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2012年北京市东城区高三毕业班一模数学(文)试题及答案免费下载


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北京市东城区 2011-2012 学年第二学期综合练习(一) 高三数学 (文科)
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分。考试 时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题
要求的一项。

共 40 分)

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

(1)若 a , b ? R , i 是虚数单位,且 a ? (b ? 2)i ? 1 ? i ,则 a ? b 的值为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

2 (2)若集合 A ? {0 , m } , B ? {1 , 2} ,则“ m ? 1 ”是“ A ? B ? {0 , 1 , 2} ”的

(A)充分不必要条件 (C)充分必要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? y ? x, ? (3)若点 P( x, y ) 在不等式组 ? y ? ? x, 表示的平面区域内,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?x ? 2 ?
(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6

(4)已知 x , y , z ? R ,若 ?1 , x , y , z , ?3 成等差数列,则 x ? y ? z 的值为 (A) ?2 (B) ?4 (C) ?6 (D) ?8

(5)右图给出的是计算

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ... ? 的一个程序框图, 2 4 6 8 100

其中判断框内应填入的条件是 (A) i ? 50
?

(B) i ? 50

(C) i ? 25

(D) i ? 25

(6)已知 sin(? ? 45 ) ? ? (A)

5 13

2 ? ? ,且 0 ? ? ? 90 ,则 cos ? 的值为 10 3 12 (B) (C) 5 13

(D)

4 5

x (7) 已知函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ( 其中 a ? b) 的图象如右图所示, 则函数 g ( x) ? a ? b

的 图象大致为

1

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(A)

(B)

(C)

(D)

1 ? 1 1 ? x ? , x ? A, (8) 设集合 A ? [0, ), B ? [ ,1] ,函数 f ( x) ? ? 若 x0 ? A ,且 2 2 2 ?2(1 ? x), x ? B. ?

f [ f ( x0 )] ? A , 则 x0 的取值范围是
(A)( 0,

1 ] 4

(B) (

1 1 , ] 4 2

(C)(

1 1 , ) 4 2

(D)

[0, ]

3 8

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)已知一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是

1
.

1 2
主视图

2
左视图

(10) 命题“ ?x0 ? (0, ), tan x0 ? sin x0 ”的否定是

? 2

.

2

(11) 在如图所示的茎叶图中,乙组数据的中位数是 若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一 个最小数 后,两组数据的平均数中较大的一组是 组.


甲 5 4 5 5 0 1 1

俯视图

乙 7 8 9 9 4 3 4 6 4 7

(12)双曲线 x ? y ? 2 的离心率为
2 2

; 若抛物线 y ? ax 的焦点恰好为该双曲线的右焦点,
2

则 a 的值为

.

(13)已知△ ABC 中, AD ? BC 于 D , AD ? BD ? 2 , CD ? 1 ,则 AB ? AC ? ___.

??? ??? ? ?

2

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? an an 为偶数, ? 2, ? ? (14) 已知数列 ?an ? , a1 ? m , m ? N , an ?1 ? ? 若 ?an ? 中有且只有 5 ? an ? 1 , a 为奇数. n ? 2 ?
个不同的数字,则 m 的不同取值共有 个.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? (sin2x ? cos2x)2 ? 2sin 2 2x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 的图象是由 y ? f ( x) 的图象向右平移

? 个单位长度得到的,当 8

? x?[ 0 , ]时,求 y ? g ( x) 的最大值和最小值. 4
(16) (本小题共 13 分) 某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调 查,以计算每户的碳月排放量.若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”,否则称为“非低 碳族”.若小区内有至少 75 % 的住户属于“低碳族”,则称这个小区为“低碳小区”,否则称 为“非低碳小区” .已知备选的 5 个居民小区中有三个非低碳小区,两个低碳小区. (Ⅰ)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率; (Ⅱ)假定选择的“非低碳小区”为小区 A ,调查显示其“低碳族”的比例为 所示,经过 同学们的大力宣传,三个月后,又进行了一次调查,数据如图 2 所示,问这时小区 A 是否达到“低 碳小区”的标准?

1 ,数据如图 1 2

3

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频率 组距 0.30 0.25 0.20 0.15 0.05

频率 组距 0.46

0.23 0.14 0.10 0.07 1 2 3 4 5 6 月排放量 (百千克/户 户)

O

O

1

2

3

4

5

图1

图2

月排放量 (百千克/户 户)

(17) (本小题共 14 分) 如图 1 ,在边长为 3 的正三角形 ABC 中, E , F , P 分别为 AB , AC , BC 上的 点,且满足 AE ? FC ? CP ? 1 .将△ AEF 沿 EF 折起到△ A EF 的位置,使平面 A EF ? 1 1 平面 EFB ,连结 A B , A P .(如图 2 ) 1 1 (Ⅰ)若 Q 为 A B 中点,求证: PQ ∥平面 A EF ; 1 1 (Ⅱ)求证: A1E ? EP .
A

A1
E

F

Q

E F

B

P

C

B

P

C

图1

图2

(18) (本小题共 13 分)
x 已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? (ax ? 2)e 的一个极值点.

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)当 x1 , x2 ??0, 2? 时,证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e .

4

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(19) (本小题共 13 分)

x2 y 2 3 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 ? 0,1? ,且离心率为 . a b 2
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) A , A2 为椭圆 C 的左、右顶点,直线 l : x ? 2 2 与 x 轴交于点 D ,点 P 是椭圆 C 上 1 异于 A , A2 的动点,直线 A1 P, A2 P 分别交直线 l 于 E , F 两点.证明: DE ? DF 恒为 1 定值. (20)(本小题共 14 分) 对于函数 f ( x ) ,若 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 为 f ( x ) 的“不动点” ;若 f ? f ( x0 )? ? x0 , 则称 x0 为 f ( x ) 的“稳定点”.函数 f ( x ) 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A 和 B , 即 A ? x f ( x) ? x ,

?

?

B ? x f ? f ( x) ? ? x .
(Ⅰ)设函数 f ( x) ? 3x ? 4 ,求集合 A 和 B ; (Ⅱ)求证: A ? B ; (Ⅲ)设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) ,且 A ? ? ,求证: B ? ? .

?

?

北京市东城区 2011-2012 学年第二学期综合练习(一) 高三数学参考答案及评分标准 (文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)D (5)B (2)A (6)D (3)D (7)A (4)C (8)C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9)

4 3
8

? (10) x ? (0, ), tan x ? sin x
(13) 2

? 2

(11) 84



(12) 2

(14) 8

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分)

5

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解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? (sin 2 x ? cos 2 x)2 ? 2sin 2 2 x

? sin 4 x ? cos 4 x

? ? 2 sin(4 x ? ) , 4
??6 分 所以函数 f ( x ) 的最小正周期为

??

? . 2
(Ⅱ)依题意, y ? g ( x) ?

????8 分

? ? 2 sin [ 4( x ? ) ? ] 8 4

? ? 2 sin(4 x ? ) . 4
因 为

????10 分

0? x? ? ? 4

? 4







?

? 4

4x

3 ? ? . 4
当 4x ? 当

? ????11 分

3? ? ? ? ,即 x ? 时, g ( x) 取最大值 2 ; 16 4 2

4x ?

? ? ?? 4 4





x?0





g ( x)









?1 .
(16) (共 13 分)

????13 分

解: (Ⅰ)设三个“非低碳小区”为 A, B, C ,两个“低碳小区”为

m, n,

????2 分

用 ( x, y ) 表示选定的两个小区, x, y ?? A, B, C, m, n? ,

( 则从 5 个小区中任选两个小区,所有可能的结果有 10 个, 它们是 ( A, B) , A, C ) , ( A, m) , ( A, n) , ( B, C ) , ( B, m) , ( B, n) , (C , m) , (C, n) , (m, n) .
????5 分

用 D 表示: “选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件,则 D 中的结果 有 6 个,它们

6

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是: ( A, m) , ( A, n) , ( B, m) , ( B, n) ,

(C , m) , (C, n) .
故所求概率为

????7 分

P( D) ?

6 3 ? . 10 5
????10 分 由图 2 可知,三个月后的低碳族的比例为

????8 分

(II)由图 1 可知月碳排放量不超过 300 千克的成为“低碳 族”.

0.07 ? 0.23 ? 0.46 ? 0.76 ? 0.75 ,????12 分
所以三个月后小区 A 达到了“低碳小区”标 准. ????13 分

(17) (共 14 分) 证明: (Ⅰ)取 A E 中点 M ,连结 QM , MF . 1 在△ A BE 中, Q, M 分别为 A1B, A1E 的中点, 1 所以 QM ∥ BE ,且 QM ? 因为
A1 M Q E F B P C

1 BE . 2

CF CP 1 ? ? , FA PB 2

1 所以 PF ∥ BE ,且 PF ? BE , 2
所以 QM ∥ PF ,且 QM ? PF . 所以四边形 PQMF 为平行四边形. 所 以

PQ
????5 分



FM .
又因为 FM ? 平面 A EF ,且 PQ ? 平面 A EF , 1 1 所 以

PQ

∥ ????7 分





A1EF .
(Ⅱ) 取 BE 中点 D ,连结 DF . 因为 AE ? CF ? 1 , DE ? 1 ,

A

? 所以 AF ? AD ? 2 ,而 ?A ? 60 ,即△ ADF 是正三角形.

E

又因为 AE ? ED ? 1 , 所以 EF ? AD . 所以在图 2 中有 A1E ? EF . ????9 分
B

D

F

P

C

7

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因为平面 A EF ? 平面 EFB ,平面 A EF ? 平面 EFB ? EF , 1 1 所 以

A1E

⊥ ????12 分





BEF .
又 EP ? 平面 BEF , 所 以

A1E
????14 分



EP .
(18) (共 13 分) (Ⅰ) f '( x) ? (ax ? a ? 2)e x , 解: 分 由 已 知 得

????2

f ' (1) ? 0
????4 分







a ? 1.

当 a ? 1 时, f ( x) ? ( x ? 2)e x ,在 x ? 1 处取得极小值. 所 以 ????5 分

a ? 1.
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知, f ( x) ? ( x ? 2)e x , f '( x) ? ( x ? 1)e x .

当 x ? ?0,1? 时, f ' ( x) ? ( x ? 1)e x ? 0 , f (x) 在区间 ?0,1? 单调递减; 当 x ? ?1, 2? 时 , f ' ( x ? ) 增. ????8 分

( ? 1e) ? ,0 f (x) 在 区 间 ?1, 2? 单 调 递 x x

所以在区间 ? 0, 2? 上, f ( x ) 的最小值为 f (1) ? ?e , 又 f (0) ? ?2 , f (2) ? 0 , 所 以 在 区 间

?0 ?,

上 2



f ( x)











f (2) ? 0 .

????12 分 对于 x1 , x2 ??0, 2? ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f max ( x) ? f min ( x) .



以 ????13 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? (?e) ? e .
(19) (共 13 分)

8

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? b ? 1, ? 3 ? c (Ⅰ)解:由已知 ? ? , ? 2a 2 2 2 ?a ? b ? c . ?
解 a ? 2. 所 得 以 椭 圆 的 方 ????5 分 ????4 分 程 为

x2 ? y 2 ? 1. 4

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知, A1 (?2, 0) , A2 (2,0) .设 P( x0 , y0 ) ,依题意 ?2 ? x0 ? 2 , 于是直线 A P 的方程为 y ? 1 即

y0 2 2 2? y0 ( ) 令 则 . ( x ? 2) , x ? 2 2 , y ? x0 ? 2 x0 ? 2
????7

DE ? (2 2 ? 2)


y0 x0 ? 2

.

又直线 A2 P 的方程为 y ? 即

y0 (2 2 ? 2) y0 , ( x ? 2) ,令 x ? 2 2 ,则 y ? x0 ? 2 x0 ? 2
????9

DF ? (2 2 ? 2)
分 所

y0 x0 ? 2

.



DE ? DF ? (2 2 ? 2)

y0 y0 4y 4 y0 ? (2 2 ? 2) ? 20 ? ,???11 分 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 4 ? x0

2

2

x0 2 x2 2 2 2 ? y ? 1 上,所以 ? y0 2 ? 1 ,即 4 y0 ? 4 ? x0 ,代入上式, 又 P( x0 , y0 ) 在 4 4


DE ? DF ?

4 ? x0 2 ?1 4 ? x0 2

,





|D

?E |

| D为 F 定 |



1.
(20) (共 14 分)

????13 分

(Ⅰ)解:由 f ( x) ? x ,得 3 x ? 4 ? x ,解得

x ? ?2 ;

????1 分 由 f ? f ( x)? ? x ,得 3(3x ? 4) ? 4 ? x ,解得

x ? ?2 .

????3 分

9

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所以集合 A ? ??2? ,

B ? ??2? .
(Ⅱ)证明:若 A ? ? ,则 A ? B 显然成立;

????4 分

若 A ? ? ,设 t 为 A 中任意一个元素,则有 f (t ) ? t , 所以 f ? f (t )? ? f (t ) ? t ,故 t ? B ,所以

A? B.
2

????8 分

(Ⅲ)证明:由 A ? ? ,得方程 ax ? bx ? c ? x 无实数解, 则

? ? (b ?1)2 ? 4ac ? 0 .
?10 分

???

① 当 a ? 0 时, 二次函数 y ? f ( x) ? x(即 y ? ax2 ? (b ?1) x ? c ) 的图象在 x 轴的上方, 所以任意 x ? R , f ( x) ? x ? 0 恒成立, 即对于任意 x ? R , f ( x) ? x 恒成立, 对于实数 f ( x ) ,则有 f ? f ( x)? ? f ( x) 成立, 所以对于任意 x ? R , f ? f ( x)? ? f ( x) ? x 恒成立,则

B??.

????12 分

2 ②当 a ? 0 时,二次函数 y ? f ( x) ? x (即 y ? ax ? (b ?1) x ? c )的图象在 x

轴的下方, 所以任意 x ? R , f ( x) ? x ? 0 恒成立, 即对于任意 x ? R , f ( x) ? x 恒成立,对于实数 f ( x ) ,则有 f ? f ( x)? ? f ( x) 成立,所以对于任意 x ? R , f ? f ( x)? ? f ( x) ? x 恒成立,则 B ? ? . 综上,对于函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) ,当 A ? ? 时,
2

B??.

????14 分

10

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