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等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点 2


等差、等比数列基础知识点
(一)知识归纳: 1.概念与公式: ①等差数列:1°.定义:若数列 {an }满足an?1 ? an ? d (常数),则 {an } 称等差数列; 2°.通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ? ak ? (n ? k )d ; 3°.前 n 项和公式:公式: S n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d. 2 2

② 等 比 数 列 : 1 ° . 定 义 若 数 列 {an }满足

an?1 , 则 {an } 称 等 比 数 列 ; 2 ° . 通 项 公 式 : ? q (常数) an

an ? a1q

n?1

? ak q

n ?k

; 3°.前 n 项和公式: S n ?

a1 ? an q a1 (1 ? q n ) ? (q ? 1), 当 q=1 时 S n ? na1. 1? q 1? q

2.简单性质: ①首尾项性质:设数列 {an } : a1 , a2 , a3 ,?, an , 1°.若 {an } 是等差数列,则 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?; 2°.若 {an } 是等比数列,则 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?. ②中项及性质: 1°.设 a,A,b 成等差数列,则 A 称 a、b 的等差中项,且 A ?

a?b ; 2

2°.设 a,G,b 成等比数列,则 G 称 a、b 的等比中项,且 G ? ? ab. ③设 p、q、r、s 为正整数,且 p ? q ? r ? s, 1°. 若 {an } 是等差数列,则 a p ? aq ? ar ? as ; 2°. 若 {an } 是等比数列,则 a p ? aq ? ar ? as ; ④顺次 n 项和性质: 1°.若 {an } 是公差为 d 的等差数列, 则

? ak ,
k ?1 n

n

k ? n ?1 2n

?

2n

ak ,

k ? 2 n ?1 3n

?a
k

3n

k

组成公差为 n2d 的等差数列;

2°若 {an } 是公差为 q 的等比数列,则 数时这个结论不成立) ⑤若 {an } 是等比数列,

? ak ,
k ?1

k ? n ?1

?

ak ,

k ? 2 n ?1

?a

组成公差为 qn 的等比数列.(注意:当 q=-1,n 为偶

则顺次 n 项的乘积: a1a2 ?an , an?1an?2 ?a2n , a2n?1a2n?2 ?a3n 组成公比这 q n 的等比数列.
1

2

⑥若 {an } 是公差为 d 的等差数列, 1°.若 n 为奇数,则 S n ? na中且S 奇 ? S 偶 ? a中 (注 : a中指中项,即a中 ? a n?1 , 而 S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶
2

数项的和) ; 2°.若 n 为偶数,则 S 偶 ? S 奇 ?

nd . 2

学习要点: 1. 学习等差、等比数列,首先要正确理解与运用基本公式,注意 ② 差 d≠0 的等差数列的通项公式是项 n 的一次函数 an=an+b; ②公差 d≠0 的等差数列的前 n 项和公式项数 n 的没有常数项的二次函数 Sn=an2+bn; ③公比 q≠1 的等比数列的前 n 项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式;诸如上述这些理解对学习是很有帮助的. 2.巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法, 例如:①三数成等差数列,可设三数为“a,a+m,a+2m(或 a-m,a,a+m) ” ②三数成等比数列,可设三数为“a,aq,aq2(或

a ,a,aq)” q

③四数成等差数列,可设四数为“ a, a ? m, a ? 2m, a ? 3m(或a ? 3m, a ? m, a ? m, a ? 3m); ” ④四数成等比数列,可设四数为“ a, aq, aq , aq (或
2 3

a a ,? , aq,?aq3 ), ” 3 q q

课堂讲解:错位相减、裂项求和?
例 1、已知数列{an}的通项公式为 an= 2
n ?1

+3n,求这个数列的前 n 项和

例 2、求下列数列的前 n 项和: (1) 1

1 1 1 1 1 1 1 , 2 , 3 ,?? n ? n ,?? (2)1, , ?? ?? 4 8 1? 2 1? 2 ? 3 2 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n 2

2

(3)5,55,555.??,55??5,??(4)0.5,0.55,0.555,??,0.55??5,??

例 3、已知数列的的通项,求数列的前 n 项和: (1) a n ?

1 n(n ? 1)

(2) b n ?

1 n(n ? 2)

(3){an}满足 an=

1 n ? n ?1

,求 Sn

22 42 ( 2n) 2 ? ? ??+ (4)求和: S n ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)

(5)求和 S n ?

1 1 1 ? ? ?? ? 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 n(n ? 1)(n ? 2)

3

例 4、求数列 a,2a 2 ,3a 3 ,?, nan ,?( a 为常数)的前 n 项和 S n 。

练习:求和:

1 3 5 2n ? 1 , 2 , 3 ,?? ,?? 2 2 2n 2

知识演练: 1. 已 知 等 比 数 列 {an } 满 足 an ? 0, n ? 1,2,?, 且a5 ? a2n?5 ? 2 2n (n ? 3) , 则 当 n ? 1 时 ,

l o2 a g g g 1 ?l o 2 a 1 ??? l o 2 a 2 n?1 ?
A. n(2n ? 1) B. (n ? 1)
2

C. n

2

D. (n ? 1)

2

2.已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=

1 * (n ? N ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

3.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn=2n2, {bn } 为等比数列,且 a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 . (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ?

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn bn

王新敞
奎屯

新疆

4

等差与等比数列基础练习
一.选择题 (1) 已知等差数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1, 则a12 的值是 ( ) )

A 15 B 30 C 31 D 64 (2) 在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3 ,前三项和为 21,则 a3+ a4+ a5=( A 33 B 72 C 84 D 189 (3)已知等差数列 ?an ? 的公差为 2,若 a1 ,a 3 , a4 成等比数列, 则 a 2 = ( ) A –4 B –6 C –8 D –10 (4) 如果数列 {an } 是等差数列,则 A C

a1 ? a8 ? a4 ? a5 a1 ? a8 ? a4 ? a5

a1 ? a8 ? a4 ? a5 D a1a8 ? a4 a5
B

(5) 已知由正数组成的等比数列{an}中,公比 q=2, a1·a2·a3·?·a30=245, 则 a28= A 25 B 210 C 215 D 220 (6)

?an ? 是首项 a1 =1,公差为 d =3 的等差数列,如果 an =2005,则序号 n 等于(

)

A 667 B 668 C 669 D 670 (7) 数列{an}的前 n 项和 Sn=3n-c, 则 c=1 是数列{an}为等比数列的 ( ) A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分又非必要条件 (8) 在等比数列{an}中, a1<0, 若对正整数 n 都有 an<an+1, 那么公比 q 的取值范围是 A q>1 B 0<q<1 C q<0 D q<1 (9) 有一塔形几何体由若干个正方体构成, 构成方式如图所示, 上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边 的中点。已知最底层正方体的棱长为 2,且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过 39,则该塔形中正方体的 个数至少是 ( ) A 4; B 5; C 6; D 7。

(10) 已知 f(x)=bx+1 为 x 的一次函数, g(n-1) (n∈N ), 则数列{an}是


b 为不等于 1 的常数, 且 g(n)= ?

(n ? 0) ?1 , 设 an= g(n)- ? f [ g (n ? 1)] (n ? 1)

A 等差数列 B 等比数列 C 递增数列 D 递减数列 二.填空题 8 27 (11) 在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为_____. 2 3 a (3 n ? 1) (12) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn= 1 (对于所有 n≥1),且 a4=54,则 a1 的数值是_____. 2 (13) 等差数列{an}的前 m 项和为 30, 前 2m 项和为 100, 则它的前 3m 项和为 . (14) 设等比数列 {an } 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的值为_________ 三.解答题 (15) 已知数列 {log2 (an ? 1)}n ? N * ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9. 求数列 {an } 的通项公式;

5

(16) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn=2n2, {bn } 为等比数列,且 a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 . (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ?

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn. bn

(17) 已知等比数列{an}的各项都是正数, Sn=80, S2n=6560, 且在前 n 项中, 最大的项为 54, 求 n 的值.

(18) 已知{ an }是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a2 成等差数列. (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设{ bn }是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比较 Sn 与 bn 的大小,并说明理 由..

6

1.A

2.C

3.B 4.B 5.A 6.C

参考答案 7.C 8.B 9.C10.B 11. 216

12.2

13.210

14.–2

(15)解:设等差数列 {log2 (an ? 1)}的公差为 d. 由 a1 ? 3, a3 ? 9得2(log2 2 ? d ) ? log2 2 ? log2 8, 即 d=1.所以 log2 (an ? 1) ? 1 ? (n ? 1)? ? n, 即 an ? 2 n ? 1. (16) (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2; 当n ? 2时, an ? S n ? S n?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2, 故{an}的通项公式为 an ? 4n ? 2,即 {an }是a1 ? 2, 公差d ? 4 的等差数列. 设{bn}的通项公式为 q, 则b1 qd ? b1 , d ? 4,? q ?
n ?1 故 bn ? b1 q ? 2 ?

1 . 4

1 4
n ?1

, 即{bn }的通项公式为 bn ?

2 4 n ?1

.

(II)? c n ? a n ? 4n ? 2 ? (2n ? 1)4 n ?1 , 2 bn 4 n ?1

? Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? [1 ? 3 ? 41 ? 5 ? 4 2 ? ? ? (2n ? 1)4 n?1 ], 4Tn ? [1 ? 4 ? 3 ? 4 2 ? 5 ? 4 3 ? ? ? (2n ? 3)4 n?1 ? (2n ? 1)4 n ]
1 3Tn ? ?1 ? 2(41 ? 4 2 ? 4 3 ? ? ? 4 n ?1 ) ? (2n ? 1)4 n ? [(6n ? 5)4 n ? 5] 3 两式相减 1 ? Tn ? [(6n ? 5)4 n ? 5]. 9 (17) 解 : 由 已 知 an>0, 得 q>0, 若 q=1, 则 有 Sn=na1=80, S2n=2na1=160 与 S2n=6560 矛 盾 , 故 q ≠ 1.



? a1 (1 ? q ) ? 80 (1) ? ? 1? q , 由(2)÷(1)得 qn=81 ? 2n a ( 1 ? q ) ? 1 ? 6560 (2) ? ? 1? q
n

(3).

∴q>1, 此数列为一递增数列, 在前 n 项中, 最大一项是 an, 即 an=54. ∴a1=

又 an=a1qn-1=

a1 n q =54, 且 qn=81, q

54 2 2 2 2 q. 即 a1= q. 将 a1= q 代入(1)得 q(1-qn)=80(1-qn), 即 q(1-81)=80(1-q), 解得 q=3. 又 qn=81, ∴n=4. 3 3 3 3 81 1 2 (18) 解: (Ⅰ)由题设 2a3 ? a1 ? a2 ,即2a1q 2 ? a1 ? a1q, ? a1 ? 0,? 2q ? q ? 1 ? 0. ? q ? 1或 ? . 2
(Ⅱ)若 q ? 1, 则S n ? 2n ? 当 n ? 2时, S n ? bn ? S n ?1 ? 若q ? ?

n(n ? 1) n 2 ? 3n ?1 ? . 2 2
(n ? 1)( n ? 2) ? 0. 故 S n ? bn . 2

1 n(n ? 1) 1 ? n 2 ? 9n , 则S n ? 2n ? (? ) ? . 2 2 2 4

(n ? 1)( n ? 10) , 4 故对于 n ? N ? ,当2 ? n ? 9时, S n ? bn ;当n ? 10 时, S n ? bn ;当n ? 11 时, S n ? bn .
当 n ? 2时, S n ? bn ? S n ?1 ? ?
7


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