f(x) 是偶函数,则 f(-x)是偶函数 (B)若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 (C)若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数
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(D)若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 (4)阅读右边的程序框图,若输出 s 的值为-7,则判断框内可填写 (A)i<3? (C)i<5? (B)i<4? (D)i<6?

(5)已知双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的一条渐近线方程是 y= 3x ,它的一个焦点在抛 a2 b2

物线 y 2 = 24 x 的准线上,则双曲线的方程为

x2 y 2 (A) ? =1 36 108
(C)

(B)

x2 y 2 ? =1 9 27

x2 y 2 ? =1 108 36

(D)

x2 y 2 ? =1 27 9

(6) 已知 {an } 是首项为 1 的等比数列, n 是 {an } 的前 n 项和, 9s3 = s6 , s 且 则数列 ? 的前 5 项和为 (A)

?1? ? ? an ?

15 或5 8

(B)

31 或5 16

(C)

31 16

(D)

15 8
2 2

( 7 ) 在 △ ABC 中 , 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 是 a,b,c , 若 a ? b = 3bc ,
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sin C = 2 3 sin B ,则 A=
(A) 30
0

(B) 60

0

(C) 120

0

(D) 150

0

?log 2 x, x > 0, ? (8)若函数 f(x)= ?log ( ? x), x < 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是 1 ? 2 ?
(A) (-1,0)∪(0,1) (C) (-1,0)∪(1,+∞) (B) (-∞,-1)∪(1,+∞) (D) (-∞,-1)∪(0,1)

(9)设集合 A= { x || x ? a |< 1, x ∈ R} , B = { x || x ? b |> 2, x ∈ R} . 若 A ? B,则实数 a,b 必满足 (A) | a + b |≤ 3 (C) | a ? b |≤ 3 (B) | a + b |≥ 3 (D) | a ? b |≥ 3

(10) 如图,用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色,要求每个点涂一种颜色, 且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法用

(A)288 种 (B)264 种 (C)240 种 (D)168 种

年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(理工类) 数学(理工类) 第Ⅱ卷 注意事项: 1. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2. 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。 3. 本卷共 12 小题,共 100 分。 二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分,把答案天灾题中横线上。 (11)甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图,中间一列的数

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字表示零件个数的十位数,两边的数字表示零件个数的个位数,则这 10 天甲、乙两人 日加工零件的平均数分别为 和 。

( 12 ) 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 这 个 几 何 体 的 体 积 为

(13)已知圆 C 的圆心是直线 ? 相切,则圆 C 的方程为

? x = 1, (t为参数) x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0 与 ? y = 1+ t

(14) 如图, 四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形, 延长 AB 和 DC 相交于点 P, 若

PB 1 PC 1 = , = , PA 2 PD 3

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BC 的值为 AD



(15)如图,在 △ ABC 中, AD ⊥ AB , BC = 3 BD ,

AD = 1 ,则 AC i AD =

.

(16)设函数 f ( x) = x 2 ? 1 ,对任意 x ∈ ? , +∞ ? , f ? 恒成立,则实数 m 的取值范围是 .

?2 ?3

? ?

?x? 2 ? ? 4m f ( x) ≤ f ( x ? 1) + 4 f (m) ?m?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分。解答题写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = 2 3 sin x cos x + 2 cos 2 x ? 1( x ∈ R ) (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 ? 0,

? π? 上的最大值和最小值; ? 2? ?

(Ⅱ)若 f ( x0 ) =

6 ?π π ? , x0 ∈ ? , ? ,求 cos 2x0 的值。 5 ?4 2?

(18).(本小题满分 12 分) 某射手每次射击击中目标的概率是

2 ,且各次射击的结果互不影响。 3

(Ⅰ)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率

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(Ⅱ)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标。另外 2 次未击中目标的概率;

(Ⅲ)假设这名射手射击 3 次,每次射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分,在 3 次射 击中,若有 2 次连续击中,而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击中,则额外加 3 分,记 ξ 为射手射击 3 次后的总的分数,求 ξ 的分布列。

(19) (本小题满分 12 分) 如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别是棱 BC , CC1 上的点, CF = AB = 2CE , AB : AD : AA1 = 1: 2 : 4 (1) 求异面直线 EF 与 A1 D 所成角的余弦值; (2) 证明 AF ⊥ 平面

A1 ED

(3) 求二面角 A1 ? ED ? F 的正弦值。

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(20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 为 4。 (1) 求椭圆的方程; (2) 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B ,已知点 A 的坐标为( ? a, 0 ) ,点

x2 y2 3 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率 e = , 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 2 a b 2

Q (0, y0 ) 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QAiQB = 4 ,求 y0 的值

(21) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = xc ? x ( x ∈ R ) (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间和极值; (Ⅱ)已知函数 y = g ( x ) 的图象与函数 y = f ( x) 的图象关于直线 x = 1 对称,证明当

x > 1 时, f ( x) > g ( x)
(Ⅲ)如果 x1 ≠ x2 ,且 f ( x1 ) = f ( x2 ) ,证明 x1 + x2 > 2

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(22) (本小题满分 14 分) 在数列 {an } 中, a1 = 0 ,且对任意 k ∈ N . a2 k ?1 , a2 k , a2 k +1 成等差数列,其公差为 d k 。
*

(Ⅰ)若 d k = 2k ,证明 a2 k , a2 k +1 , a2 k + 2 成等比数列( k ∈ N )
*

(Ⅱ)若对任意 k ∈ N , a2 k , a2 k +1 , a2 k + 2 成等比数列,其公比为 qk 。
*

年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(理工类) 数学(理工类)参考解答 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分。 (1)A (6)C (2)B (3)B (7)A (8)C (4)D (5)B (9)D (10)B

二填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 4 分,满分 24 分。 (11)24:23 (12)

10 3

(13) ( x + 1) 2 + y 2 = 2

(14)

6 6

(15) 3

(16) ? ?∞, ?

? ? ?

? 3? ? 3 ? ∪ ? , +∞ ? ? 2 ? ? 2 ?

三、解答题 (17)本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数 y = A sin(ω x + ? ) 的性 质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识,考查基本运算能力,满分 12 分。
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(1)解:由 f ( x ) = 2 3 sin x cos x + 2 cos x ? 1 ,得
2

f ( x) = 3(2 sin x cos x) + (2 cos 2 x ? 1) = 3 sin 2 x + cos 2 x = 2sin(2 x + ) 6
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 π 因为 f ( x ) = 2 sin ? 2 x +

π

? ?

π?

? π? ?π π ? ? 在区间 ?0, ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减函数,又 6? ? 6? ?6 2?

?π ? f (0) = 1, f ? ? = 2, ?6?
为-1

?π ? ? π? f ? ? = ?1 ,所以函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的最大值为 2,最小值 ?2? ? 2?

(Ⅱ)解:由(1)可知 f ( x0 ) = 2sin ? 2 x0 +

? ?

π?

? 6?

又因为 f ( x0 ) =

6 π? 3 ? ,所以 sin ? 2 x0 + ? = 5 6? 5 ?

由 x0 ∈ ?

π ? 2π 7π ? ?π π ? , ? ,得 2 x0 + ∈ ? , ? 6 ? 3 6 ? ?4 2?
? ?

从而 cos ? 2 x0 + 所以

π?

π? 4 2? ? = ? 1 ? sin ? 2 x0 + ? = ? 6? 6? 5 ?

?? π? π? π? π π ? π 3? 4 3 ? ? cos 2 x0 = cos ?? 2 x0 + ? ? ? = cos ? 2 x0 + ? cos + sin ? 2 x0 + ? sin = 6? 6? 6? 6 6? 6 10 ? ? ??
18.本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相 互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力,满分 12 分。 (1)解:设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数,则 X ~ B ? 5, 有 2 次击中目标的概率

? ?

2? ? .在 5 次射击中,恰 3?

40 ?2? ? 2? P ( X = 2) = C5 × ? ? × ?1 ? ? = 243 ?3? ? 3?
2

2

2

(Ⅱ)解:设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai (i = 1, 2,3, 4, 5) ; “射手在 5 次射击中, 有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标”为事件 A ,则

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P( A) = P( A1 A2 A3 A4 A5 ) + P( A1 A2 A3 A4 A5 ) + P( A1 A2 A3 A4 A5 )
= ? =

? 2? ?1? 1 ? 2? 1 ?1? ? 2? ? ×? ? + ×? ? × + ? ? ×? ? ? 3? ?3? 3 ? 3? 3 ? 3? ? 3?

3

2

3

2

3

8 81

(Ⅲ)解:由题意可知, ξ 的所有可能取值为 0,1, 2, 3, 6

1 ?1? P (ζ = 0) = P ( A1 A2 A3 ) = ? ? = ? 3 ? 27

3

P(ζ = 1) = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A 2 A3 ) + P( A1 A2 A3 )
2 ?1? 1 2 1 ?1? 2 2 = ×? ? + × × + ? ? × = 3 ? 3? 3 3 3 ? 3? 3 9 2 1 2 4 P (ζ = 2) = P ( A1 A2 A3 ) = × × = 3 3 3 27 8 ? 2? 1 1 ?1? P(ζ = 3) = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) = ? ? × + × ? ? = 27 ? 3? 3 3 ?3?
2 2

2

2

8 ?2? P(ζ = 6) = P( A1 A2 A3 ) = ? ? = ? 3 ? 27
所以 ξ 的分布列是

3

(19)本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识, 考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理 论证能力,满分 12 分。 方法一:如图所示,建立空间直角坐标系, 点 A 为坐标原点,设 AB = 1 ,依题意得 D (0, 2, 0) ,

? 3 ? F (1, 2,1) , A1 (0, 0, 4) , E ?1, , 0 ? ? 2 ?
(1) 解:易得 EF = ? 0,

? ?

1 ? ,1? , A1 D = (0, 2, ?4) 2 ?

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于是 cos EF , A1 D =

EF i A1 D EF A1 D

=?

3 5
3 5

所以异面直线 EF 与 A1 D 所成角的余弦值为

(2) 证明:已知 AF = (1, 2,1) , EA1 = ? ?1, ?

? ?

3 ? 1 ? ? , 4 ? , ED = ? ?1, , 0 ? 2 ? 2 ? ?

于是 AF · EA1 =0, AF · ED =0.因此, AF ⊥ EA1 , AF ⊥ ED ,又 EA1 ∩ ED = E 所以 AF ⊥ 平面 A1 ED

?1 ?2 y + z = 0 ?u i EF = 0 ? ? (3)解:设平面 EFD 的法向量 u = ( x, y , z ) ,则 ? ,即 ? ?u i ED = 0 ?? x + 1 y = 0 ? ? ? 2
不妨令 X=1,可得
→ →

。由(2)可知, AF 为平面 A1ED 的一个法向量。 u = (1, 2 ? 1)





于是 cos

u,AF

? 2 = u AF = ,从而 sin → → 3 |u||AF|
5 3









u,AF =

5 3

所以二面角 A1 -ED-F 的正弦值为

方法二: (1)解:设 AB=1,可得 AD=2,AA1=4,CF=1.CE=

1 2 CE CF 1 = = ,可知 EF∥BC1.故 CB CC1 4

链接 B1C,BC1,设 B1C 与 BC1 交于点 M,易知 A1D∥B1C,由

∠BMC 是 异 面 直 线 EF 与 A1D 所 成 的 角 , 易 知
BM=CM=

1 B1C= 5 2

,





cos ∠BMC =

BM 2 + CM 2 ? BC 2 3 = ,所以异面直线 FE 2 BM iCM 5

与 A1D 所成角的余弦值为

3 5
CD EC 1 = = , BC AB 2

(2) 证明: 连接 AC, AC 与 DE 交点 N 因为 设

所以 Rt ?DCE ? Rt ?CBA ,从而 ∠CDE = ∠BCA ,又由于 ∠CDE + ∠CED = 90° ,所以

∠BCA + ∠CED = 90° , AC⊥DE,又因为 CC1⊥DE 且 CC1 ∩ AC = C , 故 所以 DE⊥平面 ACF,
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从而 AF⊥DE. 连接 BF,同理可证 B1C⊥平面 ABF,从而 AF⊥B1C,所以 AF⊥A1D 因为 DE ∩ A1 D = D , 所以 AF⊥平面 A1ED (3)解:连接 A1N.FN,由(2)可知 DE⊥平面 ACF,又 NF ? 平面 ACF, A1N ? 平面 ACF,所以 DE ⊥NF,DE⊥A1N,故 ∠A1 NF 为二面角 A1-ED-F 的平面角 易 知 Rt ?CNE ? Rt ?CBA , 所 以

CN EC 5 = , 又 AC = 5 所 以 CN = ,在 BC AC 5 30 4 30 在Rt △ A1 AN中 NA1 = A1 A2 + AN 2 = 5 5

Rt ?NCF中,NF = CF 2 + CN 2 =

连接 A1C1,A1F 在 Rt ?A1C1 F中,A1 F =

A1C12 + C1 F 2 = 14

A1 N 2 + FN 2 ? A1 F 2 2 5 在Rt ?A1 NF中, ∠A1 NF = cos = 。所以 sin ∠A1 NF = 2 A1 N ? FN 3 3
所以二面角 A1-DE-F 正弦值为

5 3

(20)本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质,直线的方程,平面向量等基础知识,考 查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算和推理能力,满分 12 分 (1)解:由 e = 由题意可知,

c 3 2 2 2 2 2 = ,得 3a = 4c ,再由 c = a ? b ,得 a = 2b a 2

1 × 2a × 2b = 4, 即ab = 2 2

解方程组 ?

?a = 2b 得 a=2,b=1 ? ab = 2
x2 + y2 = 1 4

所以椭圆的方程为

(2)解:由(1)可知 A(-2,0) 。设 B 点的坐标为(x1,,y1),直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的 方程为 y=k(x+2),

? y = k ( x + 2) ? 于是 A,B 两点的坐标满足方程组 ? x 2 2 ? + y =1 ? 4

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由方程组消去 Y 并整理,得 (1 + 4k ) x + 16k x + (16k ? 4) = 0
2 2 2 2

由 ?2 x1 =

16k 2 ? 4 ,得 1 + 4k 2

x1 =

2 ? 8k 2 4k , 从而y1 = , 2 1 + 4k 1 + 4k 2

8k 2 2k 设线段 AB 是中点为 M,则 M 的坐标为 (? , ) 2 1 + 4k 1 + 4k 2
以下分两种情况: (1)当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0) 。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是

QA = (?2, ? y 0 ), QB = (2, ? y0)由QAiQB =4,得y0 = ± 2 2
(2)当 K ≠ 0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 Y ?









2k 1 8k 2 = (x + ) 1 + 4k 2 k 1 + 4k 2

令 x=0,解得 y0 =


6k 1 + 4k 2


由 QA = ( ?2, ? y 0 ), QB = ( x1 , y1 ? y0)

QAiQB = ?2 x1 ? y0 ( y1 ? y0)=





?2(2 ? 8k 2 ) 6k 4k 6k + ( + ) 2 2 2 1 + 4k 1 + 4k 1 + 4k 1 + 4k 2

4(16k 4 + 15k 2 ? 1) = =4 (1 + 4k 2 ) 2
整理得 7 k = 2, 故k = ±
2

14 2 14 所以y0 = ± 7 5 2 14 5

综上 y0 = ± 2 2或y0 = ±

(21)本小题主要考查导数的应用,利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运 算能力及用函数思想分析解决问题的能力,满分 14 分 (Ⅰ)解:f’ ( x ) = (1 ? x )e 令 f’(x)=0,解得 x=1 当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表
?x

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X f’(x) f(x)

( ?∞,1 ) +

1 0 极大值

( 1, +∞ ) -

?

?

所以 f(x)在( ?∞,1 )内是增函数,在( 1, +∞ )内是减函数。 函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)且 f(1)=

1 e
x?2

(Ⅱ)证明:由题意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x) e 令 F(x)=f(x)-g(x),即 F ( x) = xe? x + ( x ? 2)e x ? 2 于是 F '( x) = ( x ? 1)(e2 x ? 2 ? 1)e? x

当 x>1 时,2x-2>0,从而 e2x-2 ? 1 > 0, 又e ? x > 0, 所以F ’(x)>0,从而函数 F(x)在[1,+ ∞)是增函数。 又 F(1)= e ? e = 0,所以x>1时,有 F(x)>F(1)=0,即 f(x)>g(x).
-1 -1

Ⅲ)证明: (1) 若 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) = 0,由(Ι)及f(x1 ) = f(x2 ), 则x1 = x2 = 1.与x1 ≠ x2矛盾。 (2)若 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) > 0,由(Ι)及f(x1 ) = f(x2 ), 得x1 = x2 .与x1 ≠ x2矛盾。 根据(1) (2)得 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) < 0, 不妨设x1 < 1, x2 > 1. 由 ( Ⅱ ) 可 知 , f(x2 ) > g(x2 ) , 则 g(x2 ) = f(2-x2 ) , 所 以 f(x2 ) > f(2-x2 ) , 从 而

f(x1 ) > f(2-x2 ) .因为 x2 > 1 ,所以 2 ? x2 < 1 ,又由(Ⅰ)可知函数 f(x)在区间(-∞,1)
内事增函数,所以 x1 > 2 ? x2 ,即 x1 + x2 >2. (22)本小题主要考查等差数列的定义及通项公式,前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求 和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思 想方法。满分 14 分。 (Ⅰ)证明:由题设,可得 a 所以 a

2k + 1

?a = 4k , k ∈ N * 。 2k ? 1

2k + 1

? a1 = (a ?a ) + (a ?a ) + ... + (a3 ? a1 ) 2k + 1 2 k ? 1 2k ? 1 2k ? 3

= 4k + 4( k ? 1) + ... + 4 × 1
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=2k(k+1) 由 a1 =0,得 a

2k + 1

= 2k (k + 1), 从而a = a ? 2k = 2k 2 , a = 2(k + 1)2 . 2k 2k + 1 2k + 2

a a a k + 1 a2k + 2 k + 1 于是 2k + 1 = , = , 所以 2k + 2 = 2k + 1 。 a 2k k a 2k + 1 k a 2k + 1 a 2k
所以 d k = 2k时,对任意k ∈ N , a
*

2k

,a ,a 成等比数列。 2 k + 1 2k + 2
, a2 k , a 成等差数列,及 a , a ,a 成 2k + 1 2 k 2 k + 1 2k + 2

(Ⅱ)证法一: (i)证明:由 a

2k ? 1

等比数列,得 2a

a a =a +a , 2 = 2 k ? 1 + 2 k + 1 = 1 + qk 2k 2k ? 1 2k + 1 a a q 2k 2k k ?1
*

当 q1 ≠1 时,可知 qk ≠1,k ∈ N 从而

1 = q k ?1 2 ?

1 1 ?1 q k ?1

=

1 1 + 1, 即 1 ? = 1(k ≥ 2) q ?1 q q ?1 k ?1 k ?1 k ?1

所以 ?

? ? 1 ? ? ? 是等差数列,公差为 1。 q ? 1? ? ? k ?
4 = 2, 1 =1.由(Ⅰ)有 2 q ?1 1

(Ⅱ)证明: a1 = 0 , a2 = 2 ,可得 a3 = 4 ,从而 q1 =

1 q k ?1

= 1 + k ? 1 = k , 得qk = k + 1 , k ∈ N * k

2 a a a ( ) 2k + 2 = 2k + 1 = k + 1 , 从而 2k + 2 = k + 1 ,k ∈ N * 所以 a a k a k2 2k + 1 2k 2k

因此,
2 a a a (k ? 1) 2 22 2k . 2k ? 2 .... 4 .a = k a2 k = . ... .2 = 2k 2 .a = a . k + 1 = 2k (k + 1), k ∈ N * 2 (k ? 1)2 (k ? 2) 2 12 2k + 1 2k k a a a 2k ? 2 2k ? 4 2

以下分两种情况进行讨论: (1) 当 n 为偶数时,设 n=2m( m ∈ N )
*

若 m=1,则 2n ? 若 m≥2,则

k2 ∑ a = 2. k =2 k
n

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m m k2 (2k ) 2 m ?1 (2k + 1) 2 4k 2 =∑ +∑ =∑ 2 + ∑ a k =1 a a2 k +1 k =2 k k =1 k =1 2 k 2k n
m ?1 m ?1 ? 4k 2 + 4k ? 4 k 2 + 4k + 1 1 ? 1?1 1 ?? ∑ 2k (k + 1) = 2m + ∑ ? 2k (k + 1) + 2k (k + 1) ? = 2m + ∑ ?2 + 2 ? k ? k + 1 ?? ? ? k =1 k =1 ? k =1 ? ? ? m ?1

1 1 3 1 = 2m + 2(m ? 1) + (1 ? ) = 2n ? ? 2 2 n. m
所以 2n ?
n k2 3 1 3 k2 = + , 从而 < 2n ? ∑ < 2, n = 4, 6,8... ∑a 2 n 2 k =2 k k = 2 ak n
*

(2)当 n 为奇数时,设 n=2m+1( m ∈ N )

k 2 2 m k 2 (2m + 1) 3 1 (2m + 1) 2 =∑ + = 4m ? ? + ∑ a k =2 a a 2 2m 2m(m + 1) k =2 k k 2 m +1
n 2

= 4m +

1 1 3 1 ? = 2n ? ? 2 2(m + 1) 2 n +1
n k2 3 1 3 k2 = + , 从而 < 2n ? ∑ < 2, n = 3,5, 7 ·· · ∑ a 2 n +1 2 k =2 k k = 2 ak n n 3 k2 < 2n ? ∑ ≤ 2 2 k = 2 ak

所以 2n ?

综合(1) (2)可知,对任意 n ≥ 2 , n ∈ N ,有

?

证法二: (i)证明:由题设,可得 d k = a2 k +1 ? a2 k = qk a2 k ? a2 k = a2 k ( qk ? 1),

d k +1 = a2 k + 2 ? a2 k +1 = qk 2 a2 k ? qk a2 k = a2 k qk (qk ? 1), 所以 d k +1 = qk d k

qk +1 =

a2 k +3 a2 k + 2 + d k +1 d d q ?1 = = 1 + 2k +1 = 1 + k = 1 + k a2 k + 2 a2 k + 2 qk a2 k qk a2 k qk q 1 1 = k ? =1, qk +1 ? 1 qk ? 1 qk ? 1 qk ? 1 1 ?

由 q1 ≠ 1 可知 qk ≠ 1, k ∈ N * 。可得

所以 ?

? 1 ? ? 是等差数列,公差为 1。 ? qk ? 1 ?

(ii)证明:因为 a1 = 0, a2 = 2, 所以 d1 = a2 ? a1 = 2 。 所以 a3 = a2 + d1 = 4 ,从而 q1 =

? 1 ? a3 1 =2, = 1 。于是,由(i)可知所以 ? ?是 a2 q1 ? 1 ? qk ? 1 ?

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公差为 1 的等差数列。由等差数列的通项公式可得

1 k +1 = 1 + ( k ? 1) = k ,故 qk = 。 qk ? 1 k

从而

d k +1 k +1 = qk = 。 dk k dk d d d k k ?1 2 = k . k ?1 ........ 2 = . ...... = k ,由 d1 = 2 ,可得 d1 d k ?1 d k ? 2 d1 k ? 1 k ? 2 1

所以

d k = 2k 。
于是,由(i)可知 a2 k +1 = 2k ( k + 1) , a2 k = 2k , k ∈ N *
2

以下同证法一。

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