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新疆师范大学附中2015届高三上学期12月月考数学试卷(理科)(Word


新疆师范大学附中 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷 (理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)已知集合 M={0,1},则满足 M∪N={0,1,2}的集合 N 的个数是() A.2 B. 3 C. 4 D.8 2. (5 分)若复数 z=2i+ A. B. ,其中 i 是虚数单位,则复数 z 的模为() C. D.2

3. (5 分)在平面直角坐标平面上, l 上的射影长度相等,直线 l 的倾斜角为锐角,则 l 的斜率为() A. B. C.

,且



在直线

D.

4. (5 分) 设平面 α 与平面 β 相交于直线 m, 直线 a 在平面 α 内. 直线 b 在平面 β 内, 且 b⊥m, 则“α⊥β”是“a⊥b”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. (5 分)若函数 y=f(x)的图象和 y=sin(x+ (x)的表达式是() A.cos(x+ ) B.﹣cos(x﹣ ) C.﹣cos(x+ ) D.cos(x﹣ ) )的图象关于点 P( ,0)对称,则 f

6. (5 分)在如图的算法中,如果输入 A=138,B=22,则输出的结果是()

A.2

B. 4

C.128

D.0

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7. (5 分)由直线 y= ,y=2,曲线 y= 及 y 轴所围成的封闭图形的面积是() A.2ln2
3

B.2ln2﹣1

C. ln2

D.

8. (5 分)若函数 y=x ﹣2ax+a 在(0,1)内有极小值,没有极大值,则实数 a 的取值范围 是() A.(0,3) B.(﹣∞,3) C.(0,+∞) D.(0, )

9. (5 分)在△ ABC 中,若 A.a,b,c 依次成等差数列 2 2 2 C. a ,b ,c 依次成等差数列





依次成等差数列,则() B. , , 依次成等比数列 2 2 2 D.a ,b ,c 依次成等比数列

10. (5 分)已知点 P 是双曲线 曲线的左、右焦点,I 为△ PF1F2 的内心,若 线的离心率为() A.4 B. C. 2

右支上一点,F1、F2 分别是双 成立,则双曲

D.

11. (5 分)设 P 是不等式组

表示的平面区域内的任意一点,向量 =(1,

1) , =(2,1) ,若 A.4

=λ +μ (λ,μ 为实数) ,则 λ﹣μ 的最大值为() B. 3 C.﹣1 D.﹣2

12. (5 分) 定义在 R 上的奇函数 ( f x) , 当 x≥0 时, 则关于 x 的函数 F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的所有零点之和为() A.2 ﹣1
a



B.2 ﹣1

﹣a

C.1﹣2

﹣a

D.1﹣2

a

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 7 2 7 4 13. (5 分)已知(x﹣m) =a0+a1x+a2x +…+a7x 的展开式中 x 的系数是﹣35,则 m=; a1+a2+a3+…+a7=.

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14. (5 分) 已知 P 是△ ABC 所在平面内一点, 内,则黄豆落在△ PBC 内的概率是.

, 现将一粒黄豆随机撒在△ ABC

15. (5 分)用一个边长为 4 的正三角形硬纸,沿各边中点连线垂直折起三个小三角形,做 成一个蛋托,半径为 1 的鸡蛋(视为球体)放在其上(如图) ,则鸡蛋中心(球心)与蛋托 底面的距离为.

16. (5 分)已知 Sn 是数列{an}前项和,且 an>0,对?n∈N ,总有 Sn= (an+

*

) ,则 an=.

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. (12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx﹣ 且满足,f( )= . ) (ω>0)相邻两个对称轴之间的距离是号,

(I)求 f(x)的单调递减区间; (Ⅱ)在钝角△ ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,sinB= =1,求△ ABC 的面积.

sinC,a=2,f(A)

18. (12 分)在一个盒子中,放有大小相同的红、白、黄三个小球,从中任意摸出一球,若 是红球记 1 分,白球记 2 分,黄球记 3 分.现从这个盒子中,有放回地先后摸得两球,所得 分数分别记为 x、y,设 o 为坐标原点,点 p 的坐标为(x﹣2) ,x﹣y) ,记 ξ=| (Ⅰ)求随机变量 ξ 的最大值,并求事件“ξ 取得最大值”的概率; (Ⅱ)求随机变量 ξ 的分布列和数学期望. 19. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,BC=CD=2,AC=4, ∠ACB=∠ACD= ,F 为 PC 的中点,AF⊥PB. |.
2

(1)求 PA 的长; (2)求二面角 B﹣AF﹣D 的正弦值.

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20. (12 分)已知

为抛物线 y =2px(p>0)的焦点,点 N(x0,y0) (y0>0)

2

为其上一点,点 M 与点 N 关于 x 轴对称,直线 l 与抛物线交于异于 M,N 的 A,B 两点, 且 .

(I)求抛物线方程和 N 点坐标; (II)判断直线 l 中,是否存在使得△ MAB 面积最小的直线 l',若存在,求出直线 l'的方程 和△ MAB 面积的最小值;若不存在,说明理由. 21. (12 分)已知函数 f(x)=e ﹣ax ﹣bx﹣1,其中 a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底 数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,求 a 的取值范围.
x 2

四、选考题(本小题满分 10 分)请考生在第 22、23、题中任选一题作答,如果多做,则按 所做的第一题记分.作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (10 分)已知曲线 C1: , (α 为参数) ,C2: , (θ 为参数)

(Ⅰ)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 α= ,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3:

, (t 为参数)距离的最小值及此时 Q 点坐标.

23.已知 a∈R,设关于 x 的不等式|2x﹣a|+|x+3|≥2x+4 的解集为 A. (Ⅰ)若 a=1,求 A; (Ⅱ)若 A=R,求 a 的取值范围.

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新疆师范大学附中 2015 届高三上学期 12 月月考数学试 卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)已知集合 M={0,1},则满足 M∪N={0,1,2}的集合 N 的个数是() A.2 B. 3 C. 4 D.8 考点: 子集与真子集. 专题: 计算题. 分析: 由 M 与 N 的并集得到集合 M 和集合 N 都是并集的子集,又根据集合 M 的元素得 到元素 2 一定属于集合 N,找出两并集的子集中含有元素 2 的集合的个数即可. 解答: 解:由 M∪N={0,1,2}, 得到集合 M?M∪N,且集合 N?M∪N, 又 M={0,1},所以元素 2∈N, 则集合 N 可以为{2}或{0,2}或{1,2}或{0,1,2},共 4 个. 故选 C 点评: 此题考查了并集的意义, 以及子集和真子集.要求学生掌握并集的意义, 即属于 M 或属于 N 的元素组成的集合为 M 和 N 的并集,由集合 M 得到元素 2 一定属于集合 N 是本 题的突破点.

2. (5 分)若复数 z=2i+ A. B.

,其中 i 是虚数单位,则复数 z 的模为() C. D.2

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 利用了两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数,求得复数 z,再根据 复数的模的定义求得复数 z 的模. 解答: 解:∵复数 z=2i+ =2i+ =2i+1﹣i=1+i,

∴|z|= = , 故选 B. 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的除法,虚数单位 i 的幂运算性质,求复数的模, 属于基础题.

3. (5 分)在平面直角坐标平面上, l 上的射影长度相等,直线 l 的倾斜角为锐角,则 l 的斜率为() A. B. C.

,且



在直线

D.

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考点: 向量在几何中的应用;平面向量的坐标运算;直线的斜率. 专题: 计算题. 分析: 根据直线的方向向量公式, 可设线 l 的方向向量为 直线 l 上的射影长度相等,得 的值. 解答: 解:设直线 l 的斜率为 k,得直线 l 的方向向量为 再设 则 、 与 的夹角分别为 θ1、θ2, , , , 根据 与 在

,将其转化为关于 k 的方程,可以求出斜率 k

因为 所以



在直线 l 上的射影长度相等 ,即|1+4k|=|﹣3+k|

解之得, 点评: 本题考查了平面向量的坐标运算和直线的斜率等知识, 属于中档题. 深刻理解平面 向量的计算公式,将其准确用到解析几何当中,是解决本题的关键. 4. (5 分) 设平面 α 与平面 β 相交于直线 m, 直线 a 在平面 α 内. 直线 b 在平面 β 内, 且 b⊥m, 则“α⊥β”是“a⊥b”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;平面与平面垂直的性质. 专题: 简易逻辑;立体几何. 分析: 通过两个条件之间的推导, 利用平面与平面垂直的性质以及结合图形, 判断充要条 件即可. 解答: 解:由题意可知 α⊥β,b⊥m?a⊥b,另一方面,如果 a∥m,a⊥b,如图, 显然平面 α 与平面 β 不垂直. 所以设平面 α 与平面 β 相交于直线 m, 直线 a 在平面 α 内. 直 线 b 在平面 β 内,且 b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件. 故选 A.

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点评: 本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断,平面与平面垂直的性质,考查空 间想象能力与作图能力.

5. (5 分)若函数 y=f(x)的图象和 y=sin(x+ (x)的表达式是() A.cos(x+ ) B.﹣cos(x﹣ )

)的图象关于点 P(

,0)对称,则 f

C.﹣cos(x+



D.cos(x﹣



考点: 正弦函数的对称性. 专题: 解题思想. 分析: 根据若函数 y=f(x)的图象和 y=g(x)的图象关于点 P(a,b)对称,则有 f(a+x)+g(a﹣x)=2b;即 f(x)+g(2a﹣x)=2b;从而 f(x)=2b﹣g(2a﹣x) . 然后将 a= ,b=0 代入即可求出函数 f(x)的解析式. )的图象关于点 P( ,0)对称,

解答: 解:若函数 y=f(x)的图象和 y=sin(x+ 则 f(x)=0﹣sin( ﹣x﹣ )=﹣cos(x+ ) .

故选:C. 点评: 本题主要考查已知对称性求函数表达式的问题. 只要记住根据对称性求函数解析式 的方法代入即可得到答案. 6. (5 分)在如图的算法中,如果输入 A=138,B=22,则输出的结果是()

A.2

B. 4

C.128

D.0

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 分析程序中各变量, 各语句的作用, 再据流程图所示的顺序, 判定出该程序的作用, 即可求得答案. 解答: 解:分析程序中各变量,各语句的作用,再据流程图所示的顺序,可知, 该程序的作用是由题设知,是辗转相除法求最大公约数,
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而(138,22)=2 故选 A 点评: 据流程图写运算的结果,是算法这一模块最重要的题型,属于基础题.

7. (5 分)由直线 y= ,y=2,曲线 y= 及 y 轴所围成的封闭图形的面积是() A.2ln2 B.2ln2﹣1 C. ln2 D.

考点: 定积分. 专题: 导数的综合应用. 分析: 利用定积分的几何意义,首先利用定积分表示出图形的面积,求出原函数,计算即 可. 解答: 解:由题意,直线 y= ,y=2,曲线 y= 及 y 轴所围成的封闭图形的面积如图阴影 部分,

面积为

=lny

=ln2﹣ln =2ln2;

故选 A. 点评: 本题考查定积分的运用, 利用定积分的几何意义求曲边梯形的面积, 考查了学生的 计算能力,属于基础题. 8. (5 分)若函数 y=x ﹣2ax+a 在(0,1)内有极小值,没有极大值,则实数 a 的取值范围 是() A.(0,3) B.(﹣∞,3) C.(0,+∞) D.(0, )
3

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用. 3 分析: 由函数 y=x ﹣2ax+a 在(0,1)内有极小值,求导可得,导函数在(0,1)内至少 有一个实数根,分 a>0、a=0、a<0 三种情况,求得实数 a 的取值范围. 3 2 解答: 解:对于函数 y=x ﹣2ax+a,求导可得 y′=3x ﹣2a, 3 ∵函数 y=x ﹣2ax+a 在(0,1)内有极小值, ∴y′=3x ﹣2a=0,则其有一根在(0,1)内,a>0 时,3x ﹣2a=0 两根为±
2 2



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若有一根在(0,1)内,则 0<
2

<1,即 0<a< ;

a=0 时,3x ﹣3a=0 两根相等,均为 0,f(x)在(0,1)内无极小值. 2 a<0 时,3x ﹣3a=0 无根,f(x)在(0,1)内无极小值, 综合可得,0<a< , 故选:D. 点评: 考查利用导数研究函数的极值问题,体现了转化的思想方法,属于中档题. 9. (5 分)在△ ABC 中,若 A.a,b,c 依次成等差数列 2 2 2 C. a ,b ,c 依次成等差数列





依次成等差数列,则() B. , , 依次成等比数列 2 2 2 D.a ,b ,c 依次成等比数列

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 先根据等差数列的性质写出关系式, 再将余切化为余弦与正弦的比值, 进而根据两 角和与差的正弦公式化简,最后根据正余弦定理将角的关系式转化为边的关系即可得解. 解答: 解:∵ ∴ + = , , , 依次成等差数列,

∴2cosBsinAsinC=cosAsinBsinC+cosCsinAsinB. ∴由正弦定理,得 2accosB=bccosA+abcosC=b(ccosA+acosC) , 由射影定理,得 2accosB=b , 2 2 2 由余弦定理,得 a +c =2b . 故选:C. 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系、正弦定理、余弦定理的应用.属基础题.
2

10. (5 分)已知点 P 是双曲线 曲线的左、右焦点,I 为△ PF1F2 的内心,若 线的离心率为() A.4 B. C. 2

右支上一点,F1、F2 分别是双 成立,则双曲

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 设圆 I 与△ PF1F2 的三边 F1F2、PF1、PF2 分别相切于点 E、F、G,连接 IE、IF、IG, 可得△ IF1F2,△ IPF1,△ IPF2 可看作三个高相等且均为圆 I 半径 r 的三角形.利用三角形面

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积公式,代入已知式

,化简可得|PF1|﹣|PF2|=



再结合双曲线的定义与离心率的公式,可求出此双曲线的离心率. 解答: 解:如图,设圆 I 与△ PF1F2 的三边 F1F2、PF1、PF2 分别相切于点 E、F、G,连接 IE、IF、IG, 则 IE⊥F1F2,IF⊥PF1,IG⊥PF2,它们分别是△ IF1F2,△ IPF1,△ IPF2 的高, ∴ , ,其中 r 是△ PF1F2 的内切圆的半径. ∵ ∴ = +

两边约去 得:|PF1|=|PF2|+ ∴|PF1|﹣|PF2|= 根据双曲线定义,得|PF1|﹣|PF2|=2a, ∴2a=c?离心率为 e= 故选 C =c

点评: 本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中, 用来求双曲线的离心率, 着重考查了双 曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点,属于中档题.

11. (5 分)设 P 是不等式组

表示的平面区域内的任意一点,向量 =(1,

1) , =(2,1) ,若 A.4

=λ +μ (λ,μ 为实数) ,则 λ﹣μ 的最大值为() B. 3 C.﹣1 D.﹣2

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考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据向量线性运算的坐标公式,得到 ,由此代入题中的不等式组,可

得关于 λ、μ 的不等式组.作出不等式组表示的平面区域,利用数形结合即可得到结论. 解答: 解:∵向量 =(1,1) , =(2,1) ,若 =λ +μ (λ,μ∈R) ,

∴P(x,y)满足

,代入不等式组组







设 λ=x,μ=y,则不等式等价为



作出不等式组表示的平面区域(阴影部分) , 设 z=λ﹣μ=x﹣y, 即 y=x﹣z,平移直线 y=x﹣z, 则当直线 y=x﹣z 经过点 B 时,直线的截距最小,此时 z 最大, 由 ,解得 ,即 B(3,﹣1) ,

此时 z=x﹣y=3﹣(﹣1)=3+1=4, 即 λ﹣μ 的最大值为 4, 故选:A.

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点评: 本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识, 将条 件转换为关于 λ、μ 的不等式组是解决本题的关键.

12. (5 分) 定义在 R 上的奇函数 ( f x) , 当 x≥0 时, 则关于 x 的函数 F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的所有零点之和为() A.2 ﹣1
a



B.2 ﹣1

﹣a

C.1﹣2

﹣a

D.1﹣2

a

考点: 函数的零点. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 函数 F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的零点转化为:在同一坐标系内 y=f(x) ,y=a 的图象交点的横坐标.作出两函数图象,考查交点个数,结合方程思想,及零点的对称性, 为计算提供简便. 解答: 解:当﹣1≤x<0 时?1≥﹣x>0,x≤﹣1?﹣x≥1,又 f(x)为奇函数 ∴x<0 时, 和 y=a(0<a<1)的图象, 画出 y=f(x)

如图 共有 5 个交点,设其横坐标从左到右分别为 x1,x2,x3,x4,x5,则 ?log2(1﹣x3)=a?x3=1﹣2 , 可得 x1+x2+x3+x4+x5=1﹣2 , 故选 D. 点评: 本题考查函数的图象,函数零点知识,考查函数与方程,数形结合的思想,准确画 好图,把握图象的对称性是关键. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分)已知(x﹣m) =a0+a1x+a2x +…+a7x 的展开式中 x 的系数是﹣35,则 m=1; a1+a2+a3+…+a7=1. 考点: 二项式定理. 专题: 计算题;点列、递归数列与数学归纳法. 4 分析: 在二项展开式的通项公式中,令 x 的指数等于 4,求出 r 的值,根据 x 的系数是﹣ 35,即可求得 m 的值.求出 a0 的值,再把 x=1 和 m=1 代入二项式及其展开式,可得 a1+a2+a3+…+a7 的值. 解答: 解:二项展开式的通项为 Tr+1= x
7﹣r 7 2 7 4 a a

(﹣m) ,令 7﹣r=4,可得 r=3.
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r



(﹣m) =﹣35,解得 m=1. (﹣1) =﹣1=a0,
7

3

故常数项为
7

∴(1﹣1) =a0+a1+a2+…+a7=0, ∴a1+a2+a3+…+a7=﹣a0=1, 故答案为 1; 1. 点评: 本题主要考查二项式定理,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于 中档题.

14. (5 分) 已知 P 是△ ABC 所在平面内一点, 内,则黄豆落在△ PBC 内的概率是 .

, 现将一粒黄豆随机撒在△ ABC

考点: 几何概型. 分析: 根据向量加法的平行四边形法则, 结合共线向量充要条件, 得点 P 是△ ABC 边 BC 上的中线 AO 的中点.再根据几何概型公式,将△ PBC 的面积与△ ABC 的面积相除可得本 题的答案. 解答: 解:以 PB、PC 为邻边作平行四边形 PBDC,则 ∵ ∴ 得: , , , ,

由此可得,P 是△ ABC 边 BC 上的中线 AO 的中点, 点 P 到 BC 的距离等于 A 到 BC 的距离的 . ∴S△ PBC= S△ ABC. 将一粒黄豆随机撒在△ ABC 内,黄豆落在△ PBC 内的概率为 P=

=

故答案为: 点评: 本题给出点 P 满足的条件,求 P 点落在△ PBC 内的概率,着重考查了平面向量加 法法则、向量共线的充要条件和几何概型等知识,属于基础题. 15. (5 分)用一个边长为 4 的正三角形硬纸,沿各边中点连线垂直折起三个小三角形,做 成一个蛋托,半径为 1 的鸡蛋(视为球体)放在其上(如图) ,则鸡蛋中心(球心)与蛋托 底面的距离为 .

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考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 画出图形,判断蛋槽的底面三角形的形状,求出蛋槽的高,判断球心与蛋槽的上底 面三棱锥的形状,然后求出棱锥的高即可. 解答: 解:由题意可知折叠后的蛋槽的上顶点在底面的射影如图中红线三角形, 蛋槽的底面是正三角形边长为 2,∴蛋槽的高为 , 且折起三个小三角形顶点构成边长为 1 的等边三角形 A′B′C′, O﹣A′B′C′是列出为 1 的正四面体,

∴球心到面 A′B′C′的距离 ∴鸡蛋中心与蛋巢底面的距离为 故答案为: . .



点评: 本题考查空间想象能力,逻辑推理能力,点到平面距离的求法,考查计算能力. 16. (5 分)已知 Sn 是数列{an}前项和,且 an>0,对?n∈N ,总有 Sn= (an+ an= .
*

) ,则

考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据数列的递推关系,求出数列{an}的前几项,即可得到结论. 解答: 解:∵an>0,对?n∈N ,总有 Sn= (an+ ∴2Sn=an+ , ) ,即 a1= ,
*

) ,

当 n=1 时,a1= (a1+ ∵an>0,∴a1=1,

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当 n=2 时,2(1+a2)=a2+ 即 2+a2﹣
2



=0,

即(a2) +2a2﹣1=0, 则 a2= ∵an>0,∴a2= 当 n=3 时,2(1+ 即(a3) +2 则 a3= ∵an>0,∴a3= 则由归纳推理可得 an= 故答案为: 点评: 本题主要考查数列通项公式的求解. 根据数列的递推关系, 结合归纳推理是解决本 题的关键. 三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. (12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx﹣ 且满足,f( )= . ) (ω>0)相邻两个对称轴之间的距离是号,
2

, . +a3)=a3+ ,

a3﹣1=0, = . , ,

(I)求 f(x)的单调递减区间; (Ⅱ)在钝角△ ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,sinB= =1,求△ ABC 的面积. 考点: 正弦定理;三角函数的周期性及其求法. 专题: 解三角形.

sinC,a=2,f(A)

分析: (Ⅰ) 根据题意求得函数的最小周期, 进而利用周期公式求得 ω, 根据 f (

) =

求得 A,进而可得函数 f(x)的解析式,进而利用三角函数的性质求得其单调递减区间. (Ⅱ)利用正弦定理把已知等式的角转化成边,进而求得 sin(2A﹣ 后利用余弦定理求得 b 和 c,利用面积公式求得三角形面积. 解答: 解: (Ⅰ)由题意知周期 T=π, ∴ω= ∵ ∴A=2,
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) ,进而求得 A,最

=2, ,

∴ ∵ 即 所以 f(x)的单调递减区间为 (Ⅱ)∵sinB= sinC, ∴由正弦定理知 , ∵ ∴ ∵ ∴ , , ,

, 时,函数单调减, 时,函数单调减, .



因为△ ABC 为钝角三角形,所以 ∵a =b +c ﹣2bccosA, ∴ ∴ ,
2 2 2

舍去,故



, .

点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用, 三角函数图象和性质. 考查了基础知 识综合运用. 18. (12 分)在一个盒子中,放有大小相同的红、白、黄三个小球,从中任意摸出一球,若 是红球记 1 分,白球记 2 分,黄球记 3 分.现从这个盒子中,有放回地先后摸得两球,所得 分数分别记为 x、y,设 o 为坐标原点,点 p 的坐标为(x﹣2) ,x﹣y) ,记 ξ=| (Ⅰ)求随机变量 ξ 的最大值,并求事件“ξ 取得最大值”的概率; (Ⅱ)求随机变量 ξ 的分布列和数学期望. 考点: 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)x,y 可能的取值为 1、2、3,仅有 x=1,y=3 或 x=3,y=1 时随机变量 ξ 的 最大值为 5,可得符合题意的基本事件有 2 个,而总的基本事有件 3×3=9 种,由古典概型可 得概率; (Ⅱ)ξ 的所有的取值为 0,1,2,5,同(1)的求法分别可求得概率,列表可得分布列, 由期望的定义可得期望值. 解答: 解: (Ⅰ)∵x,y 可能的取值为 1、2、3,∴|x﹣2|≤1,|y﹣x|≤2, 2 2 ∴ξ=(x﹣2) +(x﹣y) ≤5,当且仅当 x=1,y=3 或 x=3,y=1 时,ξ=5,
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|.

2

因此随机变量 ξ 的最大值为 5,因为有放回摸两球所有情况有 3×3=9 种, ∴P(ξ=5)= ; (Ⅱ)ξ 的所有的取值为 0,1,2,5 ∵ξ=0 时,只有 x=2,y=2 这一情况, ξ=1 时,有 x=1,y=1,或 x=2,y=1,或 x=2,y=3 或 x=3,y=3 四种情况, ξ=2 时,有 x=1,y=2 或 x=3,y=2 两种情况, ∴P(ξ=0)= ,P(ξ=1)= ,P(ξ=2)= , 故随机变量 ξ 的分布列为: ξ 0 P 因此数学期望 Eξ= =2

1

2

5

点评: 本题考查离散型随机变量及分布列,涉及数学期望的求解,属中档题. 19. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,BC=CD=2,AC=4, ∠ACB=∠ACD= ,F 为 PC 的中点,AF⊥PB.

(1)求 PA 的长; (2)求二面角 B﹣AF﹣D 的正弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;点、线、面间的距离计算;二面角的平面角及求法. 专题: 计算题;证明题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (I)连接 BD 交 AC 于点 O,等腰三角形 BCD 中利用“三线合一”证出 AC⊥BD, 因此分别以 OB、OC 分别为 x 轴、y 轴建立空间直角坐标系如图所示.结合题意算出 A、B、 C、D 各点的坐标,设 P(0,﹣3,z) ,根据 F 为 PC 边的中点且 AF⊥PB,算出 z=2 , 从而得到 =(0,0,﹣2 ) ,可得 PA 的长为 2 =(﹣ ,3,0) , ; =( ,3,0) , =(0,2, ) .利 ,2)

(II)由(I)的计算,得

用垂直向量数量积为零的方法建立方程组,解出 =(3,

,﹣2)和 =(3,﹣

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分别为平面 FAD、平面 FAB 的法向量,利用空间向量的夹角公式算出 、 夹角的余弦,结 合同角三角函数的平方关系即可算出二面角 B﹣AF﹣D 的正弦值. . 解答: 解: (I)如图,连接 BD 交 AC 于点 O ∵BC=CD,AC 平分角 BCD,∴AC⊥BD 以 O 为坐标原点,OB、OC 所在直线分别为 x 轴、y 轴, 建立空间直角坐标系 O﹣xyz, 则 OC=CDcos 又∵OD=CDsin =1,而 AC=4,可得 AO=AC﹣OC=3. = , ,0,0)

∴可得 A(0,﹣3,0) ,B( ,0,0) ,C(0,1,0) ,D(﹣ 由于 PA⊥底面 ABCD,可设 P(0,﹣3,z) ∵F 为 PC 边的中点,∴F(0,﹣1, ) ,由此可得 ∵ ∴ =( ? ,3,﹣z) ,且 AF⊥PB, =6﹣ =0,解之得 z=2 (舍负) ; ,3,0) ,

=(0,2, ) ,

因此,

=(0,0,﹣2 =(﹣

) ,可得 PA 的长为 2 ,3,0) , =(

(II)由(I)知

=(0,2,

) ,

设平面 FAD 的法向量为 =(x1,y1,z1) ,平面 FAB 的法向量为 =(x2,y2,z2) , ∵ ? =0 且 ? =0,∴ ,取 y1= 得 =(3, ,﹣2) ,

同理,由 ?

=0 且 ?

=0,解出 =(3,﹣

,2) ,

∴向量 、 的夹角余弦值为 cos< , > = = =

因此,二面角 B﹣AF﹣D 的正弦值等于

=

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点评: 本题在三棱锥中求线段 PA 的长度,并求平面与平面所成角的正弦值.着重考查了 空间线面垂直的判定与性质, 考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识, 属于中档 题.
2

20. (12 分)已知

为抛物线 y =2px(p>0)的焦点,点 N(x0,y0) (y0>0)

为其上一点,点 M 与点 N 关于 x 轴对称,直线 l 与抛物线交于异于 M,N 的 A,B 两点, 且 .

(I)求抛物线方程和 N 点坐标; (II)判断直线 l 中,是否存在使得△ MAB 面积最小的直线 l',若存在,求出直线 l'的方程 和△ MAB 面积的最小值;若不存在,说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的标准方程;抛物线的简单性质. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ)由题意知:p=1,x0=2,y0 =4,y0>0,得 y0=2,由此能求出抛物线方程和 N 点坐标. (Ⅱ)由题意知直线的斜率不为 0,设直线 l 的方程为 x=ty+b(t∈R) ,联立方程 得
2

y ﹣2ty﹣2b=0,设两个交点

2

,由

,得 b=2t+3,由此能求出当 t=

﹣2 时 S 有最小值为

,此时直线 l'的方程为 x+2y+1=0. ,

解答: 解: (Ⅰ)由题意 ∴p=1, 2 所以抛物线方程为 y =2x. , x0=2,y0 =4,
2

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∵y0>0, ∴y0=2, ∴N(2,2) . (4 分) (Ⅱ)由题意知直线的斜率不为 0, 设直线 l 的方程为 x=ty+b(t∈R) 联立方程 得 y ﹣2ty﹣2b=0,
2

设两个交点

(y1≠±2,y2≠±2)



,…(6 分)



整理得 b=2t+3…(8 分) 此时△ =4(t +4t+6)>0 恒成立, 由此直线 l 的方程可化为 x﹣3=t(y+2) , 从而直线 l 过定点 E(3,﹣2)…(9 分) 因为 M(2,﹣2) , 所以 M、E 所在直线平行 x 轴 三角形 MAB 面积 = ,…(11 分)
2

所以当 t=﹣2 时 S 有最小值为 , 此时直线 l'的方程为 x+2y+1=0…(12 分) 点评: 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力, 综合性强, 是 2015 届高考的重点, 易错点是知识体系不牢固. 本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识, 解 题时要注意合理地进行等价转化. 21. (12 分)已知函数 f(x)=e ﹣ax ﹣bx﹣1,其中 a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底 数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,求 a 的取值范围. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的零点. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求出 f(x)的导数得 g(x) ,再求出 g(x)的导数,对它进行讨论,从而判 断 g(x)的单调性,求出 g(x)的最小值; (2)利用等价转换,若函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数 f(x)在区间(0,1) 内至少有三个单调区间,所以 g(x)在(0,1)上应有两个不同的零点.
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x 2

解答: 解:∵f(x)=e ﹣ax ﹣bx﹣1,∴g(x)=f′(x)=e ﹣2ax﹣b, x x 又 g′(x)=e ﹣2a,x∈[0,1],∴1≤e ≤e, ∴①当 时,则 2a≤1,g′(x)=e ﹣2a≥0,
x

x

2

x

∴函数 g(x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1﹣b; ②当 ,则 1<2a<e,
x x

∴当 0<x<ln(2a)时,g′(x)=e ﹣2a<0,当 ln(2a)<x<1 时,g′(x)=e ﹣2a>0, ∴函数 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间[ln(2a) ,1]上单调递增, g(x)min=g[ln(2a)]=2a﹣2aln(2a)﹣b; ③当 时,则 2a≥e,g′(x)=e ﹣2a≤0,
x

∴函数 g(x)在区间[0,1]上单调递减,g(x)min=g(1)=e﹣2a﹣b, 综上:函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值为



(2)由 f(1)=0,?e﹣a﹣b﹣1=0?b=e﹣a﹣1,又 f(0)=0, 若函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数 f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调 区间, 由(1)知当 a≤ 或 a≥ 时,函数 g(x)在区间[0,1]上单调,不可能满足“函数 f(x)在区 间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求. 若 令 h(x)= 则 >0?x< ∴h(x)在区间(1, )上单调递增,在区间( = = ,e)上单调递减, <0,即 gmin(x)<0 恒成立, ? ,则 gmin(x)=2a﹣2aln(2a)﹣b=3a﹣2aln(2a)﹣e+1 (1<x<e) = ,∴ .由

∴函数 f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间?





,所以 e﹣2<a<1,

综上得:e﹣2<a<1.

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点评: 本题考查了,利用导数求函数的单调区间,分类讨论思想,等价转换思想,函数的 零点等知识点.是一道导数的综合题,难度较大. 四、选考题(本小题满分 10 分)请考生在第 22、23、题中任选一题作答,如果多做,则按 所做的第一题记分.作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (10 分)已知曲线 C1: , (α 为参数) ,C2: , (θ 为参数)

(Ⅰ)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 α= ,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3:

, (t 为参数)距离的最小值及此时 Q 点坐标.

考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)根据普通方程和参数方程的互化公式直接进行求解; (Ⅱ)当 时,得到点 P 的坐标,然后,转化成求解点 M 到直线的距离的最小值即可.

解答: 解: (Ⅰ)据题,由曲线 C1: (x+4) +(y﹣3) =1, 它表示一个以(﹣4,3)为圆心,以 1 为半径的圆, 由 C2: , (θ 为参数)得
2 2

, (α 为参数) ,得

, 它表示一个中心为坐标原点,焦点在轴上,长半轴长为 8,短半轴长为 3 的椭圆, (Ⅱ)当 时,P(﹣4,4) ,Q(8cosθ,3sinθ) ,

故 M(﹣2+4cosθ,2+ sinθ) ,

由直线 C3:

, (t 为参数) ,得

x﹣2y﹣7=0,它表示一条直线,M 到该直线的距离为: d= = |5cos(θ+Φ)﹣13|, (其中 sinΦ= ,cosΦ= ) ,

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当 cos(θ+Φ)=1 时,d 取最小值

, ,

从而,当 sinΦ=﹣ ,cosΦ= ,时,d 有最小值 此时,点 Q( ,﹣ ) .

点评: 本题综合考查了普通方程和参数方程的互化公式、 椭圆的参数方程和直线的参数方 程及其应用,属于中档题. 23.已知 a∈R,设关于 x 的不等式|2x﹣a|+|x+3|≥2x+4 的解集为 A. (Ⅰ)若 a=1,求 A; (Ⅱ)若 A=R,求 a 的取值范围. 考点: 绝对值三角不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (I)利用绝对值的几何意义,化去绝对值,解不等式,可得结论; (II) 当 x≤﹣2 时, |2x﹣a|+|x+3|≥0≥2x+4 成立, 当 x>﹣2 时, |2x﹣a|+|x+3|=|2x﹣a|+x+3≥2x+4, 从而可求 a 的取值范围. 解答: 解: (I)若 a=1,则|2x﹣1|+|x+3|≥2x+4 当 x≤﹣3 时,原不等式可化为﹣3x﹣2≥2x+4,可得 x≤﹣3 当﹣3<x≤ 时,原不等式可化为 4﹣x≥2x+4,可得 3x≤0 当 x> 时,原不等式可化为 3x+2≥2x+4,可得 x≥2 综上,A={x|x≤0,或 x≥2}; (II)当 x≤﹣2 时,|2x﹣a|+|x+3|≥0≥2x+4 成立 当 x>﹣2 时,|2x﹣a|+|x+3|=|2x﹣a|+x+3≥2x+4 ∴x≥a+1 或 x≤ ∴a+1≤﹣2 或 a+1≤ ∴a≤﹣2 综上,a 的取值范围为 a≤﹣2. 点评: 本题考查绝对值不等式, 考查分类讨论的数学思想, 考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题.

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