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湖南省2016届高考数学模拟试卷(理科)(四) Word版含解析


2016 年湖南省高考数学模拟试卷(理科)(四)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设复数 z 满足 1+z=(1﹣z)i,则|z|=( A. B.1 C. D.2 ,则 N∩?RM=( C.? D.[1,2] ,则 a,b,c 的大小关系是( ) ) )

2.已知 R 是实数集, A.(1,2) B.[0,2] 3.已知

A.a>c>b B.c>a>b C.a>b>c D.c>b>a 4. 已知等差数列{an}前四项中第二项为 606, 前四项和 Sn 为 3834, 则该数列第 4 项为 ( A.2004 B.3005 C.2424 D.2016 5.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为( ) )

A.﹣10 B.6

C.14

D.18

6.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已 知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8,则 x,y 的值分别为( )

A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8 7.下列说法正确的是( )

A.对于任意的 x 都有|x|≤2x 恒成立 B.同时向上抛掷 2 枚硬币,2 枚都是反面朝上的概率是 C.回归直线必须过(0,0)并呈现一条直线 D.在 k 班高三数学期中测试中,平均数能够代表 K 班数学总体水平 8. x2+y2﹣4x﹣4y=0 与 x 轴相交于 A, B 两点, 已知圆 C: 则弦 AB 所对的圆心角的大小 ( A. 9.将 上所有点向左平移 A. B. B. C. D. 的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,再将图象 个单位,则所得函数图象的一条对称轴为( C. D. ) )

10.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中 的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20π,则 r=( )

A.1

B.2

C.4 ,

D.8 , ,点 C 在 AB 上,∠AOC=30°.则向量 等

11.已知 于( )

A.

B.

C.

D.

12.已知双曲线



=1 (a>0,b>0)的一条渐近线过点(2, x 的准线上,则双曲线的方程为( ﹣ =1 )

),且双曲线的一

个焦点在抛物线 y2=4 A. ﹣ =1 B.

C.



=1

D.



=1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上.. 13. p) =30, D =20, 已知随机变量 X 服从二项分布 B (n, , 若E (X) (X) 则 P= 14.(x2+x+y)5 的展开式中,x5y2 的系数为 . .

15.若不等式组

表示的平面区域为三角形,且其面积等于 ,则 m 的值





16.已知函数 f(x)满足 f(x)=f(﹣x),且当 x∈(﹣∞,0)时,f(x)+f′(x)<0, a=20.1?( f 20.1) b= f ln2) c= f log2 ) b, c 的大小关系是 , (ln2) ( , (log2 ) ( , 则 a, .

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=btanA. (Ⅰ)证明:sinB=cosA; (Ⅱ)若 sinC﹣sinAcosB= ,且 B 为钝角,求 A,B,C. 18. 退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势. 某机构为了解某城 市市民的年龄构成,从该城市市民中随机抽取年龄段在 20~80 岁(含 20 岁和 80 岁)之间 的 600 人进行调查,并按年龄层次[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70), [70,80]绘制频率分布直方图,如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”, [40,60)为“中年人”,[60,80]为“老年人”.

(Ⅰ)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替,试估算所调查的 600 人的平均年龄; (Ⅱ)将上述人口分布的频率视为该城市在 20﹣80 年龄段的人口分布的概率.从该城市 20 ﹣80 年龄段市民中随机抽取 3 人,记抽到“老年人”的人数为 X,求随机变量 X 的分布列和 数学期望. 19.在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F 分别为 A1D1 和 CC1 的中点. (Ⅰ)求证:EF∥平面 ACD1; (Ⅱ)求异面直线 EF 与 AB 所成的角的余弦值; (Ⅲ)在棱 BB1 上是否存在一点 P,使得二面角 P﹣AC﹣B 的大小为 30°?若存在,求出 BP 的长;若不存在,请说明理由.

20.已知抛物线 C1:x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C2: 与 C2 的公共弦的长为 2 两点,且 与 同向.

+

=1(a>b>0)的一个焦点,C1

,过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A,B 两点,与 C2 相交于 C,D

(Ⅰ)求 C2 的方程; (Ⅱ)若|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率. 21.已知函数 f(x)=lnx﹣ (Ⅰ)求函数 f(x)的单调增区间; .

(Ⅱ)证明;当 x>1 时,f(x)<x﹣1; (Ⅲ)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0>1,当 x∈(1,x0)时,恒有 f(x)>k (x﹣1).

请考生在第(22)、(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分,选修 4-1 几何证明选讲 22.如图所示,已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C, 过点 B 作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P. (Ⅰ)求证:AD∥EC; (Ⅱ)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长.

选修 4-4 坐标系与参数方程 23.在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 已知点 A 的极坐标为( 线 l 上. (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; (2)若圆 C 的参数方程为 (α 为参数),试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. , ),直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ﹣ )=a,且点 A 在直

选修 4-5 不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|. (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)<4 的解集; (Ⅱ)设函数 f(x)的最小值为 g(a),求 g(a)的最小值.

2016 年湖南省高考数学模拟试卷(理科)(四)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设复数 z 满足 1+z=(1﹣z)i,则|z|=( A. B.1 C. D.2 )

【考点】复数求模. 【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数. 【分析】由 1+z=(1﹣z)i,可得 z= 的计算公式即可得出. 【解答】解:∵1+z=(1﹣z)i, ∴z= 则|z|=1. 故选:B. 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式,考查了推理能力与 技能数列,属于基础题. = = =i, ,再利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模

2.已知 R 是实数集, A.(1,2) B.[0,2] C.? D.[1,2]

,则 N∩?RM=(



【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】先化简两个集合 M、N 到最简形式求出 M,N,依照补集的定义求出 CRM,再按 照交集的定义求出 N∩CRM. 【解答】解:∵M={x| <1}={x|x<0,或 x>2},N={y|y= CRM={x|0≤x≤2}, 故有 N∩CRM={y|y≥1 }∩{x|0≤x≤2} +1}={y|y≥1 },

=[1,+∞)∩[0,2] =[1,2], 故选 D. 【点评】本题考查函数的值域求法,不等式的解法,以及求集合的补集和交集的方法.

3.已知

,则 a,b,c 的大小关系是(



A.a>c>b B.c>a>b C.a>b>c D.c>b>a 【考点】对数值大小的比较. 【专题】转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据指数的运算求出 a 的范围,根据对数的运算性质得到 b,c 的范围,比较即可. 【解答】解: = = >2, <0,0< <1,

即 a>2,b<0,0<c<1, 即 a>c>b, 故选:A. 【点评】本题考查了指数以及对数的运算性质,是一道基础题.

4. 已知等差数列{an}前四项中第二项为 606, 前四项和 Sn 为 3834, 则该数列第 4 项为 ( A.2004 B.3005 C.2424 D.2016 【考点】等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】根据等差数列前 n 项和公式和通项公式之间的关系进行推导即可. 【解答】解:已知 a2=606,S4=3834, 则 S3=a1+a2+a3=3a2=1818 即 a4=S4﹣S3=3834﹣1818=2016, 故选:D 【点评】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式和通项公式的应用,比较基础.



5.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为(



A.﹣10 B.6

C.14

D.18

【考点】程序框图. 【专题】图表型;算法和程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 i,S 的值,当 i=8 时满足条件 i>5, 退出循环,输出 S 的值为 6. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 S=20,i=1 i=2,S=18 不满足条件 i>5,i=4,S=14 不满足条件 i>5,i=8,S=6 满足条件 i>5,退出循环,输出 S 的值为 6. 故选:B. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确写出每次循环得到的 i,S 的值是解题 的关键,属于基础题.

6.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已 知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8,则 x,y 的值分别为( )

A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8

【考点】茎叶图. 【专题】概率与统计. 【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来,再除以 5.找甲组数据的中位数 要把甲组数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数为中位数.据此列式求解即可. 【解答】解:乙组数据平均数=(9+15+18+24+10+y)÷5=16.8; ∴y=8; 甲组数据可排列成:9,12,10+x,24,27.所以中位数为:10+x=15, ∴x=5. 故选:C. 【点评】 本题考查了中位数和平均数的计算. 平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以 数据的个数.将一组数据从小到大依次排列,把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中 位数.

7.下列说法正确的是(



A.对于任意的 x 都有|x|≤2x 恒成立 B.同时向上抛掷 2 枚硬币,2 枚都是反面朝上的概率是 C.回归直线必须过(0,0)并呈现一条直线 D.在 k 班高三数学期中测试中,平均数能够代表 K 班数学总体水平 【考点】线性回归方程;命题的真假判断与应用. 【专题】不等式的解法及应用;概率与统计. 【分析】举出反例 x<0,可判断 A;求出满足条件的事件的概率,可判断 B;根据回归直 线的几何特征,可判断 C;根据平均数表示刻画数据总体水平的适用范围,可判断 D. 【解答】解:当 x<0 时,|x|>2x,故 A 错误; 同时向上抛掷 2 枚硬币,2 枚都是反面朝上的概率是 ,故 B 正确; 回归直线必须过( , )并呈现一条直线,但不一定经过(0,0)点,故 C 错误; 如果数学成绩差距较大,则平均数不能够代表 K 班数学总体水平,故 D 错误, 故选:B 【点评】 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用, 此类题型往往综合较多的其它知识点, 综合性强,难度中档.

8. x2+y2﹣4x﹣4y=0 与 x 轴相交于 A, B 两点, 已知圆 C: 则弦 AB 所对的圆心角的大小 ( A. B. C. D.



【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】综合题;直线与圆. 【分析】根据条件令 x=0,求出 AB 的长度,结合三角形的勾股定理求出三角形 ACB 是直 角三角形即可得到结论. 【解答】解:当 y=0 时,得 x2﹣4x=0,解得 x=0 或 x=4, 则 AB=4﹣0=4, 半径 R=2 , )2+(2 )2=8+8=16=(AB)2,

∵CA2+CB2=(2

∴△ACB 是直角三角形, ∴∠ACB=90°, 即弦 AB 所对的圆心角的大小为 90°, 故选:C. 【点评】本题主要考查圆心角的求解,根据条件求出先 AB 的长度是解决本题的关键.

9.将 上所有点向左平移 A. B.

的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,再将图象 个单位,则所得函数图象的一条对称轴为( C. D. )

【考点】正弦函数的图象. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由条件利用 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得所得图象对应的函数解析式, 再根据正弦函数的图象的对称性,求得所得函数图象的一条对称轴. 【解答】解:将 可得函数 y=sin(2x+ 的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变, )的图象;

再把所得图象象左平移 (2x+ 令 2x+ ), =kπ+

个单位, 则所得函数图象对应的解析式为 y=sin[2 (x+

+ )

]=sin

,求得 x=



,k∈z,故所得函数的图象的对称轴方程为 x=



,k∈z. 结合所给的选项, 故选:A. 【点评】本题主要考查 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属于 基础题.

10.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中 的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20π,则 r=( )

A.1

B.2

C.4

D.8

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】立体几何. 【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱,计算即可. 【解答】解:由几何体三视图中的正视图和俯视图可知, 截圆柱的平面过圆柱的轴线, 该几何体是一个半球拼接半个圆柱, ∴其表面积为: ×4πr2+ ×πr2 又∵该几何体的表面积为 16+20π, ∴5πr2+4r2=16+20π,解得 r=2, 故选:B. 2r×2πr+2r×2r+ ×πr2=5πr2+4r2,

【点评】本题考查由三视图求表面积问题,考查空间想象能力,注意解题方法的积累,属于 中档题.

11.已知 于( )





,点 C 在 AB 上,∠AOC=30°.则向量



A.

B.

C.

D.

【考点】平面向量的基本定理及其意义;向量的线性运算性质及几何意义. 【专题】计算题. 【分析】过点 C 做 CE∥OA CF∥OB,得到两个三角形相似,根据三角形相似得到对应边 成比例,把 OE,OF 都用 OC 来表示,代入比例式,求出 OC 的值,做出向量之间的关系. 【解答】解:过点 c 做 CE∥OA CF∥OB 设 OC 长度为 a 有△ CEB∽△AFC ∴ ∵∠AOC=30° 则 CF= =OE OF=CE= ∴BE=2 ﹣ AF=2﹣ (1)

代入(1)中化简整理可解:a= OF= = = OA OE= = OB,

∴ 故选 B. 【点评】本题考查平面向量基本定理及其意义,本题解题的关键是构造平行四边形,利用平 行四边形法则来解题,本题是一个易错题.

12.已知双曲线



=1 (a>0,b>0)的一条渐近线过点(2, x 的准线上,则双曲线的方程为( ﹣ =1 )

),且双曲线的一

个焦点在抛物线 y2=4 A. ﹣ =1 B.

C.



=1

D.



=1

【考点】双曲线的标准方程. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程,从而可得双曲线的左焦点,再根据焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程,得 a、b 的另一个方程,求出 a、b,即可得到双曲 线的标准方程. 【解答】解:由题意, ∵抛物线 y2=4 ∴c= , = , , 双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4 x 的准线上,

x 的准线方程为 x=﹣

∴a2+b2=c2=7, ∴a=2,b= , .

∴双曲线的方程为 故选:D.

【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质,考查学生的计算能力,属于 基础题.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上..

13.已知随机变量 X 服从二项分布 B(n,p),若 E(X)=30,D(X)=20,则 P= 【考点】离散型随机变量的期望与方差. 【专题】概率与统计. 【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可. 【解答】解:随机变量 X 服从二项分布 B(n,p),若 E(X)=30,D(X)=20, 可得 np=30,npq=20,q= ,则 p= , 故答案为: . 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法,考查计算能力.



14.(x2+x+y)5 的展开式中,x5y2 的系数为 30 . 【考点】二项式系数的性质. 【专题】计算题;二项式定理. 【分析】法一:利用分部相乘原理,可以得出 x5y2 的系数; 法二:利用二项式展开式的通项公式,先确定 y 的次数,再确定 x 的次数也可. 【解答】解法一:(x2+x+y)5 可看作 5 个(x2+x+y)相乘, 从中选 2 个 y,有 种选法; ? 种选法;

再从剩余的三个括号里边选出 2 个 x2,最后一个括号选出 x,有 ∴x5y2 的系数为 ? =30;

解法二:∵(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5, 其展开式的通项公式为 Tr+1= ?(x2+x)5﹣r?yr,

令 r=2,得(x2+x)3 的通项公式为 ?(x2)3﹣m?xm= ?x6﹣m,

再令 6﹣m=5,得 m=1, ∴(x2+x+y)5 的展开式中,x5y2 的系数为 ? =30.

故答案为:30.

【点评】本题考查了二项式定理的灵活应用问题,也考查了分步相乘原理的应用问题,是基 础题目.

15.若不等式组

表示的平面区域为三角形,且其面积等于 ,则 m 的值为

1 . 【考点】二元一次不等式(组)与平面区域. 【专题】数形结合;综合法;不等式的解法及应用. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,求出三角形各顶点的坐标,利用三角形的面积公式 进行求解即可. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 若表示的平面区域为三角形, 由 ,得 ,即 A(2,0),

则 A(2,0)在直线 x﹣y+2m=0 的下方, 即 2+2m>0, 则 m>﹣1, 则 A(2,0),D(﹣2m,0), 由 ,解得 ,即 B(1﹣m,1+m),



,解得

,即 C(



).

则三角形 ABC 的面积 S△ ABC=S△ ADB﹣S△ ADC = |AD||yB﹣yC| = (2+2m)(1+m﹣ =(1+m)(1+m﹣ 即(1+m)× = , ) )= ,

即(1+m)2=4 解得 m=1 或 m=﹣3(舍).

【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算,求出交点坐标,结合三角形的面积 公式是解决本题的关键.

16.已知函数 f(x)满足 f(x)=f(﹣x),且当 x∈(﹣∞,0)时,f(x)+f′(x)<0, a=20.1?f(20.1),b=(ln2)f(ln2),c=(log2 )f(log2 ),则 a,b,c 的大小关系是 c >a>b . 【考点】函数的单调性与导数的关系. 【专题】方程思想;构造法;导数的综合应用. 【分析】通过构造复合函数,求导,求符合函数单调性,通过单调性判断函数值的大小 【解答】解:设函数 h(x)=xf(x),有函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,y=x 是奇函数, 得 h(x)=xf(x)是函数 R 上的奇函数, 由 x∈(﹣∞,0)时,h′(x)=f(x)+xf′(x)<0 成立, ∴h(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增, ∵3>20.1>1,0<ln2<1, 丨 丨=3>20.1>ln2

即 h(3)>h(20.1)>h(ln2). 又 a=20.1?f(20.1),b=ln(2)?f(ln2),c=( ∴b<a<c 故答案为 c>a>b )?f( ),

【点评】本题考查通过已知条件,构造符合函数,通过求导,求出函数的单调区间,根据函 数的单调区间比较函数值的大小,属于中档题.

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=btanA. (Ⅰ)证明:sinB=cosA; (Ⅱ)若 sinC﹣sinAcosB= ,且 B 为钝角,求 A,B,C. 【考点】正弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】(Ⅰ)由正弦定理及已知可得 = ,由 sinA≠0,即可证明 sinB=cosA.

(Ⅱ)由两角和的正弦函数公式化简已知可得 sinC﹣sinAcosB=cosAsinB= ,由(1) sinB=cosA,可得 sin2B= ,结合范围可求 B,由 sinB=cosA 及 A 的范围可求 A,由三角形 内角和定理可求 C. 【解答】解:(Ⅰ)证明:∵a=btanA. ∴ =tanA, ∵由正弦定理: ∴ = , ,又 tanA= ,

∵sinA≠0, ∴sinB=cosA.得证. (Ⅱ)∵sinC=sin[π﹣(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, ∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB= ,由(1)sinB=cosA, ∴sin2B= , ∵0<B<π, ∴sinB= ,

∵B 为钝角, ∴B= ,

又∵cosA=sinB= ∴A= ,



∴C=π﹣A﹣B= 综上,A=C=

, ,B= .

【点评】本题主要考查了正弦定理,三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式的应用,属 于基础题.

18. 退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势. 某机构为了解某城 市市民的年龄构成,从该城市市民中随机抽取年龄段在 20~80 岁(含 20 岁和 80 岁)之间 的 600 人进行调查,并按年龄层次[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70), [70,80]绘制频率分布直方图,如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”, [40,60)为“中年人”,[60,80]为“老年人”.

(Ⅰ)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替,试估算所调查的 600 人的平均年龄; (Ⅱ)将上述人口分布的频率视为该城市在 20﹣80 年龄段的人口分布的概率.从该城市 20 ﹣80 年龄段市民中随机抽取 3 人,记抽到“老年人”的人数为 X,求随机变量 X 的分布列和 数学期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列. 【专题】概率与统计. 【分析】(Ⅰ)由频率分布直方图能估算所调查的 600 人的平均年龄. (Ⅱ)由频率分布直方图知“老年人”所点频率为 ,依题意,X 的可能取值为 0,1,2,3, 分别求出相应的概率,由此能求出随机变量 X 的分布列和数学期望. 【解答】解:(Ⅰ)由频率分布直方图估算所调查的 600 人的平均年龄为:

25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48(岁). (Ⅱ)由频率分布直方图知“老年人”所点频率为 , ∴从该城市 20~80 年龄段市民中随机抽取 1 人,抽到“老年人”的概率为 , 依题意,X 的可能取值为 0,1,2,3, P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= ∴X 的分布列为: X P EX= = . 0 1 2 3 = , = = , , ,

【点评】 本题考查频率分布直方图的应用, 考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法, 是中档题,解题时要认真审题,在历年高考中都是必考题型之一.

19.在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F 分别为 A1D1 和 CC1 的中点. (Ⅰ)求证:EF∥平面 ACD1; (Ⅱ)求异面直线 EF 与 AB 所成的角的余弦值; (Ⅲ)在棱 BB1 上是否存在一点 P,使得二面角 P﹣AC﹣B 的大小为 30°?若存在,求出 BP 的长;若不存在,请说明理由.

【考点】 异面直线及其所成的角; 直线与平面平行的判定; 与二面角有关的立体几何综合题. 【专题】综合题;转化思想;综合法.

【分析】如图分别以 DA、DC、DD1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 D ﹣xyz,先写出各点坐标: (I)取 AD1 中点 G,则 G(1,0,1), 明 与 共线即可; =(1,﹣2,1),又 =(﹣1,2,﹣1),证

(II)求出两异面直线的方向向量,用数量积公式求夹角余弦即可,易求; (III)假设存在,设出点 P 的空间坐标,根据题设中所给的条件二面角 P﹣AC﹣B 的大小 为 30°利用数量积公式建立关于引入的参数的方程即可,若求得的参数符合题意,则说明存 在,否则说明不存在. 【解答】解:如图分别以 DA、DC、DD1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标 系 D﹣xyz,由已知得 D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、 C(0,2,0)、B1(2,2,2)、D1(0,0,2)、E(1,0,2)、F(0,2,1). (I)取 AD1 中点 G,则 G(1,0,1), , ∴ 与 共线. =(1,﹣2,1),又 =(﹣1,2,﹣1),由

从而 EF∥CG, ∵CG?平面 ACD1,EF?平面 ACD1, ∴EF∥平面 ACD1. (II)∵ =(0,2,0)∴ = =(0,2,t),

(III)假设满足条件的点 P 存在,可设点 P(2,2,t),(0<t≤2), =(﹣2,2,0) 平面 ACP 的一个法向量为 则 ∴

取 =(1,1,

),易知平面 ABC 的一个法向量

=(0,0,2)依题意知

∴|cos

|=

=

解得 t=

2) ∈ (0,

∴在棱 BB1 上存在一点 P,当 BP 的长为

时,二面角 P﹣AC﹣B 的大小为 30°

【点评】本题考查用向量法证明线面平行,求异面直线所成的角以及二面角,用向量方法解 决立体几何中的位置关系、 夹角及距离问题是空间向量的一个重要运用, 学习时注意总结向 量法解立体几何题的规律,此方法也是近几年高考比较热的一个考点.

20.已知抛物线 C1:x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C2: 与 C2 的公共弦的长为 2 两点,且 与 同向.

+

=1(a>b>0)的一个焦点,C1

,过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A,B 两点,与 C2 相交于 C,D

(Ⅰ)求 C2 的方程; (Ⅱ)若|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【专题】开放型;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(Ⅰ)通过 C1 方程可知 a2﹣b2=1,通过 C1 与 C2 的公共弦的长为 2 的图象都关于 y 轴对称可得 ,计算即得结论; = 可得(x1+x2) 且 C1 与 C2

(Ⅱ)设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),通过
2

﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4,设直线 l 方程为 y=kx+1,分别联立直线与抛物线、直线与椭

圆方程,利用韦达定理计算即可. 【解答】解:(Ⅰ)由 C1 方程可知 F(0,1), ∵F 也是椭圆 C2 的一个焦点,∴a2﹣b2=1, 又∵C1 与 C2 的公共弦的长为 2 ,C1 与 C2 的图象都关于 y 轴对称, , ),

∴易得 C1 与 C2 的公共点的坐标为(± ∴ ,

又∵a2﹣b2=1, ∴a2=9,b2=8, ∴C2 的方程为 + =1;

(Ⅱ)如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),





同向,且|AC|=|BD|,



=

,∴x1﹣x2=x3﹣x4,

∴(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4,

设直线 l 的斜率为 k,则 l 方程:y=kx+1, 由 ,可得 x2﹣4kx﹣4=0,

由韦达定理可得 x1+x2=4k,x1x2=﹣4,



,得(9+8k2)x2+16kx﹣64=0,

由韦达定理可得 x3+x4=﹣

,x3x4=﹣



又∵(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4, ∴16(k2+1)= + ,

化简得 16(k2+1)=



∴(9+8k2)2=16×9,解得 k=± 即直线 l 的斜率为± .



【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查求椭圆方程以及直线的斜率,涉及到韦 达定理等知识,考查计算能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

21.已知函数 f(x)=lnx﹣ (Ⅰ)求函数 f(x)的单调增区间;



(Ⅱ)证明;当 x>1 时,f(x)<x﹣1; (Ⅲ)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0>1,当 x∈(1,x0)时,恒有 f(x)>k (x﹣1). 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 【专题】综合题;开放型;导数的综合应用. 【分析】(Ⅰ)求导数,利用导数大于 0,可求函数 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)令 F(x)=f(x)﹣(x﹣1),证明 F(x)在[1,+∞)上单调递减,可得结论; (Ⅲ)分类讨论,令 G(x)=f(x)﹣k(x﹣1)(x>0),利用函数的单调性,可得实数 k 的所有可能取值. 【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=lnx﹣ ,

∴f′(x)=

>0(x>0),

∴0<x<

, );

∴函数 f(x)的单调增区间是(0,

(Ⅱ)令 F(x)=f(x)﹣(x﹣1),则 F′(x)= 当 x>1 时,F′(x)<0, ∴F(x)在[1,+∞)上单调递减, ∴x>1 时,F(x)<F(1)=0,

即当 x>1 时,f(x)<x﹣1; (Ⅲ)由(Ⅱ)知,k=1 时,不存在 x0>1 满足题意; 当 k>1 时,对于 x>1,有 f(x)<x﹣1<k(x﹣1),则 f(x)<k(x﹣1), 从而不存在 x0>1 满足题意; 当 k<1 时,令 G(x)=f(x)﹣k(x﹣1)(x>0),则 G′(x)= =0,可得 x1= <0,

x2=

>1,

当 x∈(1,x2)时,G′(x)>0,故 G(x)在(1,x2)上单调递增, 从而 x∈(1,x2)时,G(x)>G(1)=0,即 f(x)>k(x﹣1), 综上,k 的取值范围为(﹣∞,1). 【点评】本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查不等式的证明,正确构造 函数是关键.

请考生在第(22)、(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分,选修 4-1 几何证明选讲 22.如图所示,已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C, 过点 B 作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P. (Ⅰ)求证:AD∥EC; (Ⅱ)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长.

【考点】圆的切线的性质定理的证明;直线与圆相交的性质;直线与圆的位置关系;与圆有 关的比例线段. 【专题】计算题;证明题.

【分析】(I)连接 AB,根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D,又根据同 弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E,等量代换得到∠D=∠E,根据内错角相等得到两直 线平行即可; (II)根据切割线定理得到 PA2=PB?PD,求出 PB 的长,然后再根据相交弦定理得 PA?PC=BP?PE,求出 PE,再根据切割线定理得 AD2=DB?DE=DB?(PB+PE),代入求出 即可. 【解答】解:(I)证明:连接 AB, ∵AC 是⊙O1 的切线, ∴∠BAC=∠D, 又∵∠BAC=∠E, ∴∠D=∠E, ∴AD∥EC. (II)∵PA 是⊙O1 的切线,PD 是⊙O1 的割线, ∴PA2=PB?PD, ∴62=PB?(PB+9) ∴PB=3, 在⊙O2 中由相交弦定理,得 PA?PC=BP?PE, ∴PE=4, ∵AD 是⊙O2 的切线,DE 是⊙O2 的割线, ∴AD2=DB?DE=9×16, ∴AD=12 【点评】此题是一道综合题,要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问 题.本题的突破点是辅助线的连接.

选修 4-4 坐标系与参数方程 23.在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 已知点 A 的极坐标为( 线 l 上. (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; , ),直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ﹣ )=a,且点 A 在直

(2)若圆 C 的参数方程为 【考点】参数方程化成普通方程.

(α 为参数),试判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

【专题】计算题;规律型;转化思想;直线与圆. 【分析】(1)利用点在直线上,代入方程求出 a,利用极坐标与直角坐标的互化,求出直 线的直角坐标方程. (2)化简圆的参数方程与直角坐标方程,求出圆心与半径,利用圆心到直线的距离与半径 比较即可得到直线与圆的位置关系. 【解答】解:(1)点 A 的极坐标为( =a,且点 A 在直线 l 上. 可得: cos( ﹣ )=a,解得 a= )= . ,即:ρcosθ+ρsinθ=2, , ),直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ﹣ )

直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ﹣

直线 l 的直角坐标方程为:x+y﹣2=0. (2)圆 C 的参数方程为
2

(α 为参数),可得圆的直角坐标方程为:(x﹣1)

+y2=1.

圆心(1,0),半径为:1. 因为圆心到直线的距离 d= 所以直线与圆相交. 【点评】 本题考查参数方程与极坐标方程与直角坐标方程的互化, 直线与圆的位置关系的应 用,考查计算能力. = <1,

选修 4-5 不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|. (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)<4 的解集; (Ⅱ)设函数 f(x)的最小值为 g(a),求 g(a)的最小值. 【考点】绝对值不等式的解法;分段函数的应用. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】(1)化简函数 f(x)的解析式,画出函数的 f(x)的图象,数形结合求得不等式 f(x)<4 的解集.

(2)由条件利用绝对值的意义求得 g(a)的最小值.

【解答】解:(1)当 a=1 时,f(x)=2|x﹣1|+|x﹣3|=



由图可得,不等式 f(x)<4 的解集为( ,3). (2)函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|表示数轴上的 x 对应点到 a、1、3 对应点的距离之和,

可得 f(x)的最小值为 g(a)=

,故 g(a)的最小值为 2.

【点评】本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学 思想,属于中档题.


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