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广东省汕头市第四中学2013届高三第五次月考数学理试题 Word版含答案


试卷类型:A

汕头市第四中学 2013 届高三第五次月考数学(理)试题
本试卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1、答卷前,考生务必用 2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号,用黑色字迹钢笔或 签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 2、选择题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上. 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案.不准使用铅笔和涂改 液. 不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交. 5、不可以使用计算器.
? 参考公式:回归直线 y ? bx ? a ,其中 b ?

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( yi ? y ) ? ? x)
2 i

?x y
i i ?1 n

n

i

? nx y , a ? y ? bx . ? nx
2

? (x
i ?1

?x
i ?1

2 i

锥体的体积公式: V ?
2

1 3

Sh ,其中 S 表示底面积,h 表示高.
2 3 3

乘法公式: ( a ? b )( a ? ab ? b ) ? a ? b . 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知 i 为虚数单位,则复数 i( 2 ? 3 i )对应的点位于 A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.已知集合 A ? {0,1,2,3,4} ,集合 B ? {x | x ? 2n, n ? A} ,则 A ? B ? A. {0} B. {0, 4} C. {2, 4} D. {0,2,4}

3.已知函数 f

? x?

?log 2 x, x ? 0 ? ? 1 ?? ? ? , 则 f ? f ? ? ? 的值是 x ? ? 4 ?? ?3 , x ? 0
B.

A. 9

1 9

C. ?9

D. ?

1 9

4.设向量 a ? ? 2, x ? 1? , b ? ? x ? 1, 4 ? ,则“ x ? 3 ”是“ a // b ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 5.函数 y ? f (x ) 的图象向右平移 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? 单位后与函数 y ? sin 2 x 的图象重合, 6

则 y ? f (x ) 的解析式是 A. f C. f

? x? ? x?

? cos(2 x ? ? cos(2 x ?

?
?
3

) )

B. f D. f

? x? ? x?

? cos(2 x ? ? cos(2 x ?

? ?
3 6

) )

6

6.已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图 1 所示, ·则四棱锥 P ? ABCD 的四个侧面中面积最大的是 A. 3 B. 2 5 C. 6 D. 8

7.在区间 ?1, 5 ? 和 ? 2, 4 ? 分别取一个数,记为 a,b , 则方程 ? ? ? ?

x2 a2

?

y2 b2

? 1 表示焦点在 x 轴

上且离心率小于

3 2

的椭圆的概率为

A.

1 2

B.

15 32

C.

17 32

D.

31 32

8. R 上定义运算 ? : x ? y ? x (1 ? y ). 若对任意 x ? 2 , 在 不等式 ? x ? a ? ? x ? a ? 2 都成立,则实数 a 的取值范围是 A. ? ? 1, 7 ? ? ? B. ? ?? , 3 ? ? C. ? ?? , 7 ? ? D. ? ?? , ?1? ? ? 7, ?? ? ? ?

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则 S 7 的值为 10.若 ( ax 2

.

1 x

) 9 的展开式的常数项为 84,则 a 的值为

. .

11.若直线 y ? 2 x ? m 是曲线 y ? x ln x 的切线,则实数 m 的值为

2 2 12.圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 15 ? 0 上到直线 x ? 2 y ? 0 的距离为 5 的点的个数是

_ .

13.



2



























S







.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题) 如图 3,已知 AB 是⊙ O 的一条弦, PC ? OP , PC 交 ⊙ O 于 C , 若 则 PC 的长是 15. (坐标系与参数方程选讲选做题)
图3 C A P O B

点 P 为 AB 上 一 点 , AP ? 4 , PB ? 2 ,

已 知 圆 C 的 参 数 方 程 为

? x ? cos ? , (? 为 参 ? ? y ? sin ? ? 2,

数 ), 以 原 点 为 极 点 , x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为

? sin ? ? ? cos ? ? 1 , 则直线 l 截圆 C 所得的弦长是

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本大题满分 12 分) 已知函数 a ? (cos 2 x, ?1), b ? (1, cos(2 x ?

?
3

)), 设 f ( x) ? a ? b ? 1.

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间; (2)设 x 为三角形的内角,且函数 y ? 2 f ( x ) ? k 恰有两个零点,求实数 k 的取值范围. 17. (本大题满分 12 分) 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验, 收集数据如下

(1)在 5 次试验中任取 2 次,记加工时间分别为 a、b,求事件 a、b 均小于 80 分钟的 概率;

? ? ? (2) 请根据第二次、 第三次、 第四次试验的数据, 求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a
(3)根据(2)得到的线性回归方程预测加工 70 个零件所需要的时间, 18.(本小题满分 14 分) 某市 A, B , C , D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示: 中学 人数

A 30

B 40

C 20

D 10

为了了解参加考试的学生的学习状况,该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四 所中学的学生当中随机抽取 50 名参加问卷调查. (1)问 A, B , C , D 四所中学各抽取多少名学生? (2)从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学 的概率; (3)在参加问卷调查的 50 名学生中,从来自 A, C 两所中学的学生当中随机抽取两名学 生,用 ? 表示抽得 A 中学的学生人数,求 ? 的分布列和数学期望。 19. (本小题满分 14 分) 如图 4,已知四棱锥 P - ABCD ,底面 ABCD 是正方形, PA ? 面 ABCD , 点 M 是 CD 的中点,点 N 是 PB 的中点,连接 AM , AN , MN . (1) 求证: MN // 面 PAD ; (2)若 MN = 5 , AD ? 3 ,求二面角 N - AM - B 的余弦值. 20.(本小题满分 14 分) 如图, 已知抛物线 P : y
2

P

N

A

B

D

y

M 图4A

C

? x, 直线 AB 与抛物线 P 交于 A, B
M O C x

B

两点, OA ? OB , OA ? OB ? OC , OC 与 AB 交于点 M . (1) 求点 M 的轨迹方程; (2) 求四边形 AOBC 的面积的最小值. 21.(本小题满分 14 分) 在数 1 和 2 之间插入 n 个实数,使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数列,将这 n ? 2 个数 的乘积记为 An ,令 an ? log 2 An , n ? N * . (1)求数列 ? An ? 的前 n 项和 S n ; (2)求 Tn ? tan a2 ? tan a4 ? tan a4 ? tan a6 ? ? ? tan a2 n ? tan a2 n ? 2 .

汕头四中 2013 届高三级第五次月考 数学(理科)试题解析

4. A 分析:当 a / / b 时,有 2 ? 4 ( x - 1)( x +1) = 0 ,解得 x ? ?3 ; 所以 x ? 3 ? a / / b ,但 a / / b ? x ? 3 ,故“ x ? 3 ”是“ a / / b ”的充分不必要条 件 5. B 分析:逆推法,将 y ? sin 2 x 的图象向左平移

?

?

?

?

?

?

?

?

? 个单位即得 y ? f ( x ) 的图象, 6



f ( x ) ? sin 2( x ?
6. C

?
6

) ? sin(2 x ?

?
3

) ? cos[

?
2

? (2 x ?

?
3

)] ? cos( ?2 x ?

?
6

) ? cos(2 x ?

?
6

)

分析:三棱锥如图所示, PM ? 3 , S ?PDC ?

1 2

? 4? 5 ? 2 5 , 1 2 ? 4?3 ? 6

S ?PBC ? S ?PAD ?
7. B 分析:方程

1 2

? 2 ? 3 ? 3 , S ?PAB ?

x2 a
2

+

y2 b
2

=1 表 示 焦 点 在 x 轴 且 离 心 率 小 于

3 2

的椭圆时,有

? a2 ? b2 ? ? c a2 ? b2 3 , ? ?e ? ? a a 2 ?

? a2 ? b2 ? a?b 即? 2 ,化简得 ? ,又 a ? [1, 5] , b ? [2, 4] , 2 ? a ? 2b ? a ? 4b
画出满足不等式组的平面区域,如右图阴影部分所示, 求得阴影部分的面积为 8. C 分 析 : 由 题 意 得 ( x - a) ?

15 4

,故 P ?

S阴影 2? 4

?

15 32

x

( x-

a ( - , ) 不 等 式 ( x - a) ? x ? a 2 化 为 ) 1 x 故

( x - a ) ( - x ) a+ , 2 1 ?

化简得 x ? ( a ? 1) x ? 2 a ? 2 …0 ,
2

故原题等价于 x ? ( a ? 1) x ? 2 a ? 2 …0 在 (2, ?? ) 上恒成立,
2

由二次函数 f ( x ) ? x ? ( a ? 1) x ? 2 a ? 2 图象,其对称轴为 x ?
2

a ?1 2

,讨论得

? a ?1 ?2 ? a ?1 ? ?2 ? ? 2 或 ? ,解得 a? 3 或 3 ? a ? 7 , ? 2 a ?1 ? f (2) …0 ?f( ) …0 ? ? ? 2
综上可得 a ? 7 二、填空题 9. 28 分 析 : 方 法 一 、 基 本 量 法 ) 由 a3 + a4 + a5 = 12 得 a1 + 2 d + a1 + 3d + a1 + 4d = 12 , 即 (

3a1 ? 9d ? 1 2 ,
化简得 a1 + 3d = 4 ,故 S 7 = 7 a1 +

7? 6 2

d = 7( a1 + 3d ) = 7 ? 3

28

10. 1

分析: C ( ax )

r 9

2 9- r

骣1 琪 琪 桫x

r

6 r = ( - 1) r a 9 - r C 9 ?x18 - 3 r ,令 r ? 6 ,得其常数项为 ( - 1) 6 a 3C 9 = 84 ,

即 84 a 3 ? 84 ,解得 a ? 1 11. ?e 分析:设切点为 ( x0 , x0 ln x0 ) ,由 y ? ? ( x ln x ) ? ? ln x ? x ? ? ln x ?1 得 k ? ln x0 ? 1 ,

1

x

故切线方程为 y ? x0 ln x0 ? (ln x0 ? 1)( x ? x0 ) ,整理得 y ? (ln x0 ? 1) x ? x0 , 与 y ? 2 x ? m 比较得 ?

? ln x0 ? 1 ? 2 ? ? x0 ? m

,解得 x0 ? e ,故 m ? ?e

12. 4 分 析 : 圆 方 程 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 15 ? 0 化 为 标 准 式 为
2 2

x-2y=0
7 5 5

( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 20 ,其圆心坐标 ( ?1, ?2) ,
2 2
3 5

O
5

半 径 r ? 2 5 , 由 点 到 直线 的 距离 公 式 得 圆 心 到直 线

B(-1,-2)

x ? 2 y ? 0 的距离 d ?

| ? 1 ? 2( ? 2) | 1 ? ( ? 2)
2 2

?

3 5 5

,由右图

所示,圆上到直线 x ? 2 y ? 0 的距离为 5 的点有 4 个. 13. 3018 分析:由题意

a1 ? 1 ? cos

?

a4 ? 4 ? cos
a7 ? 7 ? cos

2 4?

?1 ? 1 ?1 ? 5

, ,

a2 ? 2 ? cos

2?

2 7?
2

a5 ? 5 ? cos
8? 2

2 5?

? 1 ? ?1



a3 ? 3 ? cos
a6 ? 6 ? cos

3? 2

?1 ? 1

, ,

2

?1 ? 1 ,

6? 2

? 1 ? ?5

? 1 ? 1 , a8 ? 8 ? cos

?1 ? 9 ,
?

a2009 ? 1 , a2012 ? 2013 ;
以上共 503 行, 输出的 S ? a1 ? a2 ? ? ? a2012

a2010 ? ?2009 ,

a2011 ? 1 ,

? 503 ? (1 ? 5 ? 9 ? ? 2009) ? 503 ? (5 ? 9 ? 13 ? ? ? 2013)

? 503 ? 1 ? 503 ? 2013
14. 2 2

? 3018

B P C O A
y
2 2

分析:如图,因为 PC ? OP ,所以 P 是弦 CD 中点, 由相交弦定理知 PA?PB ? PC 2 , 即 PC 2 ? 8 ,故 PC ? 2 2 15.

D

2

分析:圆 C 的参数方程化为平面直角坐标方程为 x ? ( y ? 2) ? 1 ,
x+y=1 d 2 1 -1 O 1 2 x

直线 l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为 x ? y ? 1 , 如右图所示,圆心到直线的距离 d ?

| 0 ? 2 ?1| 2

?

2 2



故圆 C 截直线 l 所得的弦长为 2 1 ? d ?
2 2

2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) (1)解: f ( x ) ? a ? b + 1 ? cos 2 x ? cos(2 x ?
? cos(2 x ?

?
3

) ?1 ?

1 2

cos 2 x ?

3 2

sin 2 x ? 1

2分 3分 4分

?
3

) ?1

∴最小正周期为 ? ? ? ? 由 2k ? ≤ 2 x ? ≤ 2k ? ? ? ,得 k? ? ≤ x ≤ k? ?
3 6

3

(k∈Z) 6分

∴函数 f (x)的单调递减区间是 ( k? ? (2)解: y ? 2 f ( x) ? k ? 2 cos(2 x ? 因为 x 是三角形的内角,所以 由 2 cos(2 x ?
?
3

?
6

,?? k

?
3

) (k∈Z)

?
3

) ?2 ? k

?
3

? 2x ?

?
3

?

7? 3
2?k 2 ? ?1 ? k 2

8分 ①

) ? 2 ? k ? 0 得: cos(2 x ?

?
3

)??

函数 y = 2f (x) + k 恰有两个零点,即①在(0, ? )有两个根 ∴ ?1 ? ?1 ? 分 即-3 < k < 0 或-4 < k <-3 ∴实数 k 的取值范围是{ k |-3 < k < 0 或-4 < k <-3}. 分 17.(1)解:a、b 构成的基本事件(a,b)有(62,67),(62,65),(62,80),(62,89),(67,75), (67,80),(67,89),(75,80),(75,89)共有 10 个 2分 其中“a、b 均小于 80 分钟”的有(62,67),(62,75),(67,75)共 3 个 3分 ∴事件“a、b 均小于 80 分钟”的概率为 (2)解: x ?
y?
? b?

k 2

?

1 2



1 2

? ?1 ?

k 2

?1

10

12

3 10

4分 5分 6分
? 13 20

1 3

(20 ? 30 ? 40) ? 30

1

(67 ? 75 ? 80) ? 74 3 (20 ? 30) ? (67 ? 74) ? (30 ? 30) ? (75 ? 74) ? (40 ? 30) ? (80 ? 74)
(20 ? 30) ? (30 ? 30) ? (40 ? 30)
2 2 2

8分 9分

13 ? a ? 74 ? ? 30 ? 54.5 20

∴y 关于 x 的线性回归方程为 ? ? y

13 20

? 54.5

10



18. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识,考查数据处理、 推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想) (1)解:由题意知,四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为 100 名, 抽取的样本容量与总体个数的比值为

50 100

?

1 2

.

∴应从 A, B , C , D 四所中学抽取的学生人数分别为 15, 20,10, 5 . ????? 4 分 (2)解:设“从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生,这两名学生来自同一所 中学”为事件 M , 从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生的取法共有 C 50 ? 1225 种,? 5 分
2

这两名学生来自同一所中学的取法共有 C 15 ? C 20 ? C 10 ? C 5 ? 350 . ????? 6 分
2

2

2

2

7 答:从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学 2
的概率为 .

∴ P?M ? ?

350 1225

?

2

.

????? 7 分

7
(3) 解:由(1)知,在参加问卷调查的 50 名学生中,来自 A, C 两所中学的学生人数分别 为 15,10 . 依题意得, ? 的可能取值为 0,1, 2 , ????? 8 分

????? 11 分 ∴ ? 的分布列为:

?

0
9 60

1
1 2

2
7 20
?? 12 分

P

? E? ? 0 ?

9 1 7 6 ? 1? ? 2 ? ? ?? 14 分 60 2 20 5

19. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识,考查空间想象、推理论证、抽象 概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法)

(1)证法 1:取 PA 的中点 E ,连接 DE , EN , ∵点 N 是 PB 的中点, ∴ EN // AB , EN ?

1 2

AB .

????? 1 分

∵点 M 是 CD 的中点,底面 ABCD 是正方形, ∴ DM // AB , DM ?

1 2

AB .

????? 2 分

∴ EN // DM , EN ? DM . ∴四边形 EDMN 是平行四边形. ∴ MN // DE . ????? 3 分
P

∵ DE ? 平面 PAD , MN ? 平面 PAD , ∴ MN // 面 PAD . ????? 4 分
N

证法 2:连接 BM 并延长交 AD 的延长线于点 E ,连接 PE , ∵点 M 是 CD 的中点, ∴ DM // AB , DM ? ∴点 M 是 BE 的中点.
A

B

1 2

AB , ????? 1 分
????? 2 分
E

D

M

C

∵点 N 是 PB 的中点, ∴ MN // PE . ∵ PE ? 面 PAD , MN ? 平面 PAD , ∴ MN // 面 PAD . 证法 3: 取 AB 的中点 E ,连接 NE , ME , ∵点 M 是 CD 的中点,点 N 是 PB 的中点, ∴ ME // AD , NE // PA . ∵ AD ? 面 PAD , ME ? 平面 PAD , ∴ ME // 面 PAD . ∵ PA ? 面 PAD , NE ? 平面 PAD , ∴ NE // 面 PAD . ????? 2 分 ????? 1 分 ????? 4 分 ????? 3 分

∵ ME ? NE ? E , NE ? 平面 MEN , ME ? 平面 MEN , P ∴平面 MEN // 面 PAD . ∵ MN ? 平面 MEN , ∴ MN // 面 PAD . ????? 4 分 ????? 3 分
N

A E F D M C

B

(2)解法 1:∵ NE // PA , PA ^ 面 ABCD , ∴ NE ^ 面 ABCD . ∵ AM ? 面 ABCD , ∴ NE ? AM . 过 E 作 EF ? AM ,垂足为 F ,连接 NF , ∵ NE ? EF ? E , NE ? 面 NEF , EF ? 面 NEF , ∴ AM ? 面 NEF . ∵ NF ? 面 NEF , ????? 5 分

????? 6 分

????? 7 分

∴ AM ? NF . ∴ ?NFE 是二面角 N - AM - B 的平面角. 在 Rt△ NEM 中, MN = 5 , ME ? AD ? 3 ,得 NE ?

????? 8 分 ????? 9 分

MN 2 ? ME 2 ? 4 ,
????? 10 分

在 Rt△ MEA 中, AE =

3 2
.

,得 AM ?

ME 2 ? AE 2 ?

3 5 2



EF =

AE gME AM

=

3 5 5

????? 11 分

在 Rt△ NEF 中, NF ?

NE 2 ? EF 2 ?

445 5



????? 12 分

cos ? NFE

EF NF

=

3 89 89

.

????? 13 分

∴二面角 N - AM - B 的余弦值为

3 89 89

.

????? 14 分

解法 2:∵ NE // PA , PA ^ 面 ABCD , ∴ NE ^ 面 ABCD . 在 Rt△ NEM 中, MN = 5 , ME ? AD ? 3 ,得 NE ?

MN 2 ? ME 2 ? 4 ,
????? 5 分

以点 A 为原点, AD 所在直线为 x 轴, AB 所在直线为 y 轴, AP 所在直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系 A ? xyz , ????? 6 分

则 A 0, 0, 0 , M ? 3,

?

?

? ?

? ? 3 ? ? 3 ? , 0 ? , E ? 0, , 0 ? , N ? 0, , 4 ? . 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 3
, AN ? ? 0,

???? ∴ EN ?

? 0,0, 4 ? ,

????

? ?

? , 4 ? . ????? 8 分 2 ? 3

设平面 AMN 的法向量为 n ?

? x, y , z ? ,

由 n ? AM ? 0 , n ? AN ? 0 ,

???? ?

????

z P

? 3 y ? 0, ?3 x ? ? 2 得? ? 3 y ? 4 z ? 0. ?2 ?
令 x ? 1 ,得 y ? ?2 , z ?

N

3 4

.
D x

A E

B y

? 3? ∴ n ? ? 1, ? 2, ? 是平面 AMN 的一个法向量. 4? ? ???? 又 EN ? ? 0, 0, 4 ? 是平面 AMB 的一个法向量, ???? ? ???? ? 3 89 n ?EN . cos n, EN ? ???? ? ? 89 n EN
∴二面角 N - AM - B 的余弦值为

M

C

????? 11 分

????? 12 分 ????? 13 分

3 89 89

.

????? 14 分

20. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识,考查数形结合、函数与 方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) 解法一: (1)解:设 M

? x, y ? , A ? y
??? ? ????

2 1

2 , y1 , B y 2 , y 2 ,

?

?

?

∵ OA ? OB ? OC , ∴ M 是线段 AB 的中点. ????? 2 分

??? ?

∵ OA ? OB ,
2 2

∴ OA ? OB ? 0 . ????? 5 分

??? ?

??? ?

∴ y1 y 2 ? y1 y 2 ? 0 . 依题意知 y1 y 2 ? 0 , ∴ y1 y2 ? ?1 . 把②、③代入①得: x ? ③

????? 6 分

4 y2 ? 2 2

,即 y

2

?

1 2

? x ? 1? .

????? 7 分

∴点 M 的轨迹方程为 y

2

?

1 2

? x ? 1? .

????? 8 分

(2)解:依题意得四边形 AOBC 是矩形, ∴四边形 AOBC 的面积为

??? ??? ? ? S ? OA OB ?
?
? ?
2

?y ?
2 1

2

? y12 ?
2 1 2

?y ?
2 2

2

2 ? y2

????? 9 分

?y

2 1

?1

? ?y

2 2

?1

? ?y y ?

2 2 y12 y 2 ? y12 ? y 2 ? 1 2 2 ? y12 ? y 2 .
2

????? 11 分

∵ y1 ? y 2 ? 2 y1 y 2 ? 2 ,当且仅当 y1 ? y 2 时,等号成立, ????? 12 分 ∴S ?

2 ? 2 ? 2.

????? 13 分 ????? 14 分

∴四边形 AOBC 的面积的最小值为 2 . 解法二: (1)解:依题意,知直线 OA,OB 的斜率存在,设直线 OA 的斜率为 k , 由于 OA ? OB ,则直线 OB 的斜率为 ?

1 k

.

????? 1 分

故直线 OA 的方程为 y ? kx ,直线 OB 的方程为 y ? ?

1 k

x.

由?

? y ? kx , ?y
2

? x.

消去 y ,得 k x ? x ? 0 .
2 2

解得 x ? 0 或 x ?

1 k2

.

????? 2 分

∴点 A 的坐标为 ?

? 1

1? , ?. k? ?k
2

????? 3 分

同理得点 B 的坐标为 k ,? k . ∵ OA ? OB ? OC , ∴ M 是线段 AB 的中点. 设点 M 的坐标为 ? x, y ? ,

?

2

?

????? 4 分

??? ?

??? ?

????

????? 5 分

消去 k ,得 y

2

?

1 2

? x ? 1? .
2

????? 7 分

∴点 M 的轨迹方程为 y

?

1 2

? x ? 1? .

????? 8 分

当且仅当 k

2

?

1 k
2

,即 k

2

? 1 时,等号成立.

????? 13 分 ????? 14 分

∴四边形 AOBC 的面积的最小值为 2 .

21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前 n 项和等基础知识,考查合情推理、化归 与转化、特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力) (1)解法 1:设 b1 ,b2 ,b3 ,? ,bn ? 2 构成等比数列,其中 b1 ? 1,bn ? 2 ? 2 , 依题意, An ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? bn ? 2 , ① ② ????? 1 分 ????? 2 分 ????? 3 分

An ? bn ? 2 ? bn ? 1 ? ? ? b2 ? b1 ,

由于 b1 ? bn ? 2 ? b2 ? bn ?1 ? b3 ? bn ? ? ? bn ? 2 ? b1 ? 2 , ① ? ②得 An ?
2

?b b ? ? ?b b ? ? ? ? ?b
1 n?2 2 n ?1

n ?1 2

b

? ? ?b

n?2 1

b

??

2 n ? 2 .????? 4 分

∵ An ? 0 ,
n?2

∴ An ? 2

2

.
n?3 2 n?2 2

????? 5 分



An ?1 An

?

2 2

?

2,

????? 6 分

∴数列 ? An ? 是首项为 A1 ? 2 2 ,公比为 2 的等比数列.

????? 7 分

∴ Sn

? 2 2 ?1 ? 2 ? ? 1? 2

? ? ???
n

? ? 4 ? 2 2 ? ?

?

?? ?
2

n

? ? 1? . ?

????? 8 分

解法 2: 设 b1 ,b2 ,b3 ,? ,bn ? 2 构成等比数列,其中 b1 ? 1,bn ? 2 ? 2 ,公比为 q , 则 bn ? 2 ? b1q
n ?1

,即 q

n ?1

? 2.

????? 1 分

依题意,得 An ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? bn ? 2

? b1 ? ? b1q ? ? b1q 2 ? ? ? b1q n ? 1

?

?

?

?

????? 2 分 ????? 3 分 ????? 4 分 ????? 5 分

? ? b1 ?
? q
? 2

n?2

?q

1? 2 ? 3 ?? ? ? n ?1?

? n ?1?? n ? 2 ?
2
n?2 2

.



An ?1 An

?

2 2

n?3 2 n?2 2

?

2,

????? 6 分

∴ tan n ? tan n ? 1 ?

?

?

tan ? n ? 1? ? tan n tan 1

? 1 , n ?N * .

?????11 分

∴ Tn ? tan a2 ? tan a4 ? tan a4 ? tan a6 ? ? ? tan a2 n ? tan a2 n ? 2

? tan 2 ? tan 3 ? tan 3 ? tan 4 ? ? ? tan ? n ? 1? ? tan ? n ? 2 ?
? tan ? n ? 2 ? ? tan ? n ? 1? ? ? tan 3 ? tan 2 ? ? tan 4 ? tan 3 ? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 1? ? ? tan 1 tan 1 tan 1 ? ? ? ? ? ?

?

tan ? n ? 2 ? ? tan 2 tan 1

? n.

????? 14 分


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