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《函数的极值与导数》教学设计一等奖

函数的极值与导数
作者单位: 宁夏西吉中学 作者姓名: 蒙彦强 联系电话: 15296963569

一.教材分析
本节课选自高中数学人教 A 版选修 2-2 教材 1.3.2 函数的极值与导数,就 本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函 数的单调性与导数等内容的延续和深化, 又为下节课最值的学习奠定了知识与方 法的基础,起着承上启下的作用.就整个高中教学而言,函数是高中数学主要研 究的内容之一,而导数又是研究函数的主要工具,同时导数在化学 、物理中都 有所涉及可见它的重要性.

二.教学目标
1. 2. 3. 4. 5. 了解极大值、极小值的概念,体会极值是函数的局部性质; 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件; 会用导数求函数的极值; 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力; 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性,体会导数的工具作用.

三.重点与难点
重点是会用导数求函数的极值. 难点是导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解.

四.学情分析
基于本班学生基础较差,思维水平参差不齐,所以备课上既要考虑到薄弱同 学的理解与接受, 又要考虑到其他同学视野的拓展,因此在本节课中我设置了许 多的问题,来引导学生怎样学,以问答的方式来激发学生的学习兴趣,同时让更 多的学生参与到教学中来. 学生已经学习了函数的单调性与导数的关系,学生已 经初步具备了运用导数研究函数的能力,为了进一步培养学生的这种能力,体会 导数的工具作用,本节进一步研究函数的极值与导数.

五.教具教法
多媒体、展台,问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学

六.学法分析
借助多媒体辅助教学,通过观察函数图像分析极值的特征后, 得出极值的定 义; 通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究, 归纳出极值与导数 的关系;通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤.

七.教学过程
1.引入 让学生观察庐山连绵起伏的图片思考“山势有什么特点?”并结合诗句“横 看成岭侧成峰, 远近高低各不同” , 由此联想庐山的连绵起伏形成好多的 “峰点” 与“谷点”,这就是数学上研究的函数的极值引出课题. 【设计意图】 从庐山美景出发并结合学生熟悉的诗句来激发学生学习兴趣,让学 生在愉快中知道学什么.

2.极值的定义 [问题 1] 观察下面函数图像(图 1 和图 2)回答相应的问题

y ? f ( x)

y

y ? f ( x)

y

a

o

x
图1

a

o

c

b
图2

x

问题:函数 y ? f ( x) 在 a 点的函数值与它两侧附近的函数值之间有什么关系? [生]:观察分析后发表自己的见解. [师]:总结后给出函数极小值的定义并要求学生类比极小值给出极大值的定义. 极小值的定义: 函数 y ? f ( x) 在 a 点的函数值 f (a ) 比 a 点两侧附近其他点的函数 值都小,我们把 a 点叫做函数 y ? f ( x) 的极小值点, f (a ) 叫做函数 y ? f ( x) 的 极小值. [生]:类比得出极大值的定义. [师]:极小值点、极大值点统称为极值点,极小值、极大值统称为极值;强调极 值点是横坐标,极值是纵坐标. 【设计意图】使学生经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程,了解极值 点和极值的概念.

图3 [问题 2] 图 3 中 c 、 d 、 e 、 f 、 g 、 h 等点中哪些是极小值点?哪些点是极大 值点? [问题 3] 下面几种说法中正确的是__________(填写正确选项序号) ① 函数的极大值是最大值; ② 函数的极大、极小值是唯一确定的; ③ 函数的极大值一定大于它的极小值; ④ 函数的极值点一定不是区间的端点. [生]:学生抢答;互评.[师]:总评. 【设计意图】 使学生知道极值刻画的是函数的局部性质,而最值刻画的是函数的 整体性质,是两个不同的概念,进一步了解极值点和极值的概念. 3. 极值与导数的关系

[问题 1] 观察图 4 回答下列问题 (1)函数 h(t ) 在极大值点 a 处的导数值为多少? (2)此点两侧附近导数的符号有什么变化规律? 知识背景:下图是中国跳水运动员陈若琳,08 年北京奥运会成功包揽 10 米跳台 单人及双人项目两枚金牌;图 4 是她参加 10 米跳台所运动的曲线.

h

o

t
a
图4

[生]:合作探究后发表见解,互相补充. [师]:无论是直观观察还是左正右负连续变化都有导数为零,极大值点 a 是增 减的分界点. 【设计意图】 用陈若琳高台跳水的例子,起到明星效应激发学生学习热情同时与 上节课形成呼应,引导学生探究极大值点处及附近导数的特征. [问题 2] 图 2 中极大值点 b 是否也有同样的性质呢?

y ? f ( x)

y

a

o

c

b
图2

x

[生]:探究后抢答. [师]:让学生归纳出极大值点处及附近导数符号的一般性结论: ? 学生观察归 纳得出; ? x0 是增减的分界点教师画图验证. 可导函数 y ? f ( x) , x0 是极大值点 ? f '( x0 ) ? 0 且 x0 两侧附近导数左正右负; (学生类比得出) x0 是极小值点 ? f '( x0 ) ? 0 且 x0 两侧附近导数左负有正. 【设计意图】 通过教师的点拨,帮助学生构建知识体系,完善、深化对知识、 规律内涵的认识. [问题 3] 如图是函数 y ? f ( x) 的图象,试找出函数 y ? f ( x) 的极值点,并指出哪 些 是 极 大 值 点 , 哪 些 是 极 小 值 点 ? 如 果 把 函 数 y ? f ( x) 图 象 改 为 导 函 数 y ? f '( x ) 的图象呢?

y

a x1 o x2

x3

x4

x5

x6

b

x

图5 [生]:思考后抢答;互评. [师]:点拨;总评. 【设计意图】 通过此问题使学生会从原函数及导函数的图象判断极值点,知道 导数值为 0 的点不一定是函数的极值点(如 x6 ) . 4.深化某点取得极值的条件 [问题 1] 函数 y ? f ( x) 在极值点处的导数值有什么特征? [问题 2] 函数 y ? f ( x) 在极值点两侧附近导数符号有什么关系? [问题 3] 导数值为 0 的点一定是函数的极值点吗?为什么? [生]:思考后抢答;互评. [师]:点拨;总评. 可导函数,导数值为 0 的点,是极值点的 必要不充分 条件. 【设计意图】 通过层层追问, 引导学生从正反方向辨析可导函数在某点取得极值 的条件,突破难点,强化重点. 5.用导数求极值 1 例 4.求函数 f ( x ) ? x 3 ? 4 x ? 4 的极值. 3 “问答式”教师板演师生共同完成后让学生总结用导数求极值的步骤: (1)求定义域; (2)求导数; (3)求导数的零点; (4)判符号, (通常列表) ; (5)左正右负,极大值; 左负右正,极小值. [师]:一副好的图画胜过千言万语,教师操作通过计算机作图来验证所得结论, 达到学生眼见为实的效果. 【设计意图】 通过对典型例题的板演,让学生明确求极值的方法与步骤,突出 本节课的重点,培养学生规范的表达能力. 6.巩固练习 求下列函数的极值 (1) f ( x) ? 3x ? x3 (2) f ( x) ? x 2 ? 2ln x

学生独立完成后展示(电子展台)互相评价 【设计意图】学生通过练习反馈所学知识及规范表达能力,突出本节课的重点. 7.小结 [师问生答,师生共同回忆] a. 用导数求函数极值的步骤有哪些? b.(带着此问题预习下一课时)极值与最值有关系吗? 8.作业 课本 32 页 A 组题 4、5

八.板书设计
课题:函数的极值与导数 1.极值 例 4: 2.与导数的关系 …………………… 3.求解步骤 (1)求定义域; (2)求导数; (3)求导数的零点; (4)判符号, (常列表) ; (5)左正右负,极大值; 左负右正, 极小值.

投影

【设计意图】给同学们留下深刻的印象,帮助学生构建清晰的知识体系. 备课反思 本节课内容是介绍极值的概念,学会用导数求函数的极值,课时 1 课时.本 设计让学生观察庐山图片并结合诗句“横看成岭侧成峰,远近高低各不同” ,庐 山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点” ,这就是数学上研究的函数的极值 引出课题. 因为课本中极值概念没有严格的定义,只是从函数的极值与导数的关 系引出极值, 所以我选择将极值的概念与导数的关系分开来讲,先通过函数图象 观察、分析极值的特征后给出极值的概念,然后讨论极值与导数的关系. 本节课重在用导数求函数的极值, 以及函数的极值点与导数零点并不等价关 系的探析, 导数的零点只是它成为极值点的必要条件,这也是本节课的重点及难 点所在. 我们目前研究的基本都是可导函数的极值,因此求极值时先求导数的零点, 再辨别此零点是否是原函数的极值点. 函数的极值点一定是导数的零点吗?要不 要问,课本上没有强调函数在极值点处不可导的情况,若问的话怕偏离主题,这 里仍然是值得商榷的.